2020届江苏省海安高级中学高三12月月考数学试题

2020届江苏省海安高级中学高三12月月考数学试题

阶段性测试（三）‎ 数学Ⅰ 参考公式：‎ 样本数据，，…，的方差，其中．‎ 锥体的体积，其中S为底面积，h为高．‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1. 设全集{1，2，3，4，5}．若{1，2，5}，则集合 ▲ ．‎ ‎2. 已知复数满足(为虚数单位)，则复数的实部是 ▲ ．‎ ‎3. 已知样本数据的方差为2，则数据的方差为 ▲ ．‎ ‎ S←0‎ ‎ For i From 1 To 10 Step 1‎ ‎ S←S＋ ‎ End For ‎ Print S ‎（第4题）‎ ‎4. 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．‎ ‎5. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，则该三位数为奇数的概率为 ▲ ．‎ ‎6. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为 ▲ ．‎ ‎7. 将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的值 为 ▲ ．‎ ‎8. 设定义在上的奇函数在区间上是单调减函数，且，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎9. 在锐角三角形中，若，，则的值为 ▲ ．‎ ‎10. 设Sn为数列的前n项和．若Sn＝nan－3n(n－1)（n∈N*），且，则S20的值为 ▲ ．‎ ‎11. 设正实数x，y满足，则实数x的最小值为 ▲ ．‎ D1‎ ‎（第12题）‎ ‎12. 如图，正四棱柱的体积为27，点，‎ 分别为棱，上的点（异于端点），且，‎ 则四棱锥的体积为 ▲ ．‎ ‎13．已知向量，，满足，且与的夹角的 正切为，与的夹角的正切为，，则的 值为 ▲ ．‎ ‎14．已知，，若同时满足条件：①R，或；②，，则实数m的取值范围是 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 已知△ABC的面积为，且，向量和 是共线向量.‎ ‎（1）求角C的大小； ‎ ‎（2）求△ABC的三边长.‎ E F A B C D P ‎（第16题）‎ ‎16．（本题满分14分）‎ 如图，在四棱锥P－ABCD中，已知底面为矩形，且 AB＝，BC＝1，E，F分别是AB，PC的中点，PA⊥DE．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（2）求证：平面PAC⊥平面PDE．‎ ‎17．（本题满分14分）‎ 如图，OM，ON是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM为东西方向），Q为景区内一景点，A为道路OM上一游客休息区．已知tan∠MON＝－3，OA＝6(百米)，Q到直线OM，ON的距离分别为3(百米)，(百米)．现新修一条自A经过Q的有轨观光直路并延伸至道路ON于点B，并在B处修建一游客休息区．‎ ‎（1）求有轨观光直路AB的长；‎ ‎（2）已知在景点Q的正北方6 百米的P处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9 分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P为圆心，r为半径变化，且t分钟时，‎ A O B P Q M N ‎（第17题）‎ ‎(百米)（0≤t≤9，0＜a＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S（大小忽略不计）正从休息区B沿（1）中的轨道BA以(百米/分钟)的速度开往休息区A ‎，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．‎ ‎18．（本题满分16分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：过点，其离心率等于．‎ ‎ （1）求椭圆E的标准方程；‎ ‎（2）若A，B分别是椭圆E的左，右顶点，动点M满足，且MA交椭圆E于点P．‎ ‎ ①求证：为定值；‎ ‎ ②设PB与以PM为直径的圆的另一交点为Q，求证：直线MQ经过定点．‎ ‎19．（本题满分16分）‎ 已知数列满足：（常数k＞0），（n≥3，）．数列满足：（）．‎ ‎（1）求b1，b2的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）是否存在k，使得数列的每一项均为整数? 若存在，求出k的所有可能值；若不存在，请说明理由．‎ ‎20．（本题满分16分）‎ 设函数f (x)＝(x－a)lnx－x＋a，a∈R．‎ ‎ （1）若a＝0，求函数f (x)的单调区间；‎ ‎（2）若a＜0，且函数f (x)在区间内有两个极值点，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）求证：对任意的正数a，都存在实数t，满足：对任意的x∈(t，t＋a)， f (x)＜a－1．‎ 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1. 【答案】{3，5}‎ ‎2. 【答案】3‎ ‎3. 【答案】8‎ ‎4. 【答案】 ‎5. 【答案】‎ ‎6. 【答案】y＝±3x ‎7. 【答案】4‎ ‎8. 【答案】（1，2）‎ ‎9. 【答案】79‎ ‎10. 【答案】1 240‎ ‎11. 【答案】‎ ‎12. 【答案】9‎ ‎13．【答案】‎ ‎14．【答案】‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 解：（1）因为向量和是共线向量，‎ 所以， ……2分 即sinAcosB+cosAsinB－2sinCcosC=0，‎ 化简得sinC－2sinCcosC=0，即sinC(1－2cosC)=0. ……4分 因为，所以sinC>0，从而， ……6分 ‎（2），于是AC. ……8分 因为△ABC的面积为，所以，‎ 即，解得 …… 11分 在△ABC中，由余弦定理得 所以 …… 14分 ‎16．（本题满分14分）‎ 证明：（1）取PD中点G，连AG，FG，‎ ‎ 因为F，G分别为PC，PD的中点，‎ 所以FG∥CD，且FG＝CD． ……2分 ‎ 又因为E为AB中点，所以AE//CD，且AE＝CD． ……4分 所以AE//FG，AE＝FG．故四边形AEFG为平行四边形． ‎ 所以EF//AG，又EF平面PAD，AG平面PAD，‎ ‎ 故EF//平面PAD． ……6分 ‎ ‎（2）设AC∩DE＝H，由△AEH∽△CDH及E为AB中点得＝＝，‎ 又因为AB＝，BC＝1，所以AC＝，AG＝AC＝． ‎ 所以＝＝，又∠BAD为公共角，所以△GAE∽△BAC．‎ 所以∠AGE＝∠ABC＝90°，即DE⊥AC． ……10分 ‎ 又DE⊥PA，PA∩AC＝A， ‎ 所以DE⊥平面PAC． ……12分 又DE平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE． ……14分 ‎17．（本题满分14分）‎ 解：（1）以点O为坐标原点，直线OM为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示．‎ 则由题设得：A(6，0)，直线ON的方程为．‎ 由，解得，所以． ……2分 故直线AQ的方程为，‎ 由得 即，故， …… 5分 答：水上旅游线的长为km． ……6分 ‎（2）将喷泉记为圆P，由题意可得P(3，9)，‎ 生成t分钟时，观光车在线段AB上的点C处，‎ 则BC＝t，0≤t≤9，所以C(－3＋t，9－t)．‎ 若喷泉不会洒到观光车上，则PC2＞r2对t∈[0，9]恒成立，‎ 即PC2＝(6－t)2＋t2＝2t2－12t＋36＞4at， ……10分 当t＝0时，上式成立，‎ 当t∈(0，9]时，2a＜t＋－6，(t＋－6)min＝6－6，当且仅当t＝3时取等号，‎ 因为a∈(0，1)，所以r＜PC恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上．……13分 答：喷泉的水流不会洒到观光车上． ……14分 ‎18．解：（1）设椭圆焦距为2c，所以且，‎ ‎ 解得 ‎ 所以椭圆的方程为； ……4分 ‎ （2）设，，‎ ‎ ①易得直线的方程为：，‎ ‎ 代入椭圆得，，‎ ‎ 由得，，从而， ……8分 ‎ 所以 ‎． ……10分 ‎ ②直线过定点，理由如下：‎ ‎ 依题意，，‎ ‎ 由得，，‎ ‎ 则的方程为：，即，‎ ‎ 所以直线过定点． ……16分 ‎19．（本题满分16分）‎ 解：（1）由已知得，，‎ ‎ 所以，． ……2分 ‎（2）由条件可知：，①‎ 所以.② ……4分 ‎①－②得.‎ 即：．‎ 因此：， ……6分 故，又因为，，‎ 所以． ……8分 ‎（3）假设存在，使得数列的每一项均为整数，则k为正整数． ……10分 由（2）知ƒ 由，所以k=1或2， ……12分 检验：当时，为整数，‎ 利用结合ƒ，{an}各项均为整数； ……14分 当时ƒ变为 消去得：‎ 由所以偶数项均为整数，‎ 而，所以为偶数，故，故数列是整数列. ‎ 综上所述，的取值集合是. ……16分 ‎20．（本题满分16分）‎ 解：（1）当a＝0时，f(x)＝xlnx－x，f’(x)＝lnx，‎ ‎ 令f’(x)＝0，x＝1，列表分析 x ‎(0，1)‎ ‎1‎ ‎(1，＋∞)‎ f’(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递减 单调递增 ‎ 故f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，＋∞)． ……3分 ‎（2）f(x)＝(x－a)lnx－x＋a，f’(x)＝lnx－，其中x＞0， ‎ ‎ 令g(x)＝xlnx－a，分析g(x)的零点情况．‎ ‎ g’(x)＝lnx＋1,令g’(x)＝0，x＝，列表分析 x ‎(0，)‎ ‎(，＋∞)‎ g’(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎ 单调递减 单调递增 ‎ g(x)min＝g()＝－－a， ……5分 ‎ 而f’()＝ln－ae＝－1－ae，＝－2－ae2＝－(2＋ae2)，‎ f’(e2)＝2－＝(2e2－a)，‎ ‎ ①若a≤－，则f’(x)＝lnx－≥0，‎ 故f(x)在内没有极值点，舍；‎ ‎ ②若－＜a＜－，则f’()＝ln－ae＜0，f’(e－2)＝－(2＋ae2)＞0，‎ f’(e2)＝(2e2－a)＞0，‎ ‎ 因此f’(x)在有两个零点，设为，，‎ 所以当时，f(x)单调递增，当时，f(x)单调递减，‎ 当时，f(x)单调递增，此时f(x)在内有两个极值点；‎ ‎ ③若－≤a＜0，则f’()＝ln－ae＜0，f’(e－2)＝－(2＋ae2)≤0，‎ f’(e2)＝(2e2－a)＞0，‎ ‎ 因此f’(x)在有一个零点，f(x)在内有一个极值点；‎ ‎ 综上所述，实数a的取值范围为(－，－)． ……10分 ‎（3）存在：x∈(1，1＋a)，f(x)＜a－1恒成立． ……11分 ‎ 证明如下：‎ ‎ 由（2）得g(x)在(，＋∞)上单调递增，‎ 且g(1)＝－a＜0，g(1＋a)＝(1＋a)ln(1＋a)－a．‎ ‎ 因为当x＞1时，lnx＞1－(*)，所以g(1＋a)＞(1＋a)(1－)－a＝0．‎ ‎ 故g(x)在(1，1＋a)上存在唯一的零点，设为x0．‎ ‎ 由 x ‎(1，x0)‎ x0‎ ‎(x0，1＋a)‎ f’(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎ 单调递减 单调递增 ‎ 知，x∈(1，1＋a)，f(x)＜max{f(1)，f(1＋a)}． ……13分 ‎ 又f(1＋a)＝ln(1＋a)－1，而x＞1时，lnx＜x－1(**)，‎ ‎ 所以f(1＋a)＜(a＋1)－1－1＝a－1＝f(1)．‎ ‎ 即x∈(1，1＋a)，f(x)＜a－1．‎ ‎ 所以对任意的正数a，都存在实数t＝1，使对任意的x∈(t，t＋a)，使 f(x)＜a－1． ……15分 ‎ 补充证明（*）：‎ ‎ 令F(x)＝lnx＋－1，x≥1．F’(x)＝－＝≥0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递增．‎ ‎ 所以x＞1时，F(x)＞F(1)＝0，即lnx＞1－．‎ ‎ 补充证明（**）‎ ‎ 令G(x)＝lnx－x＋1，x≥1．G’(x)＝－1≤0，所以G(x)在[1，＋∞)上单调递减．‎ ‎ 所以x＞1时，G(x)＜G(1)＝0，即lnx＜x－1． ……16分 数学Ⅱ(附加题)‎ ‎21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A． ‎ 选修4－2：矩阵与变换 ‎【解】由特征值、特征向量定义可知，A，‎ 即，得 ……5分 同理可得 解得．‎ 因此矩阵A． ……10分 B．解：因为A( 1， )，B( 9， )，‎ 所以线段AB的中点坐标为(5，)， ……2分 ‎ 设点P(ρ，θ)为直线l上任意一点，‎ ‎ 在直角三角形OMP中，ρcos(θ－)＝5，‎ 所以，l的极坐标方程为ρcos(θ－)＝5， ……6分 ‎ 令θ＝0，得ρ＝10，即C(10，0)． …… 8分 ‎ 所以，△ABC的面积为：×(9－1)×10×sin＝20． ……10分 C．证明：因为|a＋b|≤2，所以 ‎|a2＋2a－b2＋2b|＝|a＋b||a－b＋2|‎ ‎ ＝|a＋b||2a－(a＋b)＋2|‎ ‎ ≤|a＋b|(|2a|＋|a＋b|＋2)‎ ‎ ≤4(|a|＋2)． ……10分 ‎22．解：依题意，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系A－xyz 则B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)， ‎ ‎ 因为＝λ，所以C(λ，2，0)， ……2分 ‎（第22题）‎ ‎ （1）从而＝(λ，2，－2)，＝(－1，2， 0)，‎ ‎ 则cos＜，＞＝＝＝，‎ ‎ 解得λ＝2； …… 5分 ‎ （2）易得＝(2，2，－2)，＝(0，2，－2)，‎ ‎ 设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)，‎ ‎ 则n·＝0，且n·＝0，‎ ‎ 即x＋y－z＝0，且y－z＝0，‎ ‎ 所以x＝0，不妨取y＝z＝1，‎ ‎ 则平面PCD的一个法向量n＝(0，1，1)， …… 8分 ‎ ‎ 又易得＝(1，0，－2)，‎ ‎ 故cos＜，n＞＝＝＝－，‎ ‎ 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为． ……10分 ‎23．(本小题满分10分)‎ 解：（1）S1＝Ca1＝1，S2＝Ca1＋Ca2＝3． ……2分 ‎ （2）记a＝，b＝．‎ ‎ 则Sn＝C(αi－βi)＝C(αi－βi)＝(Cαi－Cβi)‎ ‎ ＝[(1＋a)n－(1＋b)n]＝[()n－()n]． ……6分 ‎ 因为()×()＝1．‎ ‎ 故Sn＋2＝{[()n＋1－()n＋1][ ()＋()]－[()n－‎ ‎()n]}＝3Sn＋1－Sn．‎ ‎ 所以存在，使得恒成立． ……10分