【数学】重庆市北碚区西南大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题（解析版）

【数学】重庆市北碚区西南大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题（解析版）

www.ks5u.com 重庆市北碚区西南大学附属中学2019-2020学年 高二上学期期末考试试题 一、选择题 ‎1.抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,因此焦点坐标为，‎ 故选：D ‎2.已知向量，满足，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以.‎ 故选：B ‎3.设命题，，则为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为的否定为，所以为，‎ 故选：D ‎4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心 率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为渐近线方程为，‎ 所以.‎ 故选：A ‎5.“”是“方程表示双曲线”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】因为方程表示双曲线，所以，‎ 又当时，方程表示双曲线，‎ 因此“”是“方程表示双曲线”的充要条件.‎ 故选：C ‎6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图知该几何体是由一个长方体上方放一个半球组合的，尺寸见三视图，‎ ‎．‎ 故选：D.‎ ‎7.下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ B. “为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件 C. 命题“若，则”的逆否命题为假命题 D. 若“或”为真命题，则，至少有一个为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】命题“若，则”否命题为“若，则”,所以A错；‎ ‎“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件，所以B错；‎ 命题“若，则”为真命题，所以其的逆否命题为真命题，C错；‎ 若“或”为真命题，则，至少有一个为真命题，所以D对；‎ 故选：D ‎8.直线被圆截得的弦长为2，则直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. 或 ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】因为，‎ 因此直线的倾斜角为或，‎ 故选：C ‎9.长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】建立坐标系如图所示．‎ 则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，＝(－1,0,2)，＝(－1，2,1)．‎ cos〈，〉＝＝.‎ 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.‎ ‎10.已知四棱锥中，平面平面，其中为边长为4的正方形，为等腰三角形，，则四棱锥外接球的表面积为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设外接球球心为，球半径为，与交点为，为中点，‎ 垂直平面，垂直于.‎ 因为为等腰三角形,所以垂直,‎ 因为平面平面，所以垂直平面，‎ 即平行，则，，‎ 因为，所以，由于位置可在延长线上，‎ 因此，,‎ 则四棱锥外接球的表面积为.‎ 故选：C ‎11.在棱长为1的正方体中，，，分别在棱，，上，且满足，，，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图，为与交点，为中点，为与的交点.‎ 过作平行交于.‎ 如图,则为中点，‎ 所以，所以，‎ 因此，‎ 因为，所以,.‎ 故选：C ‎12.已知，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为点为线段的中点，所以，‎ 且，因为，‎ 所以，‎ 因此，‎ 故选：B 二、填空题 ‎13.若直线与垂直，则的值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为直线与垂直，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎14.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵圆锥的轴截面是正三角形，边长等于2‎ ‎∴圆锥的高，底面半径.‎ ‎∴这个圆锥的表面积：.‎ 故答案为．‎ ‎15.设、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，下面给出四个命题：‎ ‎①若，，则；②若，，、、则；‎ ‎③若，，则；④若且，，，则.‎ 其中假命题有_________.（写出所有假命题的序号）‎ ‎【答案】①②④‎ ‎【解析】若，，则或，所以①为假命题；‎ 若，，、、且为相交直线时，才有，才可得；所以②为假命题；‎ 若，，则，，所以③为真命题；‎ 若且，，，则不一定平行，所以不一定成立，即④为假命题.‎ 故答案为：①②④‎ ‎16.已知抛物线与双曲线有一个公共的焦点，点为抛物线上任意一点，，则的最小值是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，因此双曲线焦点为.‎ 因为抛物线与双曲线有一个公共的焦点，‎ 所以，.‎ 设，则，当时，‎ ‎，‎ 当且仅当时取等号；‎ 当时，.‎ 故答案为：‎ 三、解答题 ‎17.如图，四棱锥底面为矩形，，其中分别为，‎ 中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面底面，求证：平面.‎ ‎【解】证明：（1），分别是，中点，.‎ 又底面为矩形，，.‎ 又平面，平面，平面.‎ ‎（2）底面为矩形，.‎ 又平面底面，且平面底面，‎ 且平面，平面.‎ 又平面，.‎ 又，平面,，‎ 平面.‎ ‎18.已知椭圆的左右焦点分别为，，对于椭圆上任一点，若的取值范围是，‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知过点倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求的面积.‎ ‎【解】（1）的取值范围为，即，.‎ ‎，，又，，‎ 椭圆方程为：.‎ ‎（2）由题意知直线的方程为：.‎ 联立方程消去得.‎ ‎，设，，‎ ‎，，‎ ‎.‎ ‎，点到直线的距离为：，‎ ‎.‎ ‎19.直三棱柱底面上，，点、分别在棱、上，且，，，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值．‎ ‎【解】（1）平面，‎ 分别以，，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系 ‎，，，，，，‎ ‎，，‎ 设平面的一个法向量 取，，,平面的一个法向量 ‎，，平面 ‎（2）由（1）知，，‎ 设平面的法向量为 ‎，取，，‎ 平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为 ‎20.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且.‎ ‎（1）求抛物线的方程：‎ ‎（2）过点的直线与抛物线交于，两点，以线段为直径的圆过，求直线的方程.‎ ‎【解】（1）由抛物线定义可得：，，‎ 抛物线的方程为：.‎ ‎（2）由（1）知，设，.‎ 设直线的方程为：，联立方程，‎ 消去得：，，‎ ‎，.‎ 以线段为直径的圆过点，.‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 直线的方程为：即.‎ ‎21.如图，四棱锥中，底面为矩形，侧面为正三角形，，，平面平面，为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若二面角的余弦值为，求点到平面的距离.‎ ‎【解】（1）底面为矩形，.‎ 又平面，平面，平面.‎ 又平面，平面平面，.‎ ‎（2）取的中点，连接，过点作交于点.‎ 侧面为正三角形，.‎ 平面平面且交线为，‎ 平面，为矩形，，，‎ 如图所示，建立以，，所在直线为轴，轴，轴的空间直角坐标系 ‎，，，，.‎ 设，又，.‎ ‎，.‎ 设平面的法向量为 ‎，‎ 令，，，‎ 平面的一个法向量.‎ 又易知是平面的一个法向量，‎ ‎，‎ 解得：，，.‎ 又平面的一个法向量，‎ 点到平面的距离为：.‎ ‎22.已知椭圆的两个焦点，‎ 与短轴的一个端点构成一个等边三角形，且直线与圆相切.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知过椭圆的左顶点的两条直线，分别交椭圆于，两点，且，求证：直线过定点，并求出定点坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下求面积的最大值.‎ ‎【解】（1）由题意可得：，‎ ‎，椭圆的方程为：.‎ ‎（2）由题意知，设：，.‎ 由消去得：，‎ 解得：或（舍去），，‎ ‎，同理可得：.‎ i：当时，直线斜率存在，‎ ‎，‎ ‎，直线过定点.‎ ii：当时，直线斜率不存在，‎ 直线方程为：，也过定点，‎ 综上所述：直线过定点.‎ ‎（3）设，由（2）知：‎ ‎，‎ 令，在单调递减，‎ ‎∴当时，.‎