高考数学真题专题归纳专题21不等式选讲含解析理

高考数学真题专题归纳专题21不等式选讲含解析理

专题21 不等式选讲 ‎【2020年】‎ ‎1.（2020·新课标Ⅰ）已知函数．‎ ‎（1）画出的图像；‎ ‎（2）求不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）详解解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，作出图象，如图所示：‎ ‎（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：‎ 13‎ 由，解得．‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎2.（2020·新课标Ⅱ）已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，.‎ 当时，，解得：；‎ 当时，，无解；‎ 当时，，解得：；‎ 综上所述：的解集为或.‎ ‎（2）（当且仅当时取等号），‎ ‎，解得：或，‎ 13‎ 的取值范围为.‎ ‎3.（2020·新课标Ⅲ）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．‎ ‎（1）证明：ab+bc+ca<0；‎ ‎（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎（1），‎ ‎.‎ 均不为，则，；‎ ‎（2）不妨设，‎ 由可知，，‎ ‎，.‎ 当且仅当时，取等号，‎ ‎，即.‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质以及基本不等式的应用，属于中档题.‎ ‎4.（2020·江苏卷）设，解不等式．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】或或 或或 所以解集为 ‎【2019年】‎ 13‎ ‎1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）因为，又，故有 ‎．‎ 所以．‎ ‎（2）因为为正数且，故有 ‎=24．‎ 所以．‎ ‎2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知 ‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）当a=1时，．‎ 当时，；当时，．‎ 所以，不等式的解集为．‎ ‎（2）因为，所以．‎ 当，时，．‎ 所以，的取值范围是．‎ 13‎ ‎3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设，且．‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）若成立，证明：或．‎ ‎【答案】（1）；（2）见详解．‎ ‎【解析】（1）由于 ‎，‎ 故由已知得，‎ 当且仅当x=，y=–，时等号成立．‎ 所以的最小值为．‎ ‎（2）由于 ‎，‎ 故由已知，‎ 当且仅当，，时等号成立．‎ 因此的最小值为．‎ 由题设知，解得或．‎ ‎4．【2019年高考江苏卷数学】设，解不等式．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】当x<0时，原不等式可化为，解得x<；‎ 13‎ 当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；‎ 当x>时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1．‎ 综上，原不等式的解集为．‎ ‎【2018年】‎ ‎1. （2018年全国I卷理数）[选修4–5：不等式选讲]‎ 已知.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时不等式成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）．‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）当时，，即 故不等式的解集为．‎ ‎（2）当时成立等价于当时成立．‎ 若，则当时；‎ 若，的解集为，所以，故．‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎2. （2018年全国Ⅱ卷理数） [选修4－5：不等式选讲]‎ 设函数．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）,(2)‎ ‎【解析】（1）当时，‎ 13‎ 可得的解集为．‎ ‎（2）等价于．‎ 而，且当时等号成立．故等价于．‎ 由可得或，所以的取值范围是．‎ ‎3. （2018年全国Ⅲ卷理数） [选修4—5：不等式选讲]‎ 设函数．‎ ‎（1）画出的图像；‎ ‎（2）当，，求的最小值．‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）见解析 ‎（2）5‎ ‎【解析】（1） 的图像如图所示．‎ 13‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为5。‎ ‎4. （2018年江苏卷）[选修4—5：不等式选讲]‎ 若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求的最小值．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】证明：由柯西不等式，得．‎ 因为，所以，‎ 当且仅当时，不等式取等号，此时，‎ 所以的最小值为4．‎ ‎【2017年】‎ ‎1．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若不等式的解集包含[–1，1]，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，不等式等价于．①‎ 当时，①式化为，无解；‎ 13‎ 当时，①式化为，从而；‎ 当时，①式化为，从而．‎ 所以的解集为．‎ ‎（2）当时，．‎ 所以的解集包含，等价于当时．‎ 又在的最小值必为与之一，所以且，得．‎ 所以的取值范围为．‎ ‎2．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）证明略；（2）证明略．‎ ‎【解析】（1）‎ ‎（2）因为 所以，因此．‎ ‎3．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f（x）=│x+1│–│x–2│．‎ ‎（1）求不等式f（x）≥1的解集；‎ 13‎ ‎（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1），‎ 当时，无解；‎ 当时，由得，，解得；‎ 当时，由解得．‎ 所以的解集为．‎ ‎（2）由得，而 ‎，‎ 且当时，．‎ 故m的取值范围为．‎ ‎【2016年】‎ ‎1.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（I）在答题卡第（24）题图中画出的图像；‎ ‎（II）求不等式的解集．‎ 13‎ ‎【答案】（I）见解析（II）‎ ‎【解析】⑴如图所示：‎ ‎⑵ ‎ ‎,当,,解得或,‎ 当,,解得或 或 当,,解得或,或 综上,或或,,解集为 ‎2.【2016高考新课标2理数】选修4—5：不等式选讲 13‎ 已知函数，为不等式的解集．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.‎ ‎【解析】（I）‎ 当时，由得解得；‎ 当时， ；‎ 当时，由得解得.‎ 所以的解集.‎ ‎（II）由（I）知，当时，，‎ 从而，‎ 因此 ‎3. 【2016高考新课标3理数】选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（I）当时，求不等式的解集；‎ ‎（II）设函数．当时，，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）当时，.‎ 解不等式得.‎ 13‎ 因此的解集为. ‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ ‎，‎ 当时等号成立，所以当时，等价于 ‎. ① ‎ 当时，①等价于，无解.‎ 当时，①等价于，解得.‎ 所以的取值范围是. ‎ ‎ ‎ 13‎