2020届二轮复习创新型问题课时作业（全国通用）
第五十三讲创新型问题
A组
一、选择题
1. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下：
当时，； 当时，。
则函数的最大值等于（ ）
（“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）
A. B. 1 C. 6 D. 12
解析： A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中12＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C。
2.对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2 C．f(x)＝tan x D．f(x)＝cos(x＋1)
解析：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a-x），则称f（x）为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0，
选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴．
函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确．
故选： D
3、给出函数的一条性质：“存在常数M，使得对于定义域中的一切实数均成立。”则下列函数中具有这条性质的函数是 （ ）
A． B．
C． D．
解析：看函数是否有最大值，只有D正确
4、设，都是定义在实数集上的函数，定义函数：，
．若，，则
A．B．
C．D．
解析：对于A，因为，所以当x＞0时，f（f（x））=f（x）=x；当x≤0时，f（x）=x2≥0，特别的，x=0时x=x2，此时f（x2）=x2，
所以，故A正确；
对于B，由已知得（f•g）（x）=f（g（x））=，0
f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立．由f(x)＝＝1＋，
设ex＋1＝m(m>1)，则原函数可化为f(m)＝1＋(m>1)，当t>1时，函数f(m)在(1，＋∞)上单调递减，所以f(m)∈(1，t)，此时2f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立，需t≤2，所以1f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立，需满足2t≥1，所以≤t<1.综上t∈[，2]，故选A.
3. 定义：区间的长度等于，函数的定义域为，值域为，若区间的长度的最小值为，则实数的值为D
A． B．2 C． D．4
二、填空题
4．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝2log2 x，f2(x)＝log2 (x＋2)，f3(x)＝(log2 x)2，f4(x)＝log2(2x)．则“同形”函数是________．
答案 f2(x)与f4(x)解析 f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将其向下平移1个单位得到f(x)＝log2x，再向左平移2个单位，即得到f2(x)＝log2(x＋2)的图象．故根据新定义得，f2(x)＝log2 (x＋2)与f4(x)＝log2 (2x)为“同形”函数．
5.定义函数那么下列命题中正确的序号是_________.（把所有可能的图的序号都填上）.
①函数为偶函数；②函数为周期函数，且任何非零实数均为其周期；
③方程有两个不同的根.
5.【答案】①
【命题立意】本题考查了新定义的概念的理解，函数的性质及推理能力.
【解析】由题意可知成立，所以函数为偶函数，①正确；②
不是周期函数，所以错误；时，为有理数，所以在此处没有根，，是有理数，所以只有一个根，③错误.
6．下图展示了由区间(0,4)到实数集R的一个映射过程：区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M(如图1)，将线段AB围成一个正方形，使两端点A，B恰好重合(如图2)，再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上(如图3)，点A的坐标为(0,4)，若图3中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)＝n.现给出以下命题：
①f(2)＝0；②f(x)的图象关于点(2,0)对称；③f(x)在区间(3,4)上为常数函数；
④f(x)为偶函数．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
答案 ①②③解析 如图所示．
①由定义可知2的象为0.即f(2)＝0；②由图象可知关于点(2,0)对称的两点的象互为相反数，即其图象关于点(2,0)对称；③结合图形可知m∈(3,4)时其象为定值，即函数在此区间上为常数函数；④因为函数的定义域为[0,4]，不关于原点对称，故函数不是偶函数．综上可知命题①②③是正确的．
7．已知函数y＝f(x)(x∈R)．对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．
答案 (2，＋∞)解析 由已知得＝3x＋b，所以h(x)＝6x＋2b－.h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－>，3x＋b>恒成立．
在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋b及半圆y＝(如图所示)，可得>2，即b>2，故答案为(2，＋∞)．
8．、以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：
①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；
②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；
③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；
④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.
其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)
解析：对于①，根据题中定义，f(x)∈A⇔函数y＝f(x)，x∈D的值域为R，由函数值域的概念知，函数y＝f(x)，x∈D的值域为R⇔∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b，所以①正确；对于②，例如函数f(x)＝|x|的值域(0,1]包含于区间[－1,1]，所以f(x)∈B，但f(x)有最大值1，没有最小值，所以②错误；对于③，若f(x)＋g(x)∈B，则存在一个正数M1，使得函数f(x)＋g(x)的值域包含于区间[－M1，M1]，所以－M1≤f(x)＋g(x)≤M1，由g(x)∈B知，存在一个正数M2，使得函数g(x)的值域包含于区间[－M2，M2]，所以－M2≤g(x)≤M2，亦有－M2≤－g(x)≤M2，两式相加得－(M1＋M2)≤f(x)≤M1＋M2，于是f(x)∈B，与已知“f(x)∈A”矛盾，故f(x)＋g(x)∉B，即③正确；对于④，如果a>0，那么x→＋∞，f(x)→＋∞，如果a<0，那么x→－2，f(x)→＋∞，所以f(x)有最大值，必须a＝0，此时f(x)＝在区间(－2，＋∞)上，有－≤f(x)≤，所以f(x)∈B，即④正确，故填①③④.
答案：①③④
三、解答题
9、，，┅，，，，┅，分别表示实数，，┅，中的最小者和最大者．
（1）作出函数＝｜＋3｜＋2｜－1｜（∈R）的图像；
（2）在求函数＝｜＋3｜＋2｜－1｜（∈R）的最小值时，有如下结论：
＝，＝4．请说明此结论成立的理由；
（3）仿照（2）中的结论，讨论当，，┅，为实数时，
函数＝＋＋┅＋∈R，＜＜┅＜∈R的最值．
解：（1）图略；
（2）当∈（－∞，－3）时，是减函数，
当∈－3，1）时，是减函数，
当∈1，＋∞）时，是增函数，
∴＝，＝4．
（3）当＋＋┅＋＜0时，＝，，┅，；
当＋＋┅＋＞0时，＝，，┅，；
当＋＋┅＋＝0时，＝，，
＝，．
10、已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”.
(1)将函数的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标;
(2)求函数 图像对称中心的坐标;
(3)已知命题:“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).
【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为,
整理得, 由于函数是奇函数,
由题设真命题知,函数图像对称中心的坐标是.
(2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数.
设则,即.
由不等式的解集关于原点对称,得.
此时.
任取,由,得,
所以函数图像对称中心的坐标是.
(3)此命题是假命题.
举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数.
修改后的真命题:
函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”.
