数学文卷·2019届陕西省黄陵中学高二（普通班）下学期开学考试（2018-03）

数学文卷·2019届陕西省黄陵中学高二（普通班）下学期开学考试（2018-03）

高二普通班开学考试数学试题（文）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若数列的前 4 项分别是，则此数列的一个通项公式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织 28 尺，第二日，第五日，第八日所织之和为 15 尺，则第九日所织尺数为（ ）‎ A．8 B．9 C．10 D．11 ‎ ‎4．已知等比数列的公比，则等于（ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎5.如图，面,B为AC的中点， ，且P到直线BD的距离为则的最大值为（ ） ‎ A. 30° B. 60°【来源：全,品…中&高*考+网】‎ C. 90° D. 120°‎ ‎6.如图，在长方体中，点分别是棱上的动点， ,直线与平面所成的角为，则的面积的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.如图，60°的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为（　　）‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎ A. B. 7 ‎ C. D. 9‎ ‎8.已知是同一球面上的四个点，其中是正三角形， 平面， ，则该球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知是两个定点，点是以和为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且，记和分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 A. B. C. D. ‎ ‎10.对于每个自然数n，抛物线与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点间的距离，则|A1B1|＋|A2B2|＋…＋|A2 017B2 017|的值是 A. B. C. D. ‎ ‎11.已知点是抛物线（）上一点，为其焦点，以为圆心，以为半径的圆交准线于，两点，为正三角形，且的面积是，则抛物线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎12. 已知为实数，且，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 非充分非必要条件 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13.函数的单调递增区间为 . ‎ ‎14.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________．‎ ‎15.若点是函数的一个对称中心，则__________‎ ‎16.设f(x)是定义在R 且周期为1的函数，在区间上，其中集合D=，则方程f(x)-lgx=0的解的个数是 .‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.（本大题满分10分）[]‎ 已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．‎ ‎(1)求复数z及；‎ ‎(2)若ω＝，求复数ω的模|ω|.‎ ‎18．（本试题满分12分）已知数列满足递推式，其中 ‎（1）求；‎ ‎（2）求证：数列为等比数列.‎ ‎19.（本试题满分12分）已知过点的动直线与抛物线：相交于，两点.当直线的斜率是时，.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围. ‎ ‎20.（本试题满分12分）已知数列，，为数列的前项和，，，‎ ‎.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明为等差数列.‎ ‎（3）若数列的通项公式为，令.为的前项的和，求. ‎ ‎21.（本试题满分12分）已知点到点的距离比到轴的距离大1.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）设直线：，交轨迹于、两点，为坐标原点，试在轨迹的部分上求一点，使得的面积最大，并求其最大值.‎ ‎22.（本试题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 ‎1-5：AABBB 6-10.BCADD 11-12.CC ‎13. 14. 15. 16. 8‎ ‎17．解析：　(1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i ‎∵(1＋3i)·z是纯虚数，[]‎ ‎∴3－3b＝0，且9＋b≠0，‎ ‎∴b＝1，∴z＝3＋i.‎ ‎(2)ω＝＝ ‎＝＝－i ‎∴|ω|＝＝.‎ ‎18.解：（1）由知 解得同理得 ‎ ‎（2）由知 是以为首项以2为公比的等比数列 ‎19.解：（1）设，，当直线的斜率是时，的方程为，‎ 即，由得：‎ ‎，‎ ‎①，②，‎ 又， ③，‎ 由①②③及得：，得抛物线的方程为.‎ ‎（2）设：，的中点坐标为，‎ 由得④‎ ‎，.‎ 线段的中垂线方程为，‎ 线段的中垂线在轴上的截距为： ‎ 对于方程④，由得或，.‎ ‎20.解（1）当时，‎ 当时，，‎ 综上，是公比为，首项为的等比数列，.‎ ‎（2），，，‎ 综上，是公差为，首项为的等差数列.‎ ‎（3）由（2）知：‎ 两式相减得：‎ ‎.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎21. 解：（1）因为点M到点F(1,0)‎ ‎ 的距离比到y轴的距离大1，所以点M到点F(1,0)的距离等于它到直线m:x＝－1的距离 由抛物线定义知道，点M的轨迹是以F为焦点，m为准线的抛物线或x轴负半轴 设轨迹C的方程为： ， ‎ ‎ 轨迹C方程为：. 或 ‎ ‎（2）设A（x1,y1）,B（x2,y2）, P（x0,y0）‎ 直线l化成斜截式为 ‎ 当直线l的平行线与抛物线相切时△ABP的面积最大 由图知P点在第四象限.抛物线在x轴下方的图象解析式：‎ ‎，所以 ‎ ‎，解得，‎ 所以P点坐标 P点到l的距离 ‎ A，B两点满足方程组 ‎ 化简得. ‎ x1,x2 为该方程的根. 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22. 解：（1）由题知： ‎ 当m≤0时，>0在x∈(0，＋∞)时恒成立 ‎∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数. ‎ 当m>0时, ‎ 令f′(x)>0，则 ；令f′(x)<0, 则.‎ ‎∴f(x)在为增函数，f(x)在为减函数. ‎ ‎(2)法一：由题知：在上恒成立， ‎ 即在上恒成立。 ‎ 令，所以 ‎ 令g′(x)>0，则；令g′(x)<0，则.‎ ‎ ∴g(x)在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴ ‎ 法二：要使f(x) ≤0恒成立，只需 ‎（1）当m≤0时，f(x)在[1,e]上单调递增，所以 ‎ 即，这与m≤0矛盾，此时不成立 ‎（2）当m>0时,【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎① 若即时，f(x)在[1，e]上单调递增，‎ 所以，即，‎ ‎ 这与矛盾，此时不成立. ‎ ‎②若1<即时，f(x)在上单调递增，在上单调递减 .‎ 所以即 解得 ，又因为，所以 ‎ ‎③ 即m 2时，f(x)在 递减，则 ‎∴ 又因为，所以m 2‎ ‎ 综上 ‎ ‎【来源：全,品…中&高*考+网】‎