2018届二轮复习（文）专题三第2讲三角变换与解三角形课件（全国通用）

2018届二轮复习（文）专题三第2讲三角变换与解三角形课件（全国通用）

第 2 讲　三角变换与解三角形 专题三 　 三角函数、解三角形与平面向量 热点分类突破 真题押题精练 Ⅰ 热点分类突破 热点一　三角恒等变换 1. 三角求值 “ 三大类型 ” “ 给角求值 ”“ 给值求值 ”“ 给值求角 ”. 2. 三角函数恒等变换 “ 四大策略 ” (1) 常值代换：特别是 “ 1 ” 的代换， 1 ＝ sin 2 θ ＋ cos 2 θ ＝ tan 45° 等 . (2) 项的分拆与角的配凑：如 sin 2 α ＋ 2cos 2 α ＝ (sin 2 α ＋ cos 2 α ) ＋ cos 2 α ， α ＝ ( α － β ) ＋ β 等 . (3) 降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次 . (4) 弦、切互化：一般是切化弦 . 思维升华　 三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现 “ 张冠李戴 ” 的情况 . √ 答案 解析 思维升华 解析　 由三角恒等变换的公式，可得 a ＝ cos 50°cos 127° ＋ cos 40°cos 37° ＝ cos(50° － 127°) ＝ cos( － 77°) ＝ cos 77° ＝ sin 13° ， ＝ sin(56° － 45°) ＝ sin 11° ， 所以 sin 13°>sin 12°>sin 11° ， 所以 a > c > b ，故选 D. 答案 解析 √ 所以 sin β ＝ sin [ α － ( α － β ) ] ＝ sin α cos( α － β ) － cos α sin( α － β ) 思维升华 思维升华　 求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解 . 答案 解析 √ 答案 解析 热点二　正弦定理、余弦定理 解答 (2) 若 a ＝ 2 ， △ ABC 的面积 为 ， 求 b ， c . 思维升华 解答 而 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ，故 b 2 ＋ c 2 ＝ 8. 解得 b ＝ c ＝ 2. 思维升华　 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意 “ 三统一 ” ，即 “ 统一角、统一函数、统一结构 ” ，这是使问题获得解决的突破口 . 解　 由 a cos C ＝ (2 b － c )cos A ， 得 sin A cos C ＝ (2sin B － sin C )cos A ， 即 sin A cos C ＋ cos A sin C ＝ 2sin B cos A ， 即 sin( A ＋ C ) ＝ 2sin B cos A ，即 sin B ＝ 2sin B cos A . 解答 跟踪演练 2 　 (2017· 广西陆川县中学知识竞赛 ) 在锐角 △ ABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且满足 a cos C ＝ (2 b － c )cos A . (1) 求角 A ； 于是 ( b ＋ c ) 2 ＝ 89 ＋ 2 × 40 ＝ 169 ， ∴ b ＋ c ＝ 13( 舍负 ). 解答 热点三　解三角形与三角函数的综合问题 解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状 . 解答 ∴ f ( x ) ∈ [ － 1,2]. 解答 思维升华 解　 由题意可得 sin[ A ＋ ( A ＋ C )] ＝ 2sin A ＋ 2sin A cos( A ＋ C ) ， ∴ sin A cos( A ＋ C ) ＋ cos A sin( A ＋ C ) ＝ 2sin A ＋ 2sin A cos( A ＋ C ) ， 化简可得 sin C ＝ 2sin A ， ∴ 由正弦定理可得 c ＝ 2 a . 思维升华　 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求 . (1) 求 m 的值； 解答 解得 m ＝ 1. 解答 ∴ ac ＝ 4. ∵ b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ＝ ( a ＋ c ) 2 － 3 ac ＝ 4 ， ∴ ( a ＋ c ) 2 ＝ 4 ＋ 12 ＝ 16 ， ∴ a ＋ c ＝ 4 ， ∴△ ABC 的周长为 a ＋ b ＋ c ＝ 6. Ⅱ 真题押题精练 真题体验 1.(2017· 全国 Ⅲ ) △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c . 已知 C ＝ 60° ， b ＝ ， c ＝ 3 ，则 A ＝ _____. 75° 1 2 3 4 答案 解析 又 c ＞ b ， ∴ B ＝ 45° ， ∴ A ＝ 180° － 60° － 45° ＝ 75°. 2.(2017· 北京 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们 的 终 边关于 y 轴对称 . 若 sin α ＝ ， 则 sin β ＝ ____. 答案 解析 解析　 由角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称 ， 可知 α ＋ β ＝ π ＋ 2 k π( k ∈ Z ) ，所以 β ＝ 2 k π ＋ π － α ( k ∈ Z ) ， 1 2 3 4 ∴ 6tan α － 6 ＝ 1 ＋ tan α (tan α ≠ － 1) ， 1 2 3 4 答案 解析 4.(2017· 浙江 ) 已知 △ ABC ， AB ＝ AC ＝ 4 ， BC ＝ 2. 点 D 为 AB 延长线上一点 ， BD ＝ 2 ，连接 CD ，则 △ BDC 的面积是 ______ ， cos ∠ BDC ＝ ______. 答案 解析 1 2 3 4 解析　 依题意作出图形，如图所示， 则 sin ∠ DBC ＝ sin ∠ ABC . 由题意知 AB ＝ AC ＝ 4 ， BC ＝ BD ＝ 2 ， 1 2 3 4 押题预测 答案 解析 押题依据　 三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点 . 押题依据 1 2 1 2 解 答 押题依据　 三角函数和解三角形的交汇点命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高 . 押题依据 (1) 求 ω 的值； 1 2 1 2 (2) 在 △ ABC 中， sin B ， sin A ， sin C 成等比数列，求此时 f ( A ) 的值域 . 解 答 1 2 因为 sin B ， sin A ， sin C 成等比数列， 所以 sin 2 A ＝ sin B sin C ， 所以 a 2 ＝ bc ， 1 2 1 2 因为 0< A <π ，