【数学】2020届一轮复习人教A版第33课三角函数在实际问题中的应用作业（江苏专用）

【数学】2020届一轮复习人教A版第33课三角函数在实际问题中的应用作业（江苏专用）

随堂巩固训练(33)‎ ‎ 1. 如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在点A的同侧，选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为__50__m.‎ 解析：在△ABC中，因为∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，所以B＝30°.由正弦定理得＝，所以AB＝＝50(m)．‎ ‎ 2. 如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°方向，灯塔B在观察站C的南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B的__北偏西10°__方向. ‎ 解析：由题意可设灯塔A在灯塔B北偏西α方向．因为∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，且AC＝BC，所以∠CBA＝50°.又因为∠CBA＋α＝60°，所以α＝10°，所以灯塔A在灯塔B北偏西10°方向．‎ ‎ 3. 如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m，50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A观察建筑物CD的张角∠CAD＝__45°__．‎ 解析：由图知在Rt△ABD中，AB＝20m，BD＝60m，所以AD＝＝20(m)，同理易得AC＝30 m．在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝＝，所以∠CAD＝45°.‎ ‎ 4. 若一人先向东走了xkm，再转向南偏西60°走了3km，结果他离出发点的距离恰好是 km，则x＝__2或____．‎ 解析：由题意可知从点A出发向东走xkm到达点B，再沿南偏西60°方向走了3km到达点C.在△ABC中，AB＝xkm，BC＝3 km，AC＝km，∠ABC＝30°，由余弦定理得3＝9＋x2－6x·cos30°，解得x＝或x＝2.‎ ‎ 5. 一艘船沿正北方向航行，观察到正西方向有两个相距10海里的灯塔，恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，观察一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这艘船的速度是每小时__10__海里．‎ 解析：如图，由题意得∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，所以CD＝AC＝10.在直角三角形ABC中，∠CAB＝60°，‎ 所以AB＝AC＝5，所以这艘船的速度是每小时＝10(海里)．‎ ‎ 6. 如图，要测量河对岸A，B两点之间的距离，现沿河岸选取相距40m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B两点之间的距离为__20__m.‎ 解析：因为∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，所以∠BDC＝90°.因为∠BCD＝45°，所以△BCD是等腰直角三角形，所以BD＝CD＝40.在△ACD中，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝105°，∠ADC＝30°，所以∠CAD＝45°.又sin105°＝，所以由正弦定理得＝，即＝，所以AD＝20(＋1)．在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos60°＝2 400，所以AB＝20 m.‎ ‎ 7. 货轮在海上从点B以40海里/时的速度沿方位角为140°的方向航行，为了确定船位，在点B观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时后到达点C，观测灯塔A的方位角为65°，则货轮到达点C时与灯塔A的距离是__10__海里．‎ 解析：在△ABC中，BC＝40×0.5＝20，∠ABC＝140°－110°＝30°，∠ACB＝65°＋(180°－140°)＝105°，所以∠BAC＝45°.由正弦定理得AC＝＝＝10，即货轮到达点C时与灯塔A的距离是10海里．‎ ‎ 8. 某工程中要将一长为100m，倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长__100__m.‎ 解析：‎ 由题意，保持坡高不变，设AC＝h，则AD＝，即100＝，可得h＝25(＋)，DC＝ADcos75°＝25(－)．将斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡，即BC＝＝h＝25(3＋)，所以坡底需加长BC－CD＝25(3＋)－25(－)＝100(m)．‎ ‎ 9. 直线AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km/h的速度由点A向点B行驶，同时摩托车以50km/h的速度由点B向点C行驶，则运动开始____h后，两车的距离最小．‎ 解析：‎ 如图所示，设th后，汽车由点A行驶到点D，摩托车由点B行驶到点E，则t≤2.5，所以AD＝80t，BE＝50t.因为AB＝200，所以BD＝200－80t，由余弦定理得DE2＝BD2＋BE2－2BD×BEcos60°＝(200－80t)2＋2 500t2－(200－80t)×50t＝12 900t2－42 000t＋40 000.当t＝时，DE2最小，故运动开始h后两车的距离最小．‎ ‎10. 如图，某住宅小区的平面图是圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从点O 沿OD走到点D用了2min，从点D沿DC走到点C用了3min.若此人步行的速度为50m/min，则该扇形的半径为__50__m.‎ 解析：设该扇形的半径为rm，连结OC.由题意得CD＝150m，OD＝100m，∠CDO＝60°.在△CDO中，由余弦定理得OC2＝CD2＋OD2－2CD·ODcos60°，即1502＋1002－2×150×100×＝r2，解得r＝50，即该扇形的半径为50 m.‎ ‎11. 如图，在山脚A处测得山顶S的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走100m到达B处，又测得山顶S的仰角为75°，图中的AD，BC为水平线．‎ ‎(1) 求山高SD；‎ ‎(2) 求CD的值．‎ 解析：(1) 在△ABS中，∠SAB＝45°－15°＝30°，∠ASB＝30°，∠ABS＝120°，AB＝100 m.‎ 由正弦定理得＝，所以SA＝＝100(m)，‎ 所以在Rt△SAD中，SD＝SAsin45°＝50(m)，故山高SD＝50 m. ‎ ‎(2) 在△SAB中，由(1)知AB＝SB＝100m，‎ 在Rt△SBC中SC＝SBsin75°＝25＋25(m)，‎ 所以CD＝SD－SC＝50－(25＋25)＝25－25(m)．‎ ‎12. 某企业有两个生产车间分别在A、B两个位置，A车间有100名员工，B车间有400名员工．现要在公路AC上找一点D，修一条公路BD，并在点D 处建一个食堂，使得所有员工均在此食堂用餐．已知A、B、C中任意两点间的距离均为1km，设∠BDC＝α，所有员工从车间到食堂步行的总路程为s.‎ ‎(1) 写出s关于α的函数表达式，并指出α的取值范围；‎ ‎(2) 问食堂D建在距离A车间多远时，可使总路程s最少？‎ 解析：(1) 在△BCD中，因为＝＝，‎ 所以BD＝，CD＝，所以AD＝1－，‎ 所以s＝400·＋100[1－]＝50－50·，其中<α<.‎ ‎(2) s′＝－50·＝50·.‎ 令s′＝0，得cosα＝.记cosα0＝，α0∈，‎ 则当cosα>时，s′<0；当cosα<时，s′>0，‎ 所以s在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以当α＝α0，即cosα＝时，s取得最小值，此时sinα＝，‎ 所以AD＝1－＝1－＝－×＝－×＝－.‎ 故当食堂D建在距离A车间 km时，可使总路程s最少. ‎ ‎13. 如图，P为某湖中观光岛屿，AB是沿湖岸南北方向的道路，Q为停车场，PQ＝km，某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q，已知游船以13km/h的速度沿方位角θ的方向行驶，sinθ＝.游船离开观光岛屿3min后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车场Q与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖岸南北大道M处，然后乘出租车到停车场Q处(设游客甲到达湖岸南北大道后立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租车的速度为66km/h.‎ ‎(1) 设sinα＝，问当小船的速度为多少时，游客甲才能和游船同时到达点Q?‎ ‎(2) 设小船的速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α的余弦值是多少时，游客甲能按计划以最短的时间到达点Q?‎ 解析：(1) 如图，过点P作PN⊥AB，N为垂足．‎ 因为sinθ＝，sinα＝，所以cosθ＝，cosα＝，tanα＝.‎ 在Rt△PNQ中，PN＝PQsinθ＝×＝2(km)，‎ QN＝PQcosθ＝×＝4.8(km). ‎ 在Rt△PNM中，MN＝＝＝1.5(km)，PM＝＝＝2.5(km)，‎ MQ＝QN－MN＝3.3(km)．‎ 设游船从点P到点Q所用的时间为t1h，游客甲从点P经点M到点Q所用的时间为t2h，小船的速度为v1km/h，则t1＝＝＝(h)，t2＝＋＝＋＝＋(h)．‎ 由已知得t2＋＝t1，即＋＋＝，所以v1＝，‎ 所以当小船的速度为 km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q. ‎ ‎(2) 在Rt△PMN中，PM＝＝(km)，MN＝＝(km)，‎ 所以QM＝QN－MN＝4.8－(km)．‎ 设游客甲所用时间为t，则t＝＋＝＋－＝×＋，‎ 所以t′＝×＝.　‎ 令t′＝0，得cosα＝.‎ 当cosα<时，t′>0; 当cosα>时，t′<0.‎ 因为y＝cosα在α∈上单调递减，‎ 所以当方位角α满足cosα＝时，t最小，即游客甲能按计划以最短的时间到达点Q.‎