【数学】2019届文科一轮复习人教A版选修4-4参数方程教案

【数学】2019届文科一轮复习人教A版选修4-4参数方程教案

第二节　参数方程 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解参数方程，了解参数的意义.2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程．‎ ‎(对应学生用书第160页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．曲线的参数方程 ‎ 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数．‎ ‎2．参数方程和普通方程的互化 ‎ (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．‎ ‎ (2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．‎ ‎3．常见曲线的参数方程和普通方程 点的轨迹 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝tan α(x－x0)‎ (t为参数)‎ 圆 x2＋y2＝r2‎ (θ为参数)‎ 椭圆 ＋＝1(a>b>0)‎ (φ为参数)‎ ‎ 温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　　)‎ ‎ (2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量．(　　)‎ ‎ (3)方程表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．(　　)‎ ‎ (4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)‎ ‎ [答案]　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2．(教材改编)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)‎ ‎ A．在直线y＝2x上　　　　　 B．在直线y＝－2x上 ‎ C．在直线y＝x－1上 D．在直线y＝x＋1上 ‎ B　[由得 ‎ 所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.‎ ‎ 曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，‎ ‎ 所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上．]‎ ‎3．(教材改编)在平面直角坐标系中，曲线C：(t为参数)的普通方程为________．‎ ‎ x－y－1＝0　[由x＝2＋t，且y＝1＋t，‎ ‎ 消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.]‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________．‎ ‎ (2，－4)　[由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2. ①‎ ‎ 由消去t得y2＝8x. ②‎ ‎ 联立①②得即交点坐标为(2，－4)．]‎ ‎5．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长. 【导学号：79170372】‎ ‎ [解]　椭圆C的普通方程为x2＋＝1. 2分 ‎ 将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得2＋＝1，即7t2＋16t＝0， 8分 ‎ 解得t1＝0，t2＝－，所以AB＝|t1－t2|＝. 10分 ‎(对应学生用书第161页)‎ 参数方程与普通方程的互化 ‎　已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎ (1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎ (2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ ‎ [解]　(1)直线l的普通方程为2x－y－‎2a＝0， 2分 ‎ 圆C的普通方程为x2＋y2＝16. 4分 ‎ (2)因为直线l与圆C有公共点，‎ ‎ 故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4， 8分 ‎ 解得－2≤a≤2. 10分 ‎ [规律方法]　　1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数．‎ ‎ 2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，要保持同解变形．‎ ‎[变式训练1]　在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．‎ ‎ [解]　直线l的普通方程为x－y－a＝0，‎ ‎ 椭圆C的普通方程为＋＝1， 4分 ‎ 所以椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，‎ ‎ 若直线l过椭圆的右顶点(3,0)，‎ ‎ 则3－0－a＝0，所以a＝3. 10分 参数方程的应用 ‎　(2018·合肥模拟)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．‎ ‎ (1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；‎ ‎ (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．‎ ‎ [解]　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎ 直线l的普通方程为2x＋y－6＝0. 4分 ‎ (2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，‎ ‎ 则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝. 8分 ‎ 当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.‎ ‎ 当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为. 10分 ‎ [规律方法]　　1.解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．‎ ‎ 2．对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．‎ ‎[变式训练2]　(2017·石家庄质检)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.‎ ‎ (1)写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；‎ ‎ (2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值. 【导学号：79170373】‎ ‎ [解]　(1)由消去θ，‎ ‎ 得圆C的普通方程为x2＋y2＝16. 2分 ‎ 又直线l过点P(1,2)且倾斜角α＝，‎ ‎ 所以l的参数方程为 ‎ 即(t为参数). 4分 ‎ (2)把直线l的参数方程 ‎ 代入x2＋y2＝16，‎ ‎ 得2＋2＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，‎ ‎ 所以t1t2＝－11， 8分 ‎ 由参数方程的几何意义，|PA|·|PB|＝|t1t2|＝11. 10分 参数方程与极坐标方程的综合应用 ‎　(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C．‎ ‎ (1)写出C的普通方程；‎ ‎ (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．‎ ‎ [解]　(1)消去参数t得l1的普通方程l1：y＝k(x－2)；1分 ‎ 消去参数m得l2的普通方程l2：y＝(x＋2). 2分 ‎ 设P(x，y)，由题设得 ‎ 消去k得x2－y2＝4(y≠0)．‎ ‎ 所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0). 4分 ‎ (2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π).5分 ‎ 联立得 ‎ cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ). 6分 ‎ 故tan θ＝－，从而cos2θ＝，sin2θ＝. 8分 ‎ 代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4得ρ2＝5，‎ ‎ 所以交点M的极径为. 10分 ‎ [规律方法]　　1.参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎ 2．数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，可化繁为简．‎ ‎[变式训练3]　(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎ (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎ (2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎ [解]　(1)C1的普通方程为＋y2＝1， 2分 ‎ 由于曲线C2的方程为ρsin＝2，‎ ‎ 所以ρsin θ＋ρcos θ＝4，‎ ‎ 因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0. 4分 ‎ (2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．‎ ‎ 因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，8分 ‎ 又d(α)＝＝，‎ ‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为. 10分