贵州省遵义市南白中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（文）试题

贵州省遵义市南白中学2019-2020学年高二上学期第三次月考数学（文）试题

遵义市南白中学2019——2020学年度第一学期高二年级第三次月考数 学 试 题 （文科）‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.已知集合,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由二次不等式的解法求再利用集合交集的运算可得，得解.‎ ‎【详解】解:因为 ‎ 所以,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查了二次不等式的解法及集合交集的运算，属基础题.‎ ‎2.己知等差数列中，，则（ ）‎ A. 7 B. 8 C. 14 D. 16‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的性质，求解.‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ 故选A ‎【点睛】本题考查等差数列的性质，属于基础题型.‎ ‎3.椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出后可求椭圆的离心率.‎ ‎【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，则 ‎，所以，故离心率为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，一般地，可从椭圆的标准方程中得到基本量即长半轴长、短半轴长，再利用计算半焦距后可求椭圆的离心率.‎ ‎4.命题“”的否定为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零,得解.‎ ‎【详解】解：由特称命题的否定为全称命题,小于零的否定为大于或等于零，‎ 即命题“”的否定为“”，‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了特称命题与全称命题的否定,属基础题.‎ ‎5.若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示.则该几何体的正视图是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正视图是从前向后看得到的视图，结合选项即可作出判断．‎ ‎【详解】解：所给图形的正视图是A选项所给的图形，满足题意． 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，属于基础题，关键掌握正视图是从前向后看得到的视图．‎ ‎6.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指对函数的图象与性质即可比较大小.‎ ‎【详解】,‎ ‎∴‎ 故选C ‎【点睛】本题考查了对数函数、指数函数的单调性，中间量0和1，考查了推理和计算能力，属于基础题．‎ ‎7.已知函数是定义在上的偶函数，且函数在上是减函数，如果 ‎，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意画出函数的草图，再根据图象解不等式．‎ ‎【详解】由题意画出函数的草图，‎ 由偶函数满足得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，考查利用函数单调性解不等式，属于基础题．‎ ‎8.已知命题：直线与直线垂直，：原点到直线的距离为，则（ ）‎ A. 为假 B. 为真 C. 为真 D. 为真 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两直线垂直,斜率乘积为,可判断命题是真命题；利用点到直线距离公式求解,可判断是真命题,进而判断出正确的选项 ‎【详解】因为直线的斜率为1,直线的斜率为,由于,所以两直线垂直,故为真命题；因为原点到直线的距离,所以为真命题,所以为真 故选B ‎【点睛】本题考查判断命题真假,考查逻辑联结词,属于基础题 ‎9.已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先解得，而根据q是p的必要不充分条件便得到，解该不等式组即得m的取值范围.‎ ‎【详解】∵，是的必要不充分条件，‎ 所以由能推出，而由推不出，，，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用一元二次不等式的解法先求出p，q所表示的范围是解决本题的关键，属基础题.‎ ‎10.明代数学家程大位(1533-1606 年)所著《算法统宗》中有这样一个问题:“旷野之地有个桩，桩上系着一腔羊，团团踏破三亩二．试问羊绳几丈长”意思是“一条绳索系着一只羊，羊踏坏一块面积为亩的圆形庄稼，试求绳的长度(即圆形半径)”(明代度量制:步=尺，亩=平方步，丈=尺，圆周率.)‎ ‎（ ）.‎ A. 丈 B. 丈 C. 丈 D. 丈 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得已知圆面积,求圆的半径即可,注意单位的转换即可.‎ ‎【详解】由题得面积为亩,即平方步,由圆的面积设半径步,则,‎ 取则,步,又丈=尺, 步=尺,故丈=2步,故步丈,‎ 故选B ‎【点睛】本题主要考查圆的面积公式,注意单位转换即可,属于简单题.‎ ‎11.函数的图像大致为 (　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.‎ 详解：为奇函数，舍去A,‎ 舍去D;‎ ‎，‎ 所以舍去C；因此选B.‎ 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． ‎ ‎12.已知函数是定义域为的奇函数，且满足，若函数有两个零点.其中，分别记为，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的大致图象，由得，将方程得根转化为函数的交点问题即可求出答案．‎ ‎【详解】由题意，画出函数的大致图象， 不妨设，‎ ‎∵奇函数满足，‎ ‎∴当时，，‎ 由得，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴，‎ 则，‎ 由对勾函数在上单调递增得：，‎ 化简得，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查对勾函数的单调性和最值，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.向量，若，则实数____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量垂直对应坐标形式的数量积为零，即可求解出的值.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 所以.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查根据向量垂直求解参数，难度较易.已知，若则有.‎ ‎14.平行与之间的距离为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两条平行线之间的距离公式即可得出．‎ ‎【详解】解：已知与平行 则 故答案为 ‎【点睛】本题考查了两条平行线之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎15.在△ABC中，如果，那么等于___________；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合余弦定理公式即可求得 ‎【详解】‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查余弦定理的使用，属于基础题 ‎16.已知，分别为椭圆的左、右焦点，若直线上存在点，使为等腰三角形，则椭圆离心率的范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首次按判断出为等腰三角形只可能，再利用直线与轴的交点 、点、点构成的三角形中，即可解出椭圆离心率的范围 ‎【详解】为等腰三角形，只可能 ‎ 即，‎ 又因为点在直线上，即 又因为椭圆 ‎ 所以 故填 ‎【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围，找到直线与轴的交点 、点、点构成的三角形中，是解本题的关键，属于中档题．‎ 三、解答题 （本大题共6个小题，第17题10分，其余每个题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知等差数列的前项和为，有，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）令，记数列的前项和为，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由等差数列的前项和公式列出关于首项和公差的方程，求出和，再根据等差数列的通项公式即可求出；‎ ‎（2）由（1）先求出，利用裂项相消法求出，再证明．‎ ‎【详解】（1）设数列的公差为，有，‎ 解得，有，‎ 数列的通项公式为；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 有，‎ 由，，由上知．‎ ‎【点睛】本题主要考查由数列的递推公式求通项公式，裂项相消法求和，属于基础题．‎ ‎18.《中华人民共和国道路交通安全法》第条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”， 《中华人民共和国道路交通安全法》第条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣分，罚款元的处罚.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：‎ 月份 违章驾驶员人数 ‎（1）请利用所给数据求违章人数与月份之间的回归直线方程；‎ ‎（2）预测该路口月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.‎ 参考公式： 参考数据：.‎ ‎【答案】（1）；（2）49.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由表中的数据，根据最小二乘法和公式，求得的值，得到回归直线方程；‎ ‎（2）令，代入回归直线的方程，即可得到该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数.‎ ‎【详解】（1）由表中数据知， ，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴所求回归直线方程为.‎ ‎（2）令，则人.‎ ‎【点睛】本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中认真审题，根据最小二乘法的公式准确计算，求得的值是解答的关键和解答的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎19.已知四面体中，面，，垂足为，为中点，,.‎ ‎（1）求证： 面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用中位线定理证出所以，再根据线面平行的判定定理证明平面；‎ ‎（2）利用等体积法得三棱锥的体积，再用棱锥体积公式即可求解．‎ ‎【详解】（1）因为,，‎ 所以为中点,又因为是中点，‎ 所以，‎ 而面,面，‎ 所以面；‎ ‎（2）由已知得，，，，‎ ‎△的面积，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，考查等体积法求三棱锥的体积，属于基础题．‎ ‎20.三个内角A,B,C对应的三条边长分别是，且满足．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求．‎ ‎【答案】⑴ (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴由正弦定理及，得，因为，所以；‎ ‎⑵由余弦定理，解得 ‎【详解】⑴由正弦定理 得，‎ 由已知得，，‎ 因为，所以 ‎⑵由余弦定理，‎ 得 即，解得或，负值舍去，‎ 所以 ‎【点睛】解三角形问题，常要求正确选择正弦定理或余弦定理对三角形中的边、角进行转换，再进行求解，同时注意三角形当中的边角关系，如内角和为180度等 ‎21.如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，且,为中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用线面垂直的性质得，再由线面垂直的判定定理证出平面，从而证出，再由等腰三角形三线合一证出，然后根据线面垂直的判定定理即可证出平面；‎ ‎（2）过点作于点，证平面，得线段的长度就是点到平面的距离，由等面积法得．‎ ‎【详解】（1）证明：平面，‎ 又正方形中，‎ 平面·‎ 又平面，，‎ ‎，是的中点，‎ ‎∴，‎ 平面·‎ ‎（2）过点作于点，‎ 由（1）知平面平面，‎ 又平面平面，平面，‎ 线段的长度就是点到平面的距离·‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎·‎ ‎∴点到平面的距离为．‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定和性质，考查点到平面的距离，属于基础题．‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设直线与圆相切，与椭圆相交于两点，求证：是定值.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用离心率可得，进而得到；将点代入椭圆方程可求得 ‎，从而得到椭圆方程；‎ ‎（2）①当直线斜率不存在时，可求得坐标，从而得到，得到；②当直线斜率存在时，设直线方程为，由直线与圆相切可得到；将直线方程与椭圆方程联立可得到韦达定理的形式，从而表示出，整理可得，得到；综合两种情况可得到结论.‎ ‎【详解】（1）由题意得：，即 椭圆方程为 将代入椭圆方程得： ‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（2）①当直线斜率不存在时，方程为：或 当时，，，此时 ‎ ‎ 当时，同理可得 ‎②当直线斜率存在时，设方程为：，即 直线与圆相切 ，即 联立得：‎ 设， ，‎ 代入整理可得： ‎ 综上所述：为定值 ‎【点睛】本题考查根据椭圆上的点求解椭圆方程、直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解；求解定值问题的关键是能够将所求量表示为韦达定理的形式，进而通过整理化简，消去变量得到常数，从而得到结果.‎ ‎ ‎