2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：板块命题点专练(三) 基本初等函数(Ⅰ)及函数与方程
板块命题点专练(三) 基本初等函数(Ⅰ)及函数与方程
(研近年高考真题——找知识联系，找命题规律，找自身差距)
命题点一 基本初等函数(Ⅰ) 命题指数：☆☆☆☆☆
难度：中、低 题型：选择题、填空题
1．(2014·山东高考)已知实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是( )
A.＞
B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)
C．sin x＞sin y
D．x3＞y3
2．(2014·安微高考)设a＝log37，b＝21.1 ，c＝0.83.1，则( )
A．b
f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
5. (2014·安微高考)＋log3＋log3＝________.
6．(2014·重庆高考)函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________．
7．(2014·湖南高考)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax 是偶函数，则a＝________.
8．(2014·天津高考)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．
命题点二 函数与方程 命题指数：☆☆☆☆
难度：高、中 题型：选择题、填空题
1．(2014·湖北高考)已知f(x) 是定义在 R上的奇函数，当x≥0时， f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3 的零点的集合为( )
A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}
C．{2－，1,3} D．{－2－，1,3}
2．(2014·北京高考)已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
3．(2014·江苏高考)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0,3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________.
命题点三 函数模型及其应用 命题指数：☆☆☆
难度：高、中 题型：选择题、填空题
1．(2014·湖南高考)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A． B．
C． D．－1
2．(2014·陕西高考)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )
A．y＝x3－x2－x B．y＝x3＋x2－3x
C．y＝x3－x D. y＝x3＋x2－2x
答案
命题点一
1．选D 因为0＜a＜1，ax＜ay，所以x＞y，采用赋值法判断，A中，当x＝1，y＝0时，＜1，A不成立．B中，当x＝0，y＝－1时，ln 1＜ ln 2，B不成立．C中，当x＝0，y＝－π时，sin x＝sin y＝0，C不成立．D中，因为函数y＝x3在R上是增函数，故选D.
2．选B 因为2>a＝log37>1，b＝21.1>2，c＝0.83.1<1，所以c1时，函数f(x)＝xa(x>0)单调递增，函数g(x)＝logax单调递增，且过点
(1,0)，由幂函数的图象性质可知C错；当00)单调递增，函数g(x)＝logax单调递减，且过点(1,0)，排除A，又由幂函数的图象性质可知B错，因此选D.
4．选A 由f(0)＝f(4)知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c对称轴为x＝2，即－＝2.所以4a＋b＝0，又f(0)>f(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，故函数f(x)在(－∞，2]上单调递减，则抛物线开口方向朝上，知a>0，故选A.
5．解析：原式＝＋log3＝－3＝.
答案：
6．解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当且仅当log2x＝－，即x＝时等号成立，因此函数f(x)的最小值为－.
答案：－
7．函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得ln＝2ax＝ln e2ax，即＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.
答案：－
8.画出函数f(x)＝|x2＋3x|的大致图象，如图，令g(x)＝a|x－1|，则函数f(x)的图象与函数g(x)的图象有且仅有4个不同的交点，显然a>0.联立消去y，得x2＋(3－a)x＋a＝0，
由Δ>0，解得a<1或a>9；联立消去y，得x2＋(3＋a)x－a＝0，由Δ>0，解得a>－1或a<－9.
综上，实数a的取值范围为(0,1)∪(9，＋∞)．
答案：(0,1)∪(9，＋∞)
命题点二
1．选D 当x≥0时，函数g(x)的零点即方程f(x)＝x－3的根，由x2－3x＝x－3，解得x＝1或3；当x<0时，由f(x)是奇函数得－f(x)＝f(－x)＝x2－3(－x)，即f(x)＝－x2－3x.由f(x)＝x－3得x＝－2－(正根舍去)．
2．选C 因为f(1)＝6－log21＝6>0，f(2)＝3－log22＝2>0，f(4)＝－log24＝－<0，所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4)．
3．解析：函数y＝f(x)－a在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y＝f(x)，x∈[－3,4]与y＝a的图象有10个不同交点．作出函数y＝f(x)在[－3,4]上的图象，f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝f(2)＝f(3)＝f(4)＝，观察图象可得0
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