【数学】吉林省长春市榆树市第一高级中学校2019-2020学年高二下学期联考（理）试卷

【数学】吉林省长春市榆树市第一高级中学校2019-2020学年高二下学期联考（理）试卷

吉林省长春市榆树市第一高级中学校2019-2020学年 高二下学期联考（理）试卷 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知复数满足，则=（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2．下列推理过程不是演绎推理的是（ ）‎ ‎①一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，2019不能被2整除；‎ ‎②由“正方形面积为边长的平方”得到结论:正方体的体积为棱长的立方；‎ ‎③在数列中，，由此归纳出的通项公式；‎ ‎④由“三角形内角和为”得到结论:直角三角形内角和为.‎ A．①② B．③④ C．②③ D．②④‎ ‎3．把五个字母进行排列，要求必须在中间，且必须相邻，则满足条件的不同排法数为（ ）‎ A．24 B．12 C．8 D．4‎ ‎4．在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．已知为实数，，若，则函数的单调递增区间 为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．展开式中的系数为（ ）‎ A． B． C． D．60‎ ‎7．由直线x=﹣2，x=2，y=0及曲线y=x2﹣x所围成的平面图形的面积为 （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．点是曲线，（为参数）上的任意一点，则的最大值为（ ）‎ A． B． C．3 D．‎ ‎9．计划将排球、篮球、乒乓球个项目的比赛安排在个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过个的安排方案共有 ‎（ ）‎ A．种 B．种 C．种 D．种 ‎10．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）‎ A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312‎ ‎11．已知随机变量的分布列如下：‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ 若，则( )‎ A． B． C．1 D．‎ ‎12．已知为定义在R上的可导函数，为其导函数，且恒成立，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．曲线在点处的切线方程为____________．‎ ‎14．已知随机变量，若，则__________．‎ ‎15．观察式子，，，则可以归纳出 ‎ ___．‎ ‎16．国产杀毒软件进行比赛，每个软件进行四轮考核，每轮考核中能够准确对病毒进行查杀的进入下一轮考核，否则被淘汰．已知某个软件在四轮考核中能够准确杀毒的概率依次是，，，，且各轮考核能否通过互不影响．则该软件至多进入第三轮考核的概率为______．‎ 三、解答题：本题共6小题,17题10分，18-22题每小题12分，共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.‎ ‎17．（本小题10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线与直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值.‎ ‎18．（本小题12分）‎ 已知数列的前项和为，，满足.‎ ‎（Ⅰ） 计算，，，； ‎ ‎（Ⅱ）求的通项公式.‎ ‎19．（本小题12分）‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）求展开式中所有的有理项．‎ ‎20．（本小题12分）‎ 某企业生产某种产品，为了提高生产效益，通过引进先进的生产技术和管理方式进行改革，并对改革后该产品的产量x（万件）与原材料消耗量y（吨）及100件产品中合格品与不合格品数量作了记录，以便和改革前作对照分析，以下是记录的数据：‎ 表一：改革后产品的产量和相应的原材料消耗量 x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 表二：改革前后定期抽查产品的合格数与不合格数 合格品的数量 不合格品的数量 合计 改革前 ‎90‎ ‎10‎ ‎100‎ 改革后 ‎85‎ ‎15‎ ‎100‎ 合计 ‎175‎ ‎25‎ ‎200‎ ‎（1）请根据表一提供数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.‎ ‎（2）已知改革前生产7万件产品需要6.5吨原材料，根据回归方程预测生产7万件产品能够节省多少原材料？‎ ‎（3）请根据表二提供的数据，判断是否有90%的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”？‎ 参考公式： ‎ ‎（下面的临界值表供参考）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式 其中）‎ ‎21．（本小题12分）‎ 箱中装有3个白球和个黑球.规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.现从箱中任取2个球，假设每个球被取出的可能性都相等，记随机变量为取出的2个球所得分数之和.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）当时，列出的分布列并求其期望.‎ ‎22．（本小题12分）‎ ‎（1）讨论函数的单调性并求极值；‎ ‎（2）令函数，若时，，求实数的取值范围 ‎【参考答案】‎ ‎1．B 2．C 3．C 4．A 5．A 6．A ‎ ‎7．B 8．D 9．B 10．A 11．B 12．C ‎13． 14． ‎ ‎15． 16．‎ ‎17．解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 所以其直角坐标方程为，‎ ‎∵直线的极坐标方程为，∴，‎ ‎∴其直角坐标方程为； ……………………6分 ‎（2）直线过点且参数方程可表示为（为参数），‎ 代入曲线的方程，得，‎ 则，，‎ ‎∴. ……………………12分 ‎18．解：(Ⅰ)，‎ ‎，，. …………………6分 ‎（Ⅱ）猜想，下面用数学归纳法证明猜想成立.‎ (1) 当时，左边右边，此时猜想成立；‎ ‎（2）假设当时猜想成立，即，其中.‎ 那么根据已知条件和归纳假设有 ‎，‎ 即当时猜想也成立.‎ 根据（1）和（2）可知，猜想对于一切都成立. …………………12分 ‎19．解：二项式展开式的通项公式为 ‎，；‎ ‎（1）根据展开式中的第二项和第三项的系数相等,得 ‎，即,解得； ……………………6分 ‎（2）二项式展开式的通项公式为 ‎，；‎ 当时,对应项是有理项,所以展开式中所有的有理项为 ‎,,‎ ‎． ……………………12分 ‎20．解：（1）由表一得，‎ ‎ ， ‎ ‎∴， ‎ ‎，‎ 所以所求线性回归方程为． ……………………4分 ‎（2）当时，，‎ 从而能够节省吨原材料． ……………………8分 ‎（3）由表二得， ‎ 因此，没有的把握认为“改革前后生产的产品的合格率有差异”． ……………12分 ‎21．解：（1）由题意，当取出的2个球都是白球时，此时随机变量.‎ 可得，即，即，‎ 解得. ……………………6分 ‎（2）由题意，随机变量所有可能的取值为，‎ 可得，，，‎ 所以随机变量的分布列为：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以. ……………………12分 ‎22．解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．‎ f′（x）．‎ ② 当a≤0时，f′（x）＜0，可得函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）无极值；‎ ‎②当a＞0时，由f′（x）＞0得：0＜x，可得函数f（x）在（0，）上单调递增．‎ 由f′（x）＜0，得：x，可得函数f（x）在（，+∞）单调递减，‎ ‎∴函数f（x）在x时取极大值为：f（）＝alna﹣2a；无极小值. ……………4分 ‎ ‎（2）由题意有g（x）＝alnx﹣ex+ex，x∈[1，+∞）．‎ g′（x）．‎ ‎①当a≥0时，g′（x）．‎ 故当x∈[1，+∞）时，g（x）＝alnx﹣ex+ex为单调递增函数；‎ g（x）≥g（1）＝0，符合题意．‎ ‎②当a＜0时，g′（x），令函数h（x），‎ 由，∈[1，+∞），‎ 可知：g′（x）为单调递增函数，‎ 又g′（1）＝a＜0，g′（x），‎ 当x时，g′（x）＞0．‎ ‎∴存在x0∈（1，）使g′（x0）＝0，‎ 因此函数g（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，‎ 又g（1）＝0，∴当x∈（1，x0）时，g（x）＜0，不符合题意．‎ 综上，所求实数a的取值范围为[0，+∞）． ……………………12分