【数学】云南省普洱市景东彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

【数学】云南省普洱市景东彝族自治县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

云南省普洱市景东彝族自治县第一中学2019-2020学年 高二下学期期中考试（理）‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.‎ ‎1．若集合，，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎2．复数等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎3. 已知,,,则向量与的夹角是（ ）‎ ‎ ‎ ‎4. 已知函数,则函数在处的切线方程为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5.按图所示的程序框图运算,若输入,则输出的值是（ ）‎ ‎ ‎ ‎6.设随机变量服从正态分布，若，则等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎7.在的展开式中，的系数等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎8.的值为（ ）‎ ‎ ‎ ‎9.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小 组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）‎ 种 种 种 种 ‎10.已知函数的图象向左平移个单位后得到函数 的图象,以下关于函数的判断正确的是（ ）‎ 点为函数图象的一个对称中心 为函数图象的一条对称轴 函数在区间上单调递减 函数在区间上单调递减 ‎11.已知定义域为上的函数既是奇函数又是周期为3的周期函数，当时,则函数在区间上的零点个数是（ ）‎ ‎ ‎ ‎12.已知双曲线的左、右焦点,是半焦距,是双曲线上异于实轴端点的点,满足=,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是 .‎ ‎14.若一个底面是正方形的直四棱柱的正(主)视图和侧视图如图所示,其顶点都在一个球面上,则该球的体积是 .‎ ‎15.角的顶点为坐标原点,始边与轴正半轴重合且终边过两直线与 ‎ 的交点,则 .‎ ‎16.某中学为了了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如下图)．根据频率分布直方图推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分10分) ‎ 成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上、、后成为等比数列中的、、.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列的前n项和为，求证：数列是等比数列.‎ ‎18. (本小题满分12分)‎ 在中，分别为内角的对边，且.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，，求.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 已知矩形，面，分别是的中点，设，.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 张先生家住小区,他在科技园区工作,从家开车到公司上班有,两条路线(如图), 路线上有,,三个路口,各路口遇到红灯的均为；上有,两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为,.‎ ‎(1)若走路线,求最多遇到1次红灯的概率；‎ ‎(2) 若走路线,求多遇到红灯的次数的数学期望.‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知椭圆的右顶点,离心率为,为坐标原点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）已知(异于点)为椭圆上一个动点,过作线段的垂线交椭圆于点,求的取值范围. ‎ ‎22. (本小题满分12分)‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）若,求函数的极值和单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1 A 2 B 3 A 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C ‎ ‎9 D 10 C 11 D 12 B 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．4 14. 15. 16.600‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.解:(1)设成等差数列的三个数分别为,,依题意得: ………（1分）‎ 所以数列中的、、依次为,,,‎ 由 , ……………………………………………（2分）‎ 解得 或(舍), ……………………………………………（3分）‎ 故数列 公比为 …………………………………………（4分）‎ 由 得, ……………………………………………………（5分）‎ 所以 . …………………………………（6分）‎ ‎(2)由(1)知数列的前项和 ,‎ 即 , …………………………………………………（7分）‎ 所以 . ………………………………………………（8分）‎ 因为 , ……………………………………（9分）‎ 所以数列是以为首项,公比为的等比数列. ……………………（10分）‎ ‎18.解：（1）因为, ………………………（1分）‎ 所以 ,………………（2分）‎ 即 ,……………………………（3分）‎ 得 ，………………………………………（4分）‎ 因为 ，所以 ,…………………………（5分）‎ 所以 .…………………………………………（6分）‎ ‎（2）由，所以，……………（8分）‎ 所以， ………………（10分）‎ 因为 ， ………………………………（11分）‎ 所以 .………………………………（12分）‎ ‎19.解法一:(1)如图连接,交于点,因为是矩形,所以是与的中点,再连,. …（2分）‎ 因为分别是的中点，‎ 所以 ,‎ 所以. ………………………………………（3分）‎ 又因为面,所以面,‎ ‎. …………………………………………(4分）‎ 又因为面,面,所以面,…………（5分）‎ 而面,所以. ………………（6分）‎ ‎(2) 因为面且是矩形,所以由三垂线定理知,‎ 所以就是二面角的平面角, …………………………（9分）‎ 因为且所以, ………………（11分）‎ 故二面角的平面角为.…………（12分）‎ 解法二:(1)证明:如图,以为原点,分别以为轴建立平面直角坐标系, （1分）‎ 则,,,,‎ ‎,, , ……（3分）‎ ‎,，…………….（4分）‎ ‎.…………（6分）‎ ‎(2) 由(1)知,,，，……（7分）‎ 可知平面的法向量为，…………………………………………………（8分）‎ 设平面的法向量为,‎ 则 ，解得.………………（10分）‎ 设二面角的平面角为，‎ 则，……………………………………………………（11分）‎ 故二面角的平面角为.………………………………………………（12分）‎ ‎20.解：（Ⅰ）设走路线最多遇到1次红灯为事件，则 ‎.……………………………………………(5分)‎ ‎（Ⅱ）依题意，的可能取值为. ………………………………………………(6分)‎ ‎，，‎ ‎ . ………………………………………………………………(9分)‎ 随机变量的分布列为：‎ ‎…………………………………(10分)‎ ‎ . …………………………………(12分)‎ ‎21．解：（Ⅰ）因为是椭圆的右顶点，所以.‎ 又 ，得 . 所以.‎ 所以椭圆的方程为 .………………………………………………………（5分）‎ ‎（Ⅱ）当直线的斜率为时，，为椭圆的短轴，则.‎ 所以 . …………………………………………………………………………（6分）‎ 当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，‎ 则直线的方程为 .…………………………………………………(7分)‎ 由 得 ，‎ 即 ，‎ 所以 ，所以 . ……………………………………（8分）‎ 所以 ，‎ 即 .同理可得.‎ 所以 .………………………………………………（10分）‎ 设 ，则，.‎ ‎.‎ 令 ，所以是一个增函数，‎ 所以 .‎ 综上，的取值范围是.………………………………………………（12分）‎ ‎22.解：（1）因为 ， ……………………………………（2分）‎ 当时，，令，得，…………………………… （3分）‎ 又的定义域为，‎ ‎，随的变化情况如下表:‎ ‎1‎ ‎0‎ 单调递减 极小值 单调递增 所以时，取得极小值为. ‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为.……………………………………（5分）（2）因为，………………………………………（6分）‎ 且.令 ，得，‎ 若在区间上存在一点，使得成立，‎ 其充要条件是在区间上的最小值小于0即可. …………………………（7分） 当，即时，对成立， ‎ 所以，在区间上单调递减，‎ 故在区间上的最小值为，‎ 由，得，即.…………………………………………（9分）‎ 当，即时，‎ 若，则对成立，所以在区间上单调递减，‎ 所以，在区间上的最小值为，‎ 显然，在区间上的最小值小于不成立. ………………………………（10分）‎ 若，即时，则有 单调递减 极小值 单调递增 所以在区间上的最小值为.‎ 由，‎ 得 ，解得，即.…………………………………………(11分)‎ 综上，由可知符合题意.……………………………(12分)‎