【数学】2019届一轮复习全国通用版（理）第33讲 一元二次不等式及其解法学案
第33讲 一元二次不等式及其解法
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.
2017·江苏卷，7
2016·江苏卷，5
2015·山东卷，1
对一元二次不等式的考查．主要以考查解法为主，同时也考查一元二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等．另外，以函数、数列为载体，以一元二次不等式的解法为手段求参数的取值范围也是热点.
分值：5分
三个二次之间的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
__{x|x＜x1或x＞x2}__
____
__R__
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
__{x|x1＜x＜x2}__
__∅__
__∅__
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为(x1，x2)，则必有a＞0.( √ )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( √ )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.( × )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0.( × )
(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c＜0
的解集一定不是空集．( √ )
解析 (1)正确．由不等式解集为(x1，x2)可知a＞0，故正确．
(2)正确．由不等式的解集可知命题正确．
(3)错误．当a＜0时，不等式的解集为∅，故错误．
(4)错误．不等式恒成立的条件为或故错误．
(5)正确．图象开口向下，则一定有小于0的部分，故正确．
2．已知全集U＝R，集合A＝，B＝，则A∩B＝( D )
A．(1,2) B．(2,3)
C．[2,3) D．(1,2]
解析 ∵＞0，∴(x－1)(x－3)＜0，∴1＜x＜3.又∵4－2x≥0，∴4≥2x，∴x≤2，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}，故选D．
3．不等式x(2－x)＞0的解集为__(0,2)__.
解析 ∵x(2－x)＞0，∴x(x－2)＜0，∴0＜x＜2，故解集为(0,2)．
4．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，则a＋b＝__－14__.
解析 由题意可知a＜0且－和是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴解得∴a＋b＝－14.
5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是__(－∞－4]∪[4，＋∞)__.
解析 由题意可知Δ＝a2－16≥0解得a≥4或a≤－4.
一 含参数的一元二次不等式的解法
(1)二次项中若含有参数应讨论是小于零，等于零，还是大于零，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与零的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
【例1】 解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a∈R)．
解析 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.
③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1满足题意；
当＜－1，即－2
a2(a∈R)．
解析 (1)原不等式等价于⇔
⇔⇔
借助于数轴，如图所示．
∴原不等式的解集为{x|－2≤x<－1或2a2，∴12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0，得x1＝－，x2＝.
当a>0时，－<，解集为x<－或x>}；
当a＝0时，x2>0，解集为{x|x≠0}；
当a<0时，－>，解集为x<或x>－}.
综上所述，当a>0时，不等式的解集为x<－或x>}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x≠0}；
当a<0时，不等式的解集为x<或x>－}.
易错点 分不清主元、次元
错因分析：如果式子中含有两个或多个变量，解题时通常是以一个为主，兼顾其他．
【例1】 (1)对任意x∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求a的取值范围．
(2)对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求x的取值范围．
解析 (1)当x∈[－1,1]时，x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立⇔(x－2)a＋x2－4x＋4＞0恒成立⇔(x－2)a＞－(x－2)2恒成立．
∵－1≤x≤1时，－3≤x－2≤－1，∴a＜－(x－2)恒成立．
∵1≤－(x－2)≤3，∴a的取值范围是(－∞，1)．
(2)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
令g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
依题意，在a∈[－1,1]时，g(a)的值恒大于零，
∴解得x＜1或x＞3.
∴x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．
【跟踪训练1】 若不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( D )
A．(－3,0) B．[－3,0)
C．[－3,0] D．(－3,0]
解析 当k＝0时，显然成立；
当k≠0时，一元二次不等式2kx2＋kx－＜0对一切实数x都成立，
则解得－3＜k＜0.
综上，k的取值范围是(－3,0]，故选D．
课时达标 第33讲
[解密考纲]考查不等式的解法，常以选择题或填空题的形式出现．在解答题中也涉及一元二次不等式的解法．
一、选择题
1．不等式<1的解集是( A )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1,1)
解析 ∵＜1，∴－1＜0，即＜0，该不等式可化为
(x＋1)(x－1)＞0，∴x＜－1或x＞1，故选A．
2．不等式－x2＋3x－2>0的解集是( C )
A．{x|x<－2或x>－1} B．{x|x<1或x>2}
C．{x|14}，则对于函数f(x)＝ax2＋bx＋c应有( B )
A．f(5)0的解集是(－1,3)，则不等式f(－2x)<0的解集是( A )
A．∪ B．
C．∪ D．
解析 由f(x)＞0，得ax2＋(ab－1)x－b＞0，又其解集是(－1,3)，
∴a＜0，且解得a＝－1或(舍去)，
∴a＝－1，b＝－3，∴f(x)＝－x2＋2x＋3，
∴f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3＜0，得4x2＋4x－3＞0，解得x＞或x＜－，故选A．
6．若不等式(a－a2)(x2＋1)＋x≤0对一切x∈(0,2]恒成立，则a的取值范围是( C )
A． B．
C．∪ D．
解析 ∵x∈(0,2]，∴a2－a≥＝.
要使a2－a≥在x∈(0,2]时恒成立，则a2－a≥max，
由基本不等式得x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号成立，即max＝.由a2－a≥，解得a≤或a≥.
二、填空题
7．已知不等式组的解集是不等式2x2－9x＋a<0的解集的子集，则实数a的取值范围是__(－∞，9]__.
解析 不等式组的解集是{x|2＜x＜3}．设f(x)＝2x2－9x＋a，则由题意得解得a≤9.
8．若对任意实数p∈[－1,1]，不等式px2＋(p－3)x－3>0成立，则实数x的取值范围为__(－3，－1)__.
解析 不等式可变形为(x2＋x)p－3x－3＞0，令f(p)＝(x2＋x)p－3x－3，p∈[－1,1]．原不等式成立等价于f(p)＞0，p∈[－1,1]，则即解得－3＜x＜－1.
9．已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>0的解集为(1,2)，若方程f(x)的最大值小于1，则a的取值范围是__(－4,0)__.
解析 由题意知a＜0，可设f(x)＝a(x－1)(x－2)＝ax2－3ax＋2a，∴f(x)max＝f＝－＜1，∴a＞－4，故－4＜a＜0.
三、解答题
10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解析 (1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0，即a2－6a－3<0，解得3－2b的解集为(－1,3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
∴解得
即a的值为3±，b的值为－3.
11．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a∈R)．
解析 原不等式可化为(ax－1)(x－2)<0.
①当a>0时，原不等式可以化为a(x－2)<0，
等价于(x－2)·<0.当0，即<2时，原不等式的解集是2，
即原不等式的解集是{x|x>2}．
③当a<0时，原不等式可以化为a(x－2)<0，
等价于(x－2)·>0，
由于<2，故原不等式的解集是x<或x>2.
综上：当a<0时，不等式的解集为x<或x>2；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；当0时，不等式的解集为2x＋m成立，求实数m的取值范围．
解析 (1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，又f(x＋2)－f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，
故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2.
(2)因为存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1,2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，
令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1,2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，
所以m<－2，即m的取值范围是(－∞，－2)．
12．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．
解析 (1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，又f(x＋2)－f(x)＝16x，得4ax＋4a＋2b＝16x，
故a＝4，b＝－8，所以f(x)＝4x2－8x＋2.
(2)因为存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1,2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，
令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1,2]，故g(x)max＝g(2)＝－2，
所以m<－2，即m的取值范围是(－∞，－2)．
