2018届二轮复习直线与圆锥曲线的综合问题课件（全国通用）

2018届二轮复习直线与圆锥曲线的综合问题课件（全国通用）

专题 7 　解析几何 　直线与圆锥曲线的 综合 问题 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来 . 本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果 . 预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高 . 题型 分析 高考 展望 体验 高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 1 2 3 (1) 求椭圆的标准方程； 解析答案 1 2 3 (2) 过 F 的直线与椭圆交于 A ， B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P ， C ，若 PC ＝ 2 AB ，求直线 AB 的方程 . 解析答案 1 2 3 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 y ＝ k ( x － 1) ， A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 将 AB 的方程代入椭圆方程， 得 (1 ＋ 2 k 2 ) x 2 － 4 k 2 x ＋ 2( k 2 － 1) ＝ 0 ， 解析答案 1 2 3 若 k ＝ 0 ，则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意 . 1 2 3 解得 k ＝ ±1 . 此时直线 AB 的方程为 y ＝ x － 1 或 y ＝－ x ＋ 1. 1 2 3 解析答案 2.(2016· 浙江 ) 如图，设抛物线 y 2 ＝ 2 px ( p ＞ 0) 的焦点为 F ，抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于 AF － 1 . (1) 求 p 的值 ； 解　 由题意可得，抛物线上点 A 到焦点 F 的 距离 等于 点 A 到直线 x ＝－ 1 的距离， 1 2 3 解析答案 (2) 若直线 AF 交抛物线于另一点 B ，过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N ， AN 与 x 轴交于点 M ，求 M 的横坐标的取值范围 . 1 2 3 解析答案 解　 由 (1) 得，抛物线方程为 y 2 ＝ 4 x ， F (1,0) ， 可设 A ( t 2 ,2 t ) ， t ≠ 0 ， t ≠ ±1. 消去 x 得 y 2 － 4 sy － 4 ＝ 0. 1 2 3 经检验， m ＜ 0 或 m ＞ 2 满足题意 . 综上，点 M 的横坐标的取值范围是 ( － ∞ ， 0) ∪ (2 ，＋ ∞ ). 1 2 3 解析答案 (1) 求椭圆 E 的方程； 解　 由已知，得 a ＝ 2 b ， 1 2 3 解析答案 返回 1 2 3 解析答案 方程 ① 的判别式为 Δ ＝ 4 m 2 － 4(2 m 2 － 2) ，由 Δ >0 ， 由 ① 得 x 1 ＋ x 2 ＝－ 2 m ， x 1 x 2 ＝ 2 m 2 － 2. 1 2 3 返回 高考 必会题型 题型一　直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用 解析答案 解析答案 (2) 若直线 l 过点 P (0,4) ，则直线 l 何时与椭圆 M 相交？ 点评 解析答案 解　 ① 过点 P (0,4) 的直线 l 垂直于 x 轴时，直线 l 与椭圆 M 相交 . ② 过点 P (0,4) 的直线 l 与 x 轴不垂直时，可设直线 l 的方程为 y ＝ kx ＋ 4. 得 (1 ＋ 2 k 2 ) x 2 ＋ 16 kx ＋ 28 ＝ 0. 因为直线 l 与椭圆 M 相交， 所以 Δ ＝ (16 k ) 2 － 4(1 ＋ 2 k 2 ) × 28 ＝ 16(2 k 2 － 7)>0 ， 点评 点评 点评 对于求过定点的直线与圆锥曲线的位置关系问题，一是利用方程的根的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零；二是利用图形来处理和理解；三是直线过定点位置不同，导致直线与圆锥曲线的位置关系也不同 . 解析答案 (1) 求椭圆 C 的方程； 解　 由已知条件得椭圆 C 的焦点 为 F 1 ( － 2,0) ， F 2 (2,0) ， 解析答案 解析答案 解　 设 D ( x 1 ,0) ， 则 G ( － x 1 ,0 ) ， ∴ 直线 QG 与椭圆 C 一定有唯一的公共点 . 题型二　直线与圆锥曲线的弦的问题 (1) 求椭圆的离心率； 解析答案 解　 由 F 1 A ∥ F 2 B ，且 F 1 A ＝ 2 F 2 B ， 点评 (2) 求直线 AB 的斜率 . 解析答案 点评 解析答案 解　 由 (1) 得 b 2 ＝ a 2 － c 2 ＝ 2 c 2 ， 所以椭圆的方程可写为 2 x 2 ＋ 3 y 2 ＝ 6 c 2 ， 即 y ＝ k ( x － 3 c ). 由已知设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 得 (2 ＋ 3 k 2 ) x 2 － 18 k 2 cx ＋ 27 k 2 c 2 － 6 c 2 ＝ 0 ， 依题意， Δ ＝ 48 c 2 (1 － 3 k 2 )>0 ， 点评 由题设知，点 B 为线段 AE 的中点， 所以 x 1 ＋ 3 c ＝ 2 x 2 ， ③ 直线与圆锥曲线弦的问题包括求弦的方程，弦长，弦的位置确定，弦中点坐标轨迹等问题，解决这些问题的总体思路是设相关量，找等量关系，利用几何性质列方程 ( 组 ) ，不等式 ( 组 ) 或利用一元二次方程根与系数的关系，使问题解决 . 点评 解析答案 解析答案 解　 由椭圆定义知 AF 2 ＋ BF 2 ＋ AB ＝ 4 a ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 化简得 ( a 2 ＋ b 2 ) x 2 ＋ 2 a 2 cx ＋ a 2 ( c 2 － b 2 ) ＝ 0 ， 解析答案 (2) 设点 P (0 ，－ 1) 满足 PA ＝ PB ，求椭圆 E 的方程 . 解　 设 AB 的中点为 N ( x 0 ， y 0 ) ， 由 (1) 知 返回 高考 题型精练 1 2 3 4 解析答案 1.(2015· 北京 ) 已知椭圆 C ： x 2 ＋ 3 y 2 ＝ 3 ，过点 D (1,0) 且不过点 E (2,1) 的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点，直线 AE 与直线 x ＝ 3 交于点 M . (1) 求椭圆 C 的离心率； 解析答案 (2) 若 AB 垂直于 x 轴，求直线 BM 的斜率； 解　 因为 AB 过点 D (1,0) 且垂直于 x 轴， 所以可设 A (1 ， y 1 ) ， B (1 ，－ y 1 ) ， 直线 AE 的方程为 y － 1 ＝ (1 － y 1 )( x － 2) ， 令 x ＝ 3 ，得 M (3,2 － y 1 ) ， 1 2 3 4 解析答案 (3) 试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系，并说明理由 . 1 2 3 4 解析答案 解　 直线 BM 与直线 DE 平行，证明如下： 当直线 AB 的斜率不存在时，由 (2) 可知 k BM ＝ 1. 当直线 AB 的斜率存在时，设其方程为 y ＝ k ( x － 1)( k ≠ 1) ， 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 1 2 3 4 解析答案 1 2 3 4 所以 k BM ＝ 1 ＝ k DE ， 所以 BM ∥ DE . 综上可知，直线 BM 与直线 DE 平行 . 1 2 3 4 解析答案 (1) 当 AM ＝ AN 时，求 △ AMN 的面积； 1 2 3 4 解　 设 M ( x 1 ， y 1 ) ，则由题意知 y 1 >0 ， 又 A ( － 2,0) ，因此直线 AM 的方程为 y ＝ x ＋ 2. 1 2 3 4 解析答案 1 2 3 4 解析答案 证明　 设直线 AM 的方程 y ＝ k ( x ＋ 2)( k >0) ， 1 2 3 4 即 4 k 3 － 6 k 2 ＋ 3 k － 8 ＝ 0. 设 f ( t ) ＝ 4 t 3 － 6 t 2 ＋ 3 t － 8 ， 则 k 是 f ( t ) 的零点， f ′ ( t ) ＝ 12 t 2 － 12 t ＋ 3 ＝ 3(2 t － 1) 2 ≥ 0 ， 所以 f ( t ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增， 1 2 3 4 解析答案 解得 c ＝ 1. 所以抛物线 C 的方程为 x 2 ＝ 4 y . 1 2 3 4 解析答案 (2) 当点 P ( x 0 ， y 0 ) 为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程； 1 2 3 4 同理可得切线 PB 的方程为 x 2 x － 2 y － 2 y 2 ＝ 0 ， 又点 P ( x 0 ， y 0 ) 在切线 PA 和 PB 上， 所以 x 1 x 0 － 2 y 0 － 2 y 1 ＝ 0 ， x 2 x 0 － 2 y 0 － 2 y 2 ＝ 0 ， 所以 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) 为方程 x 0 x － 2 y 0 － 2 y ＝ 0 的两组解 ， 所以 直线 AB 的方程为 x 0 x － 2 y － 2 y 0 ＝ 0. 1 2 3 4 解析答案 (3) 当点 P 在直线 l 上移动时，求 AF · BF 的最小值 . 1 2 3 4 解析答案 解　 由抛物线定义知 AF ＝ y 1 ＋ 1 ， BF ＝ y 2 ＋ 1 ， 所以 AF · BF ＝ ( y 1 ＋ 1)( y 2 ＋ 1) ＝ y 1 y 2 ＋ ( y 1 ＋ y 2 ) ＋ 1 ， 所以 AF · BF ＝ y 1 y 2 ＋ ( y 1 ＋ y 2 ) ＋ 1 1 2 3 4 1 2 3 4 解析答案 (1) 求椭圆 C 1 的方程； 1 2 3 4 解析答案 (2) 设点 P 在抛物线 C 2 ： y ＝ x 2 ＋ h ( h ∈ R ) 上， C 2 在点 P 处的切线与 C 1 交于点 M ， N . 当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时，求 h 的最小值 . 返回 1 2 3 4 解析答案 解　 如图，设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， P ( t ， t 2 ＋ h ) ， 直线 MN 的方程为 y ＝ 2 tx － t 2 ＋ h . 将上式代入椭圆 C 1 的方程中，得 4 x 2 ＋ (2 tx － t 2 ＋ h ) 2 － 4 ＝ 0 ， 即 4(1 ＋ t 2 ) x 2 － 4 t ( t 2 － h ) x ＋ ( t 2 － h ) 2 － 4 ＝ 0 . ① 因为直线 MN 与椭圆 C 1 有两个不同的交点， 所以 ① 式中的 Δ 1 ＝ 16 [ － t 4 ＋ 2( h ＋ 2) t 2 － h 2 ＋ 4 ] >0 . ② 设线段 MN 的中点的横坐标是 x 3 ， 1 2 3 4 设线段 PA 的中点的横坐标是 x 4 ， 由题意，得 x 3 ＝ x 4 ，即 t 2 ＋ (1 ＋ h ) t ＋ 1 ＝ 0 . ③ 由 ③ 式中的 Δ 2 ＝ (1 ＋ h ) 2 － 4 ≥ 0 ，得 h ≥ 1 ，或 h ≤ － 3. 当 h ≤ － 3 时， h ＋ 2<0,4 － h 2 <0 ，则 不等式 ② 不成立，所以 h ≥ 1. 当 h ＝ 1 时，代入方程 ③ 得 t ＝－ 1 ， 将 h ＝ 1 ， t ＝－ 1 代入不等式 ② ，检验成立 . 所以， h 的最小值为 1. 返回 1 2 3 4