【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第七章第二节空间几何体的表面积与体积学案

【数学】2019届一轮复习人教A版（文）第七章第二节空间几何体的表面积与体积学案

第二节空间几何体的表面积与体积 ‎1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r＋r′)l ‎2．空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体　　‎ 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱)‎ S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥)‎ S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台)‎ S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2‎ V＝πR3‎ ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　)‎ ‎(2)锥体的体积等于底面面积与高之积．(　　)‎ ‎(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．(　　)‎ ‎(4)球的体积之比等于半径之比的平方．(　　)‎ 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×‎ ‎2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为(　　)‎ A.π　　　　　　　　 　B.π C．16π D．24π 解析：选B　设球的半径为R，则由4πR2＝16π，解得R＝2，所以这个球的体积为πR3＝π.‎ ‎3．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．20π B．24π C．28π D．32π 解析：选C　由三视图知该几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由图得r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4，由勾股定理得：l＝＝4，S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.‎ ‎4．(教材习题改编)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．‎ 解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面为侧视图，该侧视图是底边为2，高为的三角形，正视图的长为三棱柱的高，故h＝3，所以该几何体的体积V＝S·h＝×3＝3.‎ 答案：3 ‎5．正三棱柱ABCA1B‎1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为________．‎ 解析：如图，在正三棱柱ABCA1B‎1C1中，‎ ‎∵AD⊥BC，AD⊥BB1，BB1∩BC＝B，∴AD⊥平面B1DC1.‎ ‎∴VAB1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1.‎ 答案：1‎ 　　　　 空间几何体的表面积在高考中的考查多以三视图的形式给出，考查的载体多为柱体、锥体、球和简单组合体.题型为选择题或填空题，难度中等.‎ 求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面图形问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何问题的主要出发点.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎1．(2016·全国卷Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)‎ A．18＋36　　　　　　　 　B．54＋18 C．90 D．81‎ 解析：选B　由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.‎ ‎2.(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ 解析：选B　如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.‎ 又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，‎ ‎∴r2＝4，r＝2，故选B.‎ ‎[解题师说]‎ ‎1．三类几何体表面积的求法 求多面体的表面积 只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积 求旋转体的表面积 可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系 求不规则几何体的表面积时 通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积 ‎2．避免两类失误 ‎(1)因对几何体的结构特征认识不准，混淆几何体侧面的边长与三视图中有关数据的关系而导致解题错误．一定要熟记三视图中的数据反应的是空间几何体的长、宽、高，而不一定是空间几何体的棱长．(如典题领悟第1题，易误认为侧棱长为6而导致解题错误)‎ ‎(2)在审视组合体的图形时，图形结构特征审视不准致误．(如典题领悟第2题中的几何体是一个半球和一个半圆柱的组合体，求表面积时，应去掉两几何体的接触面)‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．(2018·沈阳质检)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积是(　　)‎ A．36＋6 B．36＋3 C．54 D．27‎ 解析：选A　由三视图知该几何体的表面积为S＝2××(2＋4)×3＋2×3＋4×3＋2×3×＝36＋6.‎ ‎2．(2018·湖南五市十校联考)如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．4π＋96 B．(2＋6)π＋96‎ C．(4＋4)π＋64 D．(4＋4)π＋96‎ 解析：选D　由三视图知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积S＝6×42＋π×22＋π×2×＝(4＋4)π＋96.‎ ‎3．(2018·安徽江南十校联考)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．4π＋16＋4 B．5π＋16＋4 C．4π＋16＋2 D．5π＋16＋2 解析：选D　由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2＝16，两个底面面积之和为2××2×＝2；半圆柱的侧面积为π×4＝4π，两个底面面积之和为2××π×12＝π，所以几何体的表面积为5π＋16＋2，故选D.‎ 　　　　 高考中空间几何体体积的考查是几何体相关问题中出现频率较高的，主要考查由三视图求相关几何体的体积.高考中主要以选择题或填空题形式出现，难度中等.‎ ‎[典题领悟]‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　　)‎ A．90π　　　　　　　　 　B．63π C．42π D．36π 解析：选B　法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V＝π×32×10－×π×32×6＝63π.‎ 法二：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V＝π×32×7＝63π.‎ ‎2．(2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)‎ A.＋1 B.＋3‎ C.＋1 D.＋3‎ 解析：选A　由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为1，高为3的圆锥的一半与一个底面为直角边长为的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，故该几何体的体积V＝××π×12×3＋××××3＝＋1.‎ ‎3．(2017·山东高考)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．‎ 解析：该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，‎ 故该几何体的体积V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.‎ 答案：2＋ ‎[解题师说]‎ ‎1．处理体积问题的思路 ‎2．求体积的常用方法 直接法 对于规则的几何体，利用相关公式直接计算．‎ 割补法 首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算．‎ 等体积法 选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换.‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．(2017·北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为(　　)‎ A．60 B．30‎ C．20 D．10‎ 解析：选D　如图，把三棱锥ABCD放到长方体中，长方体的长、宽、高分别为5,3,4，△BCD为直角三角形，直角边分别为5和3，三棱锥ABCD的高为4，故该三棱锥的体积V＝××5×3×4＝10.‎ ‎2．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)‎ A.＋π　　　　　　 　B.＋π C.＋π D．1＋π 解析：选C　由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为，从而该几何体的体积为×12×1＋××3＝＋π.‎ ‎3．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为(　　)‎ A. B. C. D．3‎ 解析：选A　根据几何体的三视图，得该几何体是下部为直三棱柱，上部为三棱锥的组合体，如图所示．则该几何体的体积是V几何体＝V三棱柱＋V三棱锥＝×2×1×1＋××2×1×1＝.‎ 　　　 ‎[题点全练]‎ 角度(一)　球与柱体的切、接问题 ‎1．已知直三棱柱ABC-A1 B‎1 ‎C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1 =12，则球O的半径为( )‎ A.　　　　　　　 　B．2 C. D．3 解析：选C　如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝ ＝.‎ ‎2.(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．‎ 解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以＝＝.‎ 答案： 角度(二)　球与锥体的切、接问题 ‎3．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为(　　)‎ A. B.－1‎ C. D.－1‎ 解析：选D　如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，‎ ‎∵△ABC是正三角形，‎ ‎∴AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．‎ ‎∵AB＝2，‎ ‎∴S△ABC＝3，DE＝1，PE＝.‎ ‎∴S表＝3××2×＋3＝3＋3.‎ ‎∵PD＝1，∴三棱锥的体积V＝×3×1＝.‎ 设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个小棱锥，‎ 则r＝＝－1.‎ ‎4．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S ABC的体积为9，则球O的表面积为________．‎ 解析：如图，连接AO，OB，‎ ‎∵SC为球O的直径，‎ ‎∴点O为SC的中点，‎ ‎∵SA＝AC，SB＝BC，‎ ‎∴AO⊥SC，BO⊥SC，‎ ‎∵平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，‎ ‎∴AO⊥平面SCB，‎ 设球O的半径为R，‎ 则OA＝OB＝R，SC＝2R.‎ ‎∴VS ABC＝VASBC＝×S△SBC×AO ‎＝××AO，‎ 即9＝××R，解得 R＝3，‎ ‎∴球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.‎ 答案：36π ‎[题“根”探求]‎ ‎1．解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：‎ ‎2．有关几何体外接球、内切球计算问题的常用结论 ‎(1)球(半径为R)与正方体(设棱长为a)有以下三种特殊情形：‎ ‎①球内切于正方体，此时2R＝a；‎ ‎②球与正方体的棱相切，此时2R＝a；‎ ‎③球外接于正方体，此时2R＝a.‎ ‎(2)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于其外接球的直径，即＝2R.‎ ‎(3)棱长为a的正四面体，斜高为a，高为a，其外接球的半径为a，内切球的半径为a.‎ ‎(4)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：‎ ‎①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，那么可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心；‎ ‎②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，那么可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．‎ ‎(5)求一个棱锥内切球的半径，可以根据球心到各个面的距离相等以及棱锥的体积列式得出．也可以先找准切点，通过作截面来解决，作截面时主要抓住棱锥过球心的对角面来作．‎ ‎(6)求一个几何体的外接球的半径，可以结合球心到各个顶点的距离相等列式得出．‎ ‎(7)球与旋转体的组合通常作轴截面解题，球与多面体的组合通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作截面解题．此类问题在计算时，经常用到截面圆．如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则在Rt△OO′M中，OM2＝OO′2＋O′M2，即R2＝d2＋r2.‎ ‎[冲关演练]‎ ‎1．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．‎ 解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为.‎ 设该正方体外接球的半径为R，则2R＝3，R＝，‎ 所以这个球的体积为πR3＝×＝.‎ 答案： ‎2．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、加工成球，则能得到的最大球的半径等于________．‎ 解析：该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为6,8,10的直角三角形，侧棱长为12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内切圆的半径，其半径为r＝＝＝2.‎ 答案：2‎ ‎3．已知一个四面体的一条边长为，其余边长均为2，则此四面体的外接球的半径为________．‎ 解析：由题意画出几何体的图形如图所示，取BC的中点为O，连接AO，DO，则AO⊥BC，DO⊥BC.‎ ‎∵AO∩DO＝O，‎ ‎∴BC⊥平面AOD.‎ 又∵OA＝OD＝，AD＝，‎ ‎∴OA2＋OD2＝AD2，∴AO⊥DO，‎ ‎∴该四面体的外接球的球心在AD的中点E与点O的连线上，设球心为G，球的半径为R，‎ 即GA＝GB＝GC＝GD，‎ 又G在线段OE上，‎ ‎∴AG2－AE2＝EG2，BG2－BO2＝GO2，EO＝EG＋GO，‎ ‎∴＝＋，解得R＝，‎ 故此四面体的外接球的半径为.‎ 答案： ‎(一)普通高中适用作业 A级——基础小题练熟练快 ‎1．(2018·江西七校联考)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是(　　)‎ A．48＋π　　　　　　　 　B．48－π C．48＋2π D．48－2π 解析：选A　该几何体是正四棱柱挖去了一个半球，正四棱柱的底面是正方形(边长为2)，高为5，半球的半径是1，那么该几何体的表面积为S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故选A.‎ ‎2．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是(　　)‎ A．17π B．18π C．20π D．28π 解析：选A　由几何体的三视图可知，该几何体是一个球体去掉上半球的，得到的几何体如图．设球的半径为R，则πR3－×πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面积为×4πR2＋πR2＝17π.‎ ‎3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)‎ A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 解析：选B　设米堆的底面半径为r尺，则r＝8，所以r＝，所以米堆的体积为V＝×π×r2×5＝×2×5≈(立方尺)．故堆放的米约有÷1.62≈22(斛)．‎ ‎4．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　由三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝××1×1×1＝，剩余部分的体积V2＝13－＝.所以＝＝.‎ ‎5．一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB上的动点，记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADFBCE的体积为V2，则＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　由三视图可知多面体ADFBCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为a.‎ ‎∵M是AB上的动点，且易知AB∥平面DFEC，∴点M到平面DFEC的距离等于点B到平面DFEC的距离，距离为a，∴V1＝VEFMC＝VMEFC＝·a·a·a＝，又V2＝a·a·a＝，故＝＝.‎ ‎6．(2018·广东五校协作体第一次诊断)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)‎ A.＋1 B. C.＋1 D.＋1‎ 解析：选C　由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为π＋1＋2π×2＋π＝＋1，故选C.‎ ‎7．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．‎ 解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V＝×1＝.‎ 答案： ‎8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为_______．‎ 解析：设圆台较小底面半径为r，‎ 则另一底面半径为3r.‎ 由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.‎ 答案：7‎ ‎9．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．‎ 解析：由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.‎ 由题意，得×6××22×h＝2，‎ ‎∴h＝1，∴斜高h′＝＝2，‎ ‎∴S侧＝6××2×2＝12.‎ 答案：12‎ ‎10.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．‎ 解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2，设O为BD的中点，连接OA，OC，则OA⊥BD，OC⊥BD，结合正视图可知AO⊥平面BCD.‎ 又OC＝＝1，‎ ‎∴V三棱锥ABCD＝××1＝.‎ 答案： B级——中档题目练通抓牢 ‎1．如图所示，网格纸上小正方形的边长为‎1 cm，粗线为某空间几何体的三视图，则该几何体的体积为(　　)‎ A．‎2 cm3 B．‎4 cm3‎ C．‎6 cm3 D．‎8 cm3‎ 解析：选B　由三视图知几何体是一个以俯视图中的直角梯形为底面，高h＝‎2 cm的四棱锥．由三视图中的数据得四棱锥的底面面积S＝×(2＋4)×2＝6(cm2)，所以其体积V＝Sh＝×6×2＝4(cm3)．‎ ‎2．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(　　)‎ A．64－ B．64－ C．64－16π D．64－ 解析：选A　由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥，其中，两个圆锥的体积和是V锥＝Sh＝×π×22×4＝π，∴V＝V正方体－V锥＝43－π＝64－π.‎ ‎3．(2018·江西七校联考)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是(　　)‎ A．6π B．12π C．18π D．9π 解析：选C　因为∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可将四面体补成一个长方体(PA，PE，PF是从同一顶点出发的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R，由题意知2R＝＝3，故该球的表面积S＝4πR2＝4π2＝18π.‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．‎ 解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23－××2×2×2－××1×1×1＝.‎ 答案： ‎5.已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为________．‎ 解析：由于三棱锥SABC与三棱锥OABC底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥SABC的高是三棱锥OABC高的2倍，所以三棱锥SABC的体积也是三棱锥OABC体积的2倍．如图所示，在三棱锥OABC中，其棱长都是1，S△ABC＝×AB2＝，高OD＝ ＝，所以VSABC＝2VOABC＝2×××＝.‎ 答案： ‎6．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？‎ 解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，‎ 则2＋r2＝R2，‎ 即h＝2.‎ 因为S＝2πrh＝4πr·＝‎ ‎4π≤4π＝2πR2，‎ 当且仅当r2＝R2－r2，即r＝R时，取等号，‎ 即当内接圆柱底面半径为R，高为R时，其侧面积的值最大，最大值为2πR2.‎ ‎7.如图是一个以A1B‎1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B‎1C1＝2，∠A1B‎1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：‎ ‎(1)该几何体的体积；‎ ‎(2)截面ABC的面积．‎ 解：(1)过C作平行于A1B‎1C1的截面A2B‎2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.‎ 由直三棱柱性质及∠A1B‎1C1＝90°可知B‎2C⊥平面ABB‎2A2，则该几何体的体积V＝VA1B‎1C1A2B‎2C＋VCABB‎2A2‎ ‎＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6.‎ ‎(2)在△ABC中，AB＝＝，‎ BC＝＝，‎ AC＝＝2.‎ 则S△ABC＝×2×＝.‎ C级——重难题目自主选做 ‎1.高为4‎ 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为.‎ ‎2.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCDA1B‎1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为(　　)‎ A.π　　　　　　 　B. C. D.π 解析：选C　平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC＝CD1＝AD1＝，所以内切圆的半径r＝×tan 30°＝，所以S＝πr2＝π×＝π.‎ ‎(二)重点高中适用作业 A级——保分题目巧做快做 ‎1．(2018·合肥一检)一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．72＋6π　　　　　　　 　B．72＋4π C．48＋6π D．48＋4π 解析：选A　由三视图知，该几何体由一个正方体的部分与一个圆柱的部分组合而成(如图所示)，其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π.‎ ‎2．如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积为(　　)‎ A．34＋6 B．6＋6＋4 C．6＋6＋4 D．17＋6 解析：选A　由三视图得该几何体的直观图如图，其中，底面ABCD为矩形，AD＝6，AB＝2，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等腰三角形，且此四棱锥的高为4，故该几何体的表面积等于6×2＋2××2×5＋×6×2＋×6×4＝34＋6.‎ ‎3．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为3，则侧视图中线段的长度x的值是(　　)‎ A. B．2 C．4 D．5‎ 解析：选C　分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥PABCD，故其体积V＝××4×CP＝3，∴CP＝，∴x＝＝4.‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(　　)‎ A．64－ B．64－ C．64－16π D．64－ 解析：选A　由三视图可知，该几何体是一个正方体中间挖去两个顶点相接的圆锥，其中，两个圆锥的体积和是V锥＝Sh＝×π×22×4＝π，∴V＝V正方体－V锥＝43－π＝64－π.‎ ‎5．在三棱锥A BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)‎ A．2π B．6π C．4π D．24π 解析：选B　设相互垂直的三条侧棱AB，AC，AD分别为a，b，c，则ab＝，bc＝，ac＝，解得a＝，b＝1，c＝.所以三棱锥A BCD的外接球的直径2R＝＝，则其外接球的表面积S＝4πR2＝6π.‎ ‎6．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．‎ 解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．‎ 则该几何体的表面积为S＝2××2×2＋4×2×2＋2×4＝20＋8.‎ 答案：20＋8 ‎7.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．‎ 解析：由正视图知三棱锥的形状如图所示，且AB＝AD＝BC＝CD＝2，BD＝2，设O为BD的中点，连接OA，OC，则OA⊥BD，OC⊥BD，结合正视图可知AO⊥平面BCD.‎ 又OC＝＝1，‎ ‎∴V三棱锥ABCD＝××1＝.‎ 答案： ‎8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．‎ 解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23－××2×2×2－××1×1×1＝.‎ 答案： ‎9．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？‎ 解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，‎ 则2＋r2＝R2，‎ 即h＝2.‎ 因为S＝2πrh＝4πr·＝‎ ‎4π≤4π＝2πR2，‎ 当且仅当r2＝R2－r2，即r＝R时，取等号，‎ 即当内接圆柱底面半径为R，高为R时，其侧面积的值最大，最大值为2πR2.‎ ‎10．已知A，B，C是球O的球面上三点，且AB＝AC＝3，BC＝3，D为该球面上的动点，球心O到平面ABC的距离为球半径的一半，求三棱锥D ABC体积的最大值．‎ 解：如图，在△ABC中，‎ ‎∵AB＝AC＝3，BC＝3，‎ ‎∴由余弦定理可得 cos A＝＝－，‎ ‎∴sin A＝.‎ 设△ABC外接圆O′的半径为r，则＝2r，得r＝3.‎ 设球的半径为R，连接OO′，BO′，OB，则R2＝2＋32，解得R＝2.‎ 由图可知，当点D到平面ABC的距离为R时，三棱锥D ABC的体积最大，‎ ‎∵S△ABC＝×3×3×＝，‎ ‎∴三棱锥D ABC体积的最大值为××3＝.‎ B级——拔高题目稳做准做 ‎1.高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积与原直三棱柱的体积的比值为.‎ ‎2．(2018·江西七校联考)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为边BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，若四面体PAEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是(　　)‎ A．6π B．12π C．18π D．9π 解析：选C　因为∠APE＝∠EPF＝∠APF＝90°，所以可将四面体补成一个长方体(PA，PE，PF是从同一顶点出发的三条棱)，则四面体和补全的长方体有相同的外接球，设其半径为R，由题意知2R＝＝3，故该球的表面积S＝4πR2＝4π2＝18π.‎ ‎3．设球O是正方体ABCDA1B‎1C1D1的内切球，若平面ACD1截球O所得的截面面积为6π，则球O的半径为(　　)‎ A. B．3‎ C. D. 解析：选B　如图，易知BD1过球心O，且BD1⊥平面ACD1，不妨设垂足为M，正方体棱长为a，则球半径R＝，易知DM＝DB1，∴OM＝DB1＝a，∴截面圆半径r＝＝a，由截面圆面积S＝πr2＝6π，得r＝a＝，a＝6，∴球O的半径为R＝＝3.‎ ‎4.(2018·陕西西工大附中训练)如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为m的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝m，PA＝PC＝m，若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是________．‎ 解析：由PD⊥底面ABCD，得PD⊥AD.又PD＝m，PA＝m，则AD＝m.设内切球的球心为O，半径为R，连接OA，OB，OC，OD，OP(图略)，易知VP ABCD＝VO ABCD＋VO PAD＋VO PAB＋VO PBC＋VO PCD，即·m2·m＝·m2×R＋×·m2·R＋×·m2·R＋×·m2·R＋··m2·R，‎ 解得R＝(2－)m，所以此球的最大半径是(2－)m.‎ 答案：(2－)m ‎5.如图是一个以A1B‎1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC ‎，已知A1B1＝B‎1C1＝2，∠A1B‎1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：‎ ‎(1)该几何体的体积；‎ ‎(2)截面ABC的面积．‎ 解：(1)过C作平行于A1B‎1C1的截面A2B‎2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.‎ 由直三棱柱性质及∠A1B‎1C1＝90°可知B‎2C⊥平面ABB‎2A2，则该几何体的体积V＝‎ ‎＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6.‎ ‎(2)在△ABC中，AB＝＝，‎ BC＝＝，‎ AC＝＝2.‎ 则S△ABC＝×2×＝.‎ ‎6．已知矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AD＝2，AB＝3，AF＝，M为EF的中点，求多面体M ABCD的外接球的表面积．‎ 解：记多面体M ABCD的外接球的球心为O，如图，过点O分别作平面ABCD和平面ABEF的垂线，垂足分别为Q，H，连接MH并延长，交AB于点N，连接OM，NQ，AQ，设球O的半径为R，球心到平面ABCD的距离为d，即OQ＝d，‎ ‎∵矩形ABEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，AF＝，M为EF的中点，‎ ‎∴MN＝，又AB＝3，AD＝2，‎ ‎∴AN＝NB＝，NQ＝1，‎ ‎∴R2＝2＋d2＝12＋2，‎ ‎∴d＝，R2＝4，‎ ‎∴多面体M ABCD的外接球的表面积为4πR2＝16π.‎