内蒙古集宁一中2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

内蒙古集宁一中2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题

集宁一中西校区2019-2020学年第一学期期末考试 高二年级文科数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.）‎ ‎1. 有下列四个命题：‎ ‎（1）“若x2+y2=0，则xy=‎0”‎的否命题；‎ ‎（2）“若x＞y，则x2＞y‎2”‎的逆否命题；‎ ‎（3）“若x≤3，则x2﹣x﹣6＞‎0”‎的否命题；‎ ‎（4）“对顶角相等”的逆命题．‎ 其中真命题的个数是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据四种命题的真假关系进行判断即可．‎ 解：（1）“若x2+y2=0，则xy=‎0”‎的否命题是若x2+y2≠0，则xy≠‎0”‎错误，如当x=0，y=1时，满足x2+y2≠0，但xy=0，故命题为假命题．‎ ‎（2）“若x＞y，则x2＞y‎2”‎为假命题，如当x=1，y=﹣2，满足x＞y，但x2＞y2不成立，即原命题为假命题，则命题的逆否命题也为假命题．‎ ‎（3）“若x≤3，则x2﹣x﹣6＞‎0”‎的否命题是若x＞3，则x2﹣x﹣6≤0为假命题，如当x=4时，满足x＞3，但x2﹣x﹣6≤0不成立，即命题为假命题．‎ ‎（4）“对顶角相等”的逆命题为相等的角是对顶角，为假命题．‎ 故真命题的个数是0个 故选A．‎ ‎2.的一个充分但不必要的条件是(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解不等式解集，再根据集合的大小关系判定得到充分不必要条件，即可得到答案.‎ ‎【详解】由不等式，可得，解得，‎ 由此可得：选项A，是不等式成立的一个充要条件；‎ 选项B，是不等式成立的一个充分不必要条件；‎ 选项C，是不等式成立的一个必要不充分条件；‎ 选项D，是不等式成立的一个既不充分也不必要条件，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了充要条件的判定，以及不等式的求解，其中根据一元二次不等式的解法求解不等式的解集，再根据集合之间的关系判定充要条件是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.‎ ‎3.命题“对任意，”的否定是 A. 不存在， B. 存在，‎ C. 存在， D. 对任意的，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．‎ ‎“对任意的，”的否定是:存在，‎ 选C.‎ ‎4.等差数列中，前项和满足，则＝(　　)‎ A. 7 B. ‎9 ‎C. 14 D. 18‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 法一：利用等差数列的下标和性质即可求出；法二：利用待定系数法设出公差，再利用等差数列的通项公式即可以求出．‎ ‎【详解】解法一：因为在等差数列中，，‎ 所以，所以，故选B.‎ 解法二：设等差数列的公差为，因为在等差数列中，，‎ 所以，整理得，所以，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的应用以及等差数列性质的应用．‎ ‎5.已知成等差数列，成等比数列，则等于（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为成等差数列，所以因为成等比数列，所以，由得，，故选B.‎ 考点：1、等差数列的性质；2、等比数列的性质.‎ ‎6.（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用裂项相消法可直接求得结果.‎ ‎【详解】原式.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查裂项相消法求和的问题，属于基础题.‎ ‎7.曲线与曲线的（ ）‎ A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 焦距相等 D. 离心率相等 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：，．，‎ 因此焦距相等，故选C．‎ 考点：椭圆的定义 ‎8.在中，内角，，所对边分别是，，，若，且，则角的大小（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理由求出角，再利用余弦定理由求出角，由三角形内角和为即可求得角.‎ ‎【详解】由正弦定理得 得，所以．‎ 又，得．所以．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属常规考题.‎ ‎9.双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）‎ A. 4 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的，，，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值．‎ ‎【详解】双曲线的，，，‎ 一个焦点设为，，一条渐近线设为，‎ 可得一个焦点到一条渐近线的距离为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和性质、渐近线方程、点到直线的距离公式，考查化简运算能力，属于基础题．‎ ‎10.若直线与双曲线只有一个公共点，则满足条件的直线有（ ）‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得直线经过点，即为双曲线的右顶点，求得渐近线方程，考虑与渐近线平行的直线，即可得到所求条数．‎ ‎【详解】直线经过点，即为双曲线的右顶点，‎ 由于直线的斜率为，故直线不成立，‎ 而双曲线的渐近线方程为，‎ 可得经过点与渐近线平行的直线，与双曲线只有一个公共点，‎ 故满足条件的直线有两条．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查直线和双曲线的位置关系、双曲线的性质、渐近线方程，考查分类讨论思想，属于基础题．‎ ‎11.若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：根据题意，结合椭圆的性质，可得，进而可得，再由双曲线的渐近线方程的定义可得答案．‎ 详解：根据题意，椭圆离心率为，‎ 则有，即，‎ 则双曲线的渐近线方程为，即，故选A．‎ 点睛：本题主要考查了椭圆的离心率以及双曲线的渐近线定义，解本题时，注意椭圆与双曲线的标准方程中，、的意义与相互间的关系.‎ ‎12.为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的标准方程可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出,由PF=4以及抛物线的定义列式可得,即,再代入抛物线方程可得点P的纵坐标,‎ 再由三角形的面积公式可得.‎ ‎【详解】由可得抛物线的焦点F(1,0),准线方程为,‎ 如图:过点P作准线 的垂线,垂足为,根据抛物线的定义可知PM=PF=4,‎ 设,则,解得,将 代入可得,‎ 所以△的面积为=.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P点的坐标;②利用OF为三角形的底,点P的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=1，则 =______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形的面积公式S=AB•ACsinA即可求得答案．‎ ‎【详解】∵在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=1，‎ ‎∴△ABC的面积S=AB•ACsinA ‎=×2×1×‎ ‎=．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查三角形的面积公式，属于基础题．‎ ‎14.已知函数在时取得最小值，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为，所以，当且仅当即，由题意，解得 考点：基本不等式 ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎15.已知双曲线的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点．则曲线C的方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的渐近线方程可得,求得椭圆的焦点,可得,解方程可得a,b,进而得到双曲线的方程．‎ ‎【详解】解：双曲线的渐近线方程为,‎ 由一条渐近线方程为,可得 椭圆的焦点为,，‎ 可得 由可得,,‎ 即双曲线的方程为,‎ 故答案为:．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题．‎ ‎16.斜率为2的直线l经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于两点,则线段AB的长为__________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立直线与抛物线方程，根据抛物线焦点弦的计算公式：，即可求解出过焦点的弦长.‎ ‎【详解】因为焦点，所以，‎ 联立直线与抛物线可得：，所以即，‎ 所以，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线焦点弦的弦长计算，难度较易.抛物线中计算焦点弦弦长的两种方法：‎ ‎(1)直接利用弦长公式：；‎ ‎(2)利用焦半径公式简化计算：.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.已知数列满足，‎ ‎（1）证明是等比数列，‎ ‎（2）求数列的前项和 ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用定义法证明是一个与n无关的非零常数，从而得出结论；‎ ‎（2）由（1）求出，利用分组求和法求．‎ ‎【详解】（1）由得，所以，‎ 所以是首项为，公比为的等比数列,，所以，‎ ‎（2）由（1）知的通项公式为；则 所以 ‎【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法，属于基础题．‎ ‎18.的内角、、的对边分别为、、，设.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）当时，求其面积的最大值，并判断此时的形状.‎ ‎【答案】（1）；（2）面积的最大值为，此时为等边三角形.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用角化边的思想，由余弦定理可求出，再结合角的取值范围可得出角的值；‎ ‎（2）对利用余弦定理，利用基本不等式求出的最大值，即可计算出该三角形面积的最大值，利用等号成立得出，可判断出此时的形状.‎ ‎【详解】（1），，，‎ 由余弦定理得，，；‎ ‎（2）由余弦定理和基本不等式得，‎ ‎，当且仅当时，等号成立，‎ 的面积.‎ 此时，由于，，则是等边三角形.‎ ‎【点睛】本题考查利用余弦定理求角，同时也考查了三角形面积最值的计算，一般利用基本不等式来求解，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎19.设椭圆过点(0,4)，离心率为 .‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)求过点(3,0)且斜率的直线被椭圆C所截线段的中点坐标．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）椭圆C：+=1（a＞b＞0）过点（0，4），可求b，利用离心率为，求出a，即可得到椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），代入椭圆C方程，整理，利用韦达定理，确定线段的中点坐标．‎ ‎【详解】（1）将点（0，4）代入椭圆C的方程得=1，∴b=4，‎ 由e==，得1﹣=，∴a=5，‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1．‎ ‎（2）过点（3，0）且斜率为的直线为y=（x﹣3），‎ 设直线与椭圆C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 将直线方程y=（x﹣3）代入椭圆C方程，整理得x2﹣3x﹣8=0，‎ 由韦达定理得x1+x2=3，‎ y1+y2=（x1﹣3）+（x2﹣3）=（x1+x2）﹣=﹣．‎ 由中点坐标公式AB中点横坐标为，纵坐标为﹣，‎ ‎∴所截线段的中点坐标为（，﹣）．‎ 考点：直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎20.已知双曲线的虚轴长为，且离心率为．‎ ‎(1)求双曲线方程；‎ ‎(2)经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，求．‎ ‎【答案】(1) ；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，，解方程可得，，，可得所求双曲线的方程；‎ ‎（2）设经过双曲线右焦点且倾斜角为的直线的方程为，联立双曲线方程，可得的二次方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．‎ ‎【详解】（1）双曲线的虚轴长为，离心率为，‎ ‎∴解得，，，‎ ‎∴双曲线的方程为.‎ ‎（2）由（1）知双曲线的右焦点为，设经过双曲线右焦点且倾斜角为的直线的方程为，，，‎ 由，得，其中，，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎21.已知数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用公式代入计算得到答案.‎ ‎（2）先计算得到，再利用错位相减法计算得到答案.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 所以当时，，即，‎ 当时，，所以，‎ 所以.‎ ‎（2），‎ 于是，①‎ ‎，②‎ 由①-②，得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了数列的通项公式，利用错位相减法计算数列的前n项和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.‎ ‎22.已知直线l经过抛物线的焦点F，‎ 且与抛物线相交于A、B两点.‎ ‎（1）若，求点A的坐标；‎ ‎（2）若直线l的倾斜角为，求线段AB的长.‎ ‎【答案】(1) 点A的坐标为或. (2) 线段AB的长是8‎ ‎【解析】‎ 解：由，得，其准线方程为，焦点. （2分）‎ 设，.‎ ‎（1）由抛物线的定义可知，，从而.‎ 代入，解得.‎ ‎∴ 点A的坐标为或. （6分）‎ ‎（2）直线l的方程为，即.‎ 与抛物线方程联立，得， （9分）‎ 消y，整理得，其两根为，且.‎ 由抛物线的定义可知，.‎ 所以，线段AB的长是8. （14分）‎