专题41 直线、平面平行的判定与性质-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题41 直线、平面平行的判定与性质-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析

专题41 直线、平面平行的判定与性质 最新考纲 ‎1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.‎ ‎2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.‎ 基础知识融会贯通 ‎1．线面平行的判定定理和性质定理 ‎2.面面平行的判定定理和性质定理 ‎【知识拓展】‎ 重要结论：‎ ‎(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.‎ ‎(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.‎ ‎(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.‎ 重点难点突破 ‎【题型一】直线与平面平行的判定与性质 命题点1　直线与平面平行的判定 ‎【典型例题】‎ 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1⊥B‎1C1．设A‎1C与AC1交于点D，B‎1C与BC1交于点E．求证：‎ ‎（1）DE∥平面ABB‎1A1；‎ ‎（2）BC1⊥平面A1B‎1C．‎ ‎【解答】证明：（1）因为三棱柱ABC﹣A1B‎1C1为直三棱柱，‎ 所以侧面ACC‎1A1为平行四边形．‎ 又A‎1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，‎ 同理，E为BC1的中点．所以DE∥AB．‎ 又AB⊂平面ABB‎1A1，DE⊄平面ABB‎1A1，‎ 所以DE∥平面ABB‎1A1．‎ ‎（2）因为三棱柱ABC﹣A1B‎1C1为直三棱柱，所以BB1⊥平面A1B‎1C1．‎ 又因为A1B1⊂平面A1B‎1C1，所以BB1⊥A1B1，‎ 又A1B1⊥B‎1C1，BB1，B‎1C1⊂平面BCC1B1，BB1∩B‎1C1＝B1，‎ 所以A1B1⊥平面BCC1B1，‎ 又因为BC1⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BC1，‎ 又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1⊥B‎1C．‎ 又A1B1∩B‎1C＝B1，A1B1，B‎1C⊂平面A1B‎1C，‎ 所以BC1⊥平面A1B‎1C．‎ ‎ 【再练一题】‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，其中底面ABCD为等腰梯形，BC∥AD且BC＝2AD＝4，PA＝PD＝AB，E为PB的中点，O为AD的中点．‎ ‎（1）求证：AE∥平面PCD；‎ ‎（2）若平面PAD⊥平面ABCD，求证：BO⊥PC．‎ ‎【解答】（1）证明：取PC中点F，连接EF，DF，‎ ‎∵E为PB中点，‎ ‎∴EF∥BC，EF，‎ ‎∵，‎ ‎∴EF∥AD，EF＝AD，‎ ‎∴AEFD为平行四边形，‎ ‎∴AE∥DF，‎ 又AE⊄平面PCD，DF⊂平面PCD，‎ ‎∴AE∥平面PCD；‎ ‎（2）证明：连接OP，OC，‎ ‎∵PA＝PD，‎ ‎∴PO⊥AD，‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD，‎ ‎∴PO⊥OB，‎ 在等腰梯形ABCD中，利用BC＝2AD＝4，AB，‎ 可求得OB＝OC＝2，‎ ‎∴OB2+OC2＝BC2，‎ ‎∴OB⊥OC，‎ ‎∴OB⊥平面POC，‎ ‎∴BO⊥PC．‎ ‎ 命题点2　直线与平面平行的性质 ‎【典型例题】‎ 如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，侧面ADEF为梯形，AF∥DE，DE⊥AD．‎ ‎（1）求证：AD⊥CE；‎ ‎（2）求证：BF∥平面CDE．‎ ‎【解答】证明：（1）∵在多面体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，‎ 侧面ADEF为梯形，AF∥DE，DE⊥AD．‎ ‎∴AD⊥DC，又DE∩DC＝D，‎ ‎∴AD⊥平面DCE，‎ ‎∵CE⊂平面DCE，∴AD⊥CE．‎ ‎（2）∵AF∥DE，AB∥DC，AF∩AB＝A，DE∩DC＝D，‎ ‎∴平面ABF∥平面DCE，‎ ‎∵BF⊂平面ABF，∴BF∥平面CDE．‎ ‎ 【再练一题】‎ 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为矩形，AB＝2，AD＝4，△PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F．‎ ‎（1）求证：EF∥AB；‎ ‎（2）求三棱锥P﹣AEF的体积．‎ ‎【解答】解：（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∵AB⊄面PCD，CD⊂平面PCD，‎ ‎∴AB∥平面PCD，‎ 又AB⊂平面ABE，‎ 平面PCD∩平面ABE＝EF，‎ ‎∴AB∥EF；‎ ‎（2）由（1）可知EF∥CD，‎ ‎∵E为PC中点，‎ ‎∴F为PD中点，‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，‎ ‎∴DC⊥平面PAD，‎ ‎∴VP﹣AEF＝VE﹣PAF ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎ 思维升华 判断或证明线面平行的常用方法 ‎(1)利用线面平行的定义(无公共点)．‎ ‎(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．‎ ‎(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．‎ ‎(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．‎ ‎【题型二】平面与平面平行的判定与性质 ‎【典型例题】‎ 已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，，M为EF的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面ABF∥平面DCE；‎ ‎（Ⅱ）求证：AM∥平面BDE；‎ ‎（Ⅲ）求证：AM⊥平面BDF．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）因为 正方形ABCD和矩形ACEF，‎ 所以AB∥CD，AF∥CE，……………………………‎ 又AB∩AF＝A，CD∩CE＝CAB，AF⊂平面ABF，CD，CE⊂平面DCE，‎ 所以 平面ABF∥平面DCE；……………………………‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD＝O，连结OE，‎ 因为 正方形ABCD，所以O为AC中点，‎ 又 矩形ACEF，M为EF的中点，‎ 所以 EM∥OA，且EM＝OA，……………………………..‎ 所以OAME为平行四边形，‎ 所以 AM∥OE；……………………………..‎ 又AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，‎ 所以 AM∥平面BDE；……………………………‎ ‎（Ⅲ）因为 正方形ABCD，所以BD⊥AC，‎ 又 因为平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，BD⊂平面ABCD，‎ 所以BD⊥平面ACEF，且AM⊂平面ACEF，‎ 所以 BD⊥AM；……………………………．‎ 在矩形ACEF中，O为AC中点，M为EF的中点，，‎ 所以，‎ 所以AFMO为正方形，‎ 所以 OF⊥AM，……………………………..‎ 而 BD⊂平面BDF，OF⊂平面BDF，BD∩OF＝O，‎ 所以 AM⊥平面BDF．……………………………… 【再练一题】‎ 如图，平面α∥β，线段AB分别交α，β于M，N，线段AD分别交α，β于C，D，线段BF分别交α，β于F，E，若AM＝9，MN＝11，NB＝15，S△FMC＝78．求△END的面积．‎ ‎【解答】解：∵平面α∥β，‎ 又平面AND∩平面α＝MC，平面AND∩平面β＝ND，‎ ‎∴MC∥ND，‎ 同理EN∥FM，‎ 又AM＝9，MN＝11，NB＝15，‎ ‎∴，‎ 又∠FMC＝∠END，‎ 所以，‎ ‎∵S△FMC＝78，‎ ‎∴S△END＝100．‎ 故△END的面积为：100． 思维升华 证明面面平行的方法 ‎(1)面面平行的定义．‎ ‎(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．‎ ‎(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．‎ ‎(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．‎ ‎(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．‎ ‎【题型三】平行关系的综合应用 ‎【典型例题】‎ P是△ABC所在平面外一点，A′、B′、C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，‎ ‎（1）求证：平面A′B′C′∥平面ABC； ‎ ‎（2）求．‎ ‎【解答】证明：（1）如图，分别取AB，BC，CA的中点M，N，Q，‎ 连接PM，PN，PQ，MN，NQ，QM，‎ ‎∵A′，B′，C′分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心，‎ ‎∴A′，B′，C′分别在PN，PQ，PM上，‎ 且PC′：PM＝PA：PN＝PB：PQ＝2：3．‎ 在△PMN中，，‎ 故C′A′∥MN，‎ 又M，N为△ABC的边AB，BC的中点，MN∥AC，‎ ‎∴A′C′∥AC，‎ ‎∴A′C′∥平面ABC，‎ 同理A′B′∥平面ABC，‎ ‎∴平面ABC∥平面A′B′C′；‎ ‎（2）由（1）知，，，‎ ‎∴A′B′：AB＝1：3．‎ ‎∴（A′B′）2：（AB）2＝1：9．‎ ‎ 【再练一题】‎ 如图，在四棱柱ABCD﹣A1B‎1C1D1中，点M是线段B1D1上的一个动点，E，F分别是BC，CM的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面BDD1B1；‎ ‎（2）在棱CD上是否存在一点G，使得平面GEF∥平面BDD1B1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】证明：（1）连结BM，∵BE＝EC，CF＝FM，∴EF∥BM，‎ 又EF⊄平面BDD1B1，BM⊂平面BDD1B1，‎ ‎∴EF∥平面BDD1B1．‎ 解：（2）棱CD上存在一点G，使得平面GEF∥平面BDD1B1．‎ 理由如下：‎ ‎∵平面GEF∩平面ABCD＝EG，平面BDD1B1∩平面ABCD＝BD，‎ ‎∴EG∥BD，‎ 又∵E是BC中点，∴G是DC中点，‎ ‎∴棱CD上存在一点G，使得平面GEF∥平面BDD1B1，且1．‎ ‎ 思维升华 利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．‎ 基础知识训练 ‎1．【东北三省四市2019届高三第一次模拟】已知m，n为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出的是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当时，若，可得 又，可知 本题正确选项：‎ ‎2．【北京市中国人民大学附属中学2019届高考信息卷(一)】如图，在下列三个正方体中，均为所在棱的中点，过作正方体的截面．在各正方体中，直线与平面的位置关系描述正确的是 A．平面的有且只有①；平面的有且只有②③‎ B．平面的有且只有②；平面的有且只有①‎ C．.平面的有且只有①；平面的有且只有②‎ D．平面的有且只有②；平面的有且只有③‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎①连结，因为均为所在棱的中点，所以，，从而可得平面，平面；根据，可得平面平面；所以平面；‎ ‎②设正方体棱长为，因为均为所在棱的中点，‎ 所以，即；‎ 又，即；‎ 又，所以平面；‎ ‎③设正方体棱长为，因为均为所在棱的中点，‎ 所以，即；‎ 又，即；‎ 又，所以平面；‎ 故选A ‎3．【青海省西宁市第四高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考】在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是(　)‎ A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵MC1⊂平面DD‎1C1C，平面AA1B1B∥平面DD‎1C1C，‎ ‎∴MC1∥平面AA1B1B．‎ 故选：B．‎ ‎4．【湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考二】已知直线m，n和平面满足m⊥n，m⊥，则 A．n⊥ B．n∥ C．n∥或n D．n∥或n ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据条件，画出示意图反例如下图 可分别排除A、B、C ‎ 所以选D ‎5．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试】已知直线和平面，若，则过点且平行于的直线（ ）‎ A．只有一条，不在平面内 B．只有一条，且在平面内 C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 假设过点P且平行于l的直线有两条m与n，则m∥l且n∥l 由平行公理得m∥n，这与两条直线m与n相交与点P相矛盾，‎ 故过点且平行于的直线只有一条，‎ 又因为点P在平面内，所以过点P且平行于l的直线只有一条且在平面内．‎ 故选：B ‎6．【湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测（二模)】如图，已知正方体的棱长为为棱的中点，为棱上的点，且满足，点为过三点的面与正方体的棱的交点，则下列说法错误的是（ ）‎ A．‎ B．三棱锥的体积 ‎ C．直线与面的夹角是 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：A项:因为面AD1∥面BC1，且面AD1与面MBN的交线为FH，面BC1与面MBN的交线为BE，所以HF∥BE，A正确；‎ B项： ‎ 同理， ‎ ‎ ,B正确；‎ C项： ，所以 即为所求线面角， ，C错；‎ D项： ,‎ ‎ ， D对。‎ 故选C.‎ ‎7．【安徽省合肥一六八中学2018-2019学年高二上学期期中考试】α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面α，β平行的是（　　）‎ A．m，n是平面内两条直线，且，‎ B．内不共线的三点到的距离相等 C．，都垂直于平面 D．m，n是两条异面直线，，，且，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意，对于A中，若m，n是平面α内两条直线，且m∥β，n∥β，则根据面面平行的判定定理可得：α∥β或者α与β相交．所以A错误．‎ 对于B中，若α内不共线的三点到β的距离相等，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以B错误． ‎ 对于C中，若α，β都垂直于平面γ，则根据面面得位置关系可得：α∥β或者α与β相交．所以C错误． ‎ 对于D中，在直线n上取一点Q，过点Q作直线m 的平行线m′，所以m′与n是两条相交直线，m′⊂β，n⊂β，且m′∥β，n∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β，所以D正确． ‎ 故选：D．‎ ‎8．【山东省泰安市2019届高三第二轮复习质量检测】如图，在下列四个正方体中，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与所在平面平行的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ A中，因为,所以可得平面,又，可得平面，从而平面平面 B中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,‎ 如图：‎ C中，作截面可得平面平面（H为C1D1中点）,‎ 如图：‎ D中，作截面可得为两相交直线，因此平面与平面不平行,‎ 如图：‎ ‎9．【湖南省长沙市第一中学2019届高三下学期高考模拟卷（一)】在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是（ ）‎ A．A1O∥DC B．A1O⊥BC C．A1O∥平面BCD D．A1O⊥平面ABD ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎∵由异面直线的判定定理可得A1O与DC是异面直线，故A错误；‎ 假设A1O⊥BC，结合A‎1A⊥BC可得BC⊥A1ACC1，则可得BC⊥AC，显然不正确，故假设错误，即B错误；‎ ‎∵在正方体ABCD﹣A1B‎1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，‎ ‎∴A1D∥B‎1C，OD∥B1D1，‎ ‎∵A1D∩DO＝D，B1D1∩B‎1C＝B1，‎ ‎∴平面A1DO∥平面B1CD1，‎ ‎∵A1O⊂平面A1DO，∴A1O∥平面B1CD1．故C正确；‎ 又A‎1A⊥平面ABD，过一点作平面ABD的垂线有且只有一条，则D错误，‎ 故选：C．‎ ‎10．【山西名师联盟2019届高三5月内部特供卷】若是不同的直线，是不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 中，若，平面可能垂直也可能平行或斜交，不正确；‎ 中，若，平面可能平行也可能相交，不正确；‎ 中，若，则分别是平面的法线，必有，正确；‎ 中，若，平面可能平行也可能相交，不正确.故选C.‎ ‎11．α，β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是(　　)‎ A．α，β都与平面γ垂直 B．α内不共线的三点到β的距离相等 C．l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β D．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β ‎【答案】D ‎【解析】‎ 对于D，设过l和α内的一点的平面与平面α的交线为l′，因为l∥α，所以l′∥l.又因为l∥β，l′⊄β，所以l′∥β.设过m和α内的一点的平面与α的交线为m′，同理可证m′∥β.因为m与l是异面直线，所以m′与l′相交，所以α∥β.‎ ‎12．如图所示，A是平面BCD外一点，E、F、G分别是BD、DC、CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面α平行的直线有(　　)‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 显然AB与平面α相交，且交点是AB的中点，AB，AC，DB，DC四条直线均与平面α相交．在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF⊂α，BC⊄α，所以BC∥α.同理，AD∥α，所以在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线有2条．‎ ‎13．【上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试】设是平面外两条直线，且，那么是的________条件.‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ 证明充分性：若，结合，且在平面外，可得，是充分条件；‎ 证明必要性：若，结合，且是平面外，则可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件.‎ 故填“充分不必要”‎ ‎14．【上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高二下学期期中考试】已知直线及平面，下列命题中：‎ ‎①；②；③；④.‎ 所有正确命题的序号为________.‎ ‎【答案】④‎ ‎【解析】‎ ‎① 直线与平面可能平行，也可能在面内，所以错误 ‎② 直线与平面可能垂直，也可能平行，所以错误. ‎ ‎③ 直线与平面可能平行，也可能在面内，所以错误. ‎ ‎④ 可以得到直线与平面垂直，所以正确. ‎ ‎15．【辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测（三)】下列三个命题在“_______”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中为直线，为平面），则此条件是__________.‎ ‎①；②；③‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎①，或，由；‎ ‎②，，；‎ ‎③，或，由．‎ 故答案为：．‎ ‎16．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】如图，在四面体中，，用平行于的平面截此四面体，得到截面四边形，则该四边形面积的最大值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为直线AB//平面EFGH，且平面ABC交平面EFGH于HG,所以HG//AB，同理， ‎ ‎，‎ 所以四边形EFGH为平行四边形 又，可证明 ‎ 所以四边形EFGH为矩形.‎ 设，‎ ‎ ，当时，有最大值.‎ 故填.‎ ‎17．【四川省成都市新都一中等2018-2019学年高二（下)期末联考】如图，圆柱的轴截面是，为下底面的圆心，是母线，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）‎ 如图，连接交于点，连接.‎ 四边形是矩形，是的中点.‎ 点为的中点，.‎ 又平面，平面，平面.‎ ‎（2），，.‎ 在三棱柱中，由平面，得平面平面.‎ 又平面平面，平面，‎ 点到平面的距离为，且.‎ ‎.‎ ‎18．【天津市部分区2019届高三联考一模】如图，四棱锥中，，，，，，为的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求直线与平面所成的角.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1），. ‎ 又， ‎ ‎. ‎ 又，‎ ‎. ‎ ‎（2）取中点，连接.‎ 分别是的中点，‎ 且， ‎ 又且，且， ‎ 四边形是平行四边形，， ‎ 又，‎ ‎. ‎ ‎（3）以为原点，以的延长线，‎ 为轴、轴、轴建立坐标系，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ 平面.是面的法向量，‎ ‎,‎ 设直线与平面所成的角为，‎ 则，‎ 直线与平面所成的角为.‎ ‎19．【湖南省长沙市开福区长沙市第一中学2018-2019学年高一下学期期中】如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，AC∩BD＝O，点P在底面的射影为点O，PO＝3，点E为线段PD中点．‎ ‎（1）求证：PB∥平面AEC；‎ ‎（2）若点F为侧棱PA上的一点，当PA⊥平面BDF时，试确定点F的位置，并求出此时几何体F﹣BDC的体积． ‎ ‎【答案】（1）见解析（2）F为AP的四等分点（靠近A），几何体F﹣BDC的体积为 ‎【解析】‎ 解：‎ ‎（1）证明：连接OE，‎ ‎∵O，E为BD，PD的中点，‎ ‎∴PB∥OE，‎ 又PB⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，‎ ‎∴PB∥平面AEC；‎ ‎（2）∵PO⊥平面ABCD，‎ ‎∴PO⊥BD，‎ 又BD⊥AC，‎ ‎∴BD⊥平面PAC，‎ ‎∴BD⊥PA，‎ 作BF⊥PA交PA于F，连接DF，‎ 则PA⊥平面BDF，‎ 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，边长为2，‎ 可求得AO，‎ 在Rt△POA中，求得PA，‎ 连接OF，易知PA⊥OF，‎ 利用等面积法可得OF，‎ 在Rt△AFO中，求得AF，‎ 即F为AP的四等分点（靠近A），‎ ‎∴VF﹣BDC ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ 故几何体F﹣BDC的体积为．‎ ‎20．【浙江省嘉兴市2018-2019学年高二下学期期末】如图几何体中，底面为正方形，平面，，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）四边形为正方形 ‎ 又平面 平面 又，平面 平面 平面， 平面平面 平面 平面 ‎（2）连接交于点，连接 平面，平面 ‎ 又四边形为正方形 ‎ 平面， 平面 即为与平面所成角 且 ‎ 又 ‎ ‎ 即与平面所成角为：‎ ‎21．【湖北省天门市、仙桃市、潜江市2018-2019学年高一下学期期末考试】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，过点的三条棱PA、AB、AD两两垂直且相等，E，F分别是AC，PB的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：EF//平面PCD；‎ ‎（Ⅱ）求EF与平面PAC所成角的大小．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析； （Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）证明：如图，连接BD，则E是BD的中点 又F是PB的中点，∴ EF//PD，‎ ‎∵ EF不在平面PCD内，∴ EF//平面PCD。‎ ‎（Ⅱ）连接PE，∵ ABCD是正方形，∴‎ 又平面，∴。‎ ‎∴平面，故是PD与平面PAC所成的角，‎ ‎∵EF//PD，∴EF与平面PAC所成的角的大小等于 ‎∵PA=AB=AD，，‎ ‎∴≌，因此PD=BD 在中，，‎ ‎∴EF与平面PAC所成角的大小是。‎ ‎22．【北京市昌平区2018-2019学年高一年级第二学期期末】如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，BC∥AD，.‎ ‎（Ⅰ）求证：CD⊥PD；‎ ‎（Ⅱ）求证：BD⊥平面PAB；‎ ‎（Ⅲ）在棱PD上是否存在点M，使CM∥平面PAB，若存在，确定点M的位置，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB ‎，且M是PD的中点.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）证明：因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD 所以CD⊥PA.‎ 因为CD⊥AD，，‎ 所以CD⊥平面PAD.‎ 因为平面PAD，‎ 所以CD⊥PD.‎ ‎(II)因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD 所以BD⊥PA.‎ 在直角梯形ABCD中，，‎ 由题意可得，‎ 所以，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以平面PAB.‎ ‎（Ⅲ）解：在棱PD上存在点M，使CM∥平面PAB，且M是PD的中点.‎ 证明：取PA的中点N，连接MN，BN，‎ 因为M是PD的中点，所以.‎ 因为，所以.‎ 所以MNBC是平行四边形，‎ 所以CM∥BN.‎ 因为平面PAB, 平面PAB.‎ 所以平面PAB.‎ 能力提升训练 ‎1．【2018年11月浙江省学考】下列命题中为假命题的是 A．垂直于同一直线的两个平面平行 B．垂直于同一平面的两条直线平行 C．平行于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一平面的两条直线平行 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由面面平行的判定定理可得，垂直于同一直线的两个平面平行，故A正确；‎ 由线面垂直的性质定理可得，垂直于同一平面的两条直线平行，故B正确；‎ 由平行公理可得，平行于同一直线的两条直线平行，故C正确；‎ 由线面平行的性质可得，平行于同一平面的两条直线可能平行或相交或异面，故D错误． 故选：D．‎ ‎2．【贵州省高三11月37校联考】如图，已知正方体的棱长为1，点上一动点，现有以下四个结论，其中不正确的结论是（ ）‎ A．平面平面 B．平面 C．当的中点时，的周长取得最小值 D．三棱锥的体积不是定值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 平面是始终成立的，故选项A正确；‎ 平面，所以选项B正确；‎ 平面展开到平面在同一个平面，则当的中点时，最小，故选项C正确；‎ ‎，故选项D不正确.‎ 故选D ‎3．【吉林省公主岭市2018-2019学年高二上学期期末】下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，‎ ‎①平面；‎ ‎②平面；‎ ‎③平面平面．‎ 以上结论中，正确结论的个数是(   )‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 把正方体的平面展开图还原成正方体，如图所示：‎ 根据正方体的性质可得，根据线面平行的判定定理，‎ 可得平面，所以①正确；‎ 同理可得平面，故②正确；‎ 因为，‎ 所以平面，故③正确，所以三个都正确，故选C.‎ ‎4．【黑龙江省大庆实验中学2017-2018学年高一6月月考】如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ）‎ ‎①平面平面；‎ ‎②平面；‎ ‎③异面直线与所成角的取值范围是；‎ ‎④三棱锥的体积不变.‎ A．①② B．①②④ C．③④ D．①④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 对于①，连接DB1，根据正方体的性质，有DB1⊥面ACD1 ，DB1⊂平面PB1D，从而可以证明平面PB1D⊥平面ACD1，正确．‎ ‎②连接A1B，A‎1C1容易证明平面BA‎1C1∥面ACD1，从而由线面平行的定义可得 A1P∥平面ACD1，正确．‎ ‎③当P与线段BC1的两端点重合时，A1P与AD1所成角取最小值，‎ 当P与线段BC1的中点重合时，A1P与AD1所成角取最大值，‎ 故A1P与AD1所成角的范围是，错误；‎ ‎④=，C到面AD1P的距离不变，且三角形AD1P的面积不变．‎ ‎∴三棱锥A﹣D1PC的体积不变，正确；‎ 正确的命题为①②④．‎ 故选：B．‎ ‎5．【贵州省遵义市南白中学2018-2019学年高二上学期第一次月考】如图，已知正方体的棱长为1，E为棱的中点，F为棱上的点，且满足，点F、B、E、G、H为面MBN过三点B、E、F的截面与正方体在棱上的交点，则下列说法错误的是 A．HF//BE B．‎ C．∠MBN的余弦值为 D．△MBN的面积是 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为面，且面与面的交线为,面与面的交线为，所以正确；‎ ‎，且，在中，正确；‎ 在中，为棱的中点，为棱上的中点，，在中，，在中，错误；‎ ‎，，正确，故选C.‎ ‎6．【江苏省启东中学2018-2019学年高一下学期期中考试】平面平面，直线， ，那么直线与直线的位置关系一定是（ ）‎ A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题平面平面 ，直线，‎ 则直线与直线的位置关系平行或异面，即两直线没有公共点，不相交.‎ 故选D.‎ ‎7．【天津市和平区第一中学2018-2019学年高一下学期期中】如图1所示，在矩形中，，为的中点，沿将折起，如图2所示，分别为的中点，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面平面．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）证明：取中点，连接（如图），易证平面 平面，，平面，‎ 平面平面，平面，平面 ‎ ‎ ‎（2）证明：连接，，，为中点 ‎，，‎ ‎，平面，，平面 平面平面平面 ‎ ‎ ‎8．【2019年河北省藁城市第一中学高一下学期7月月考】在四棱锥中，，底面，，直线与底面所成的角为，分别是的中点．‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）若，求证：直线平面；‎ ‎（3）若，求棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）证明：连接 ，∵是中点，∴，从而．‎ ‎∵在平面外，在平面内，∴直线平面；‎ ‎（2）证明：∵，∴．‎ ‎∵底面，直线与底面成角，‎ ‎∴．∴．‎ ‎∵是的中点，∴．‎ ‎∵， ∴．‎ ‎∵相交于一点，∴直线平面；‎ ‎（3）．‎ ‎9．【江西省宜春市上高二中2018-2019学年高二下学期第二次月考】如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求四面体N-BCM的体积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线 ‎∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，‎ ‎∵AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，‎ ‎∴BE＝BC＝AM＝2，∴四边形ABEM是平行四边形，‎ ‎∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN⊂平面NEM，∴MN∥平面PAB.‎ ‎（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF＝PA＝2，‎ 又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG＝AM，连结GM，‎ ‎∵AMCG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC＝MG＝3，‎ 又∵ME＝3，EC＝CG＝2，∴△MEG的高h＝，‎ ‎∴S△BCM＝×BC×h＝×4×＝2，‎ ‎∴四面体N-BCM的体积VN-BCM＝.‎ ‎10．【安徽省皖南八校2018-2019学年高二下学期】如图，在三棱柱中，已知分别是的中点 ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1取中点,连接， 故四边形为平行四边形，故 ‎，又平面，平面，所以平面 ‎（2）由题， ‎