2018-2019学年安徽省淮北市第一中学高二下学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省淮北市第一中学高二下学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省淮北市第一中学高二下学期第二次月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设集合A={x|y=}，集合B={x|y=lg（8-x）}，则A∩B=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意，，∴．‎ 故选C．‎ ‎2．已知m，n，是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：‎ ‎（1）若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β．‎ ‎（2）若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n．‎ ‎（3）若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β ‎（4）若α∩β=m，n∥m且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β 其中正确的命题是（　　）‎ A．（1）（2） B．（2）（4） C．（2）（3） D．（4）‎ ‎【答案】B ‎【解析】命题（1）通过正方体中的线面能推翻；命题（2）可根据面面平行的性质定理得到其正确；命题（3）‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图正方体中，平面A1ADD1⊥平面ABCD，交线为AD，AB1⊥AD，但AB1与两个平面均不垂直，此命题错误；‎ ‎（2）由面面平行的性质定理，两个平面平行，第三个平面和这两个平面相交，则交线平行，可知此命题正确；‎ 对于（3）当直线m和n平行时，尽管都平行于平面，但是平面可以是相交的情况；则根据故命题不正确；‎ 对于（4）根据线面平行的判定得到线线平行则线面平行，m是两个平面的交线，故n和两个平面都平行.‎ 故答案为：B.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了立体几何中面面平行的性质定理，以及线面平行的判定定理等，这类题可以放到特殊图形中找反例，可以根据课本定理判正误.‎ ‎3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．‎ 详解：由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是正相关，相关系数大于0， 图2和图4是负相关，相关系数小于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于-1， 由此可得． 故选：A．‎ 点睛：本题考查了两个变量的线性相关，考查了相关系数，散点分布在左下角至右上角，说明两个变量正相关；分布在左上角至右下角，说明两个变量负相关，散点越集中在一条直线附近，相关系数越接近于1（或-1），此题是基础题．‎ ‎4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A．2 B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由已知中的三视图，我们可以判断出该几何体的几何特征，该几何体是一个四棱锥其底面是一个对角线为2的正方形，面积S=,高为1,则体积V=，故选C.‎ ‎【考点】本题考查的知识点是由三视图求体积.‎ 点评：根据已知中的三视图判断该物体是一个底面为对角为2的正方形，高为1的四棱锥是解答本题的关键.‎ ‎5．已知曲线：，：，则下面结论正确的是（ ）‎ A．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 B．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 C．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 D．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线 ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎，‎ 将上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到，‎ 再向左平移个单位长度，得，即曲线，‎ 所以到的变换过程为把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.‎ 故选B.‎ ‎6．平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为 ‎ ‎（A）π （B）π （C）4π （D）π ‎【答案】B ‎【解析】球半径，所以球的体积为，选B.‎ ‎7．已知点为抛物线上的动点,点在轴上的射影是,点坐标为,则的最小值是(  )‎ A． B．4 C． D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意作图：‎ 将转化成，利用图形特征即可得解 ‎【详解】‎ 如图，根据题意作出抛物线及点A，抛物线的准线：，焦点 由图可得：=,‎ 又，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的简单性质及抛物线的定义，考查了转化思想及计算能力，属于基础题。‎ ‎8．若函数有唯一一个极值点，则实数a的取值范围是（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎【答案】C ‎【解析】函数有唯一一个极值点，则导函数有唯一大于0的变号零点，画出的图像，使得两个函数图像有唯一一个交点，并且交点的横坐标大于0，故，可求解.‎ ‎【详解】‎ 函数有唯一一个极值点，则导函数有唯一的大于0的变号零点，‎ ‎，变形为 ‎ 画出的图像 使得两个函数图像有唯一一个交点，并且交点的横坐标大于0，故，化简为 ‎ 故答案为：C.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了函数极值点的概念，以及已知函数零点个数求参数范围的问题，已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题．‎ ‎9．命题p：若向量＜0，则与的夹角为钝角；命题q：若cosα•cosβ=1，则sin（α+β）=0．下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：命题p：若向量，则与的夹角为钝角或平角，即可判断出真假；命题q：若cosα•cosβ=1，则cosα=cosβ=±1，因此α=2k1π，β=2k2π，或α=（2k1﹣1）π，β=（2k2﹣1）π，k1，k2∈N．可得sin（α+β）=0．即可判断出真假．‎ 详解：命题p：若向量，则与的夹角为钝角或平角，因此为假命题；‎ 命题q：若cosα•cosβ=1，则cosα=cosβ=±1，因此α=2k1π，β=2k2π，‎ 或α=（2k1﹣1）π，β=（2k2﹣1）π，k1，k2∈N．则sin（α+β）=0．为真命题．‎ 下列命题为真命题的是p∨q，其余为假命题．‎ 故答案为：D 点睛：（1）本题主要考查了向量夹角与数量积的关系、三角函数求值、简易逻辑的判定方法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力与计算能力.(2) 若向量，则非零向量与非零向量的夹角为钝角或平角，因为当两个向量的夹角为平角时，，不能说非零向量与非零向量的夹角为钝角.‎ ‎10．锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=2A，则的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由、倍角公式和正弦定理得，故，根据是锐角三角形可得，于是可得所求范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 由正弦定理得，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎∵是锐角三角形，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 即的值范围是．‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理和正切函数的图象性质，易错点是A的取值范围，属于中档题．‎ ‎11．倾斜角为30°的直线l经过双曲线的左焦点F1，交双曲线于A、B两点，线段AB的垂直平分线过右焦点F2，则此双曲线的渐近线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由垂直平分线性质定理可得，运用解直角三角形知识和双曲线的定义，求得，结合勾股定理，可得a，c的关系，进而得到a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程。‎ ‎【详解】‎ 解：如图为线段AB的垂直平分线，‎ 可得，‎ 且，‎ 可得，，‎ 由双曲线的定义可得，，‎ 即有，‎ 即有，，‎ ‎，‎ 由，可得，‎ 可得，即，‎ ‎，则渐近线方程为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的方程和性质，渐近线方程的求法，考查垂直平分线的性质和解直角三角形，注意运用双曲线的定义，考查运算能力，属于中档题。‎ ‎12．已知定义在R上的偶函数，其导函数为；当时，恒有，若，则不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题干得到是偶函数，通过求导得到函数在，从而得到.‎ ‎【详解】‎ 因为是定义在R上的偶函数，也是偶函数，故是偶函数，‎ ‎，当时，恒有，故当时，，即函数在 故自变量离轴越远函数值越小，故.‎ 故答案为：A.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了抽象函数的奇偶性的应用，以及导数在研究函数的单调性中的应用，导数在研究不等式中的应用；题目中等.对于函数奇偶性，奇函数乘以奇函数仍然是奇函数，偶函数乘以偶函数仍然是偶函数.‎ 二、填空题 ‎13．若命题p为：，，则为_________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】根据全称命题的否定的写法书写即可.‎ ‎【详解】‎ 根据全称命题的否定的写法得到：命题p为：，，则为，.‎ 故答案为：，.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了全称命题的否定的写法，符合，换量词，否结论，不变条件这一规律.全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.‎ ‎14．已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】试题分析：函数在处的导数为，所以切线方程为；曲线的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.‎ ‎【考点】导函数的运用.‎ ‎【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．‎ ‎15．在中，面积，则角C的大小为_________．‎ ‎【答案】45°‎ ‎【解析】分析：根据面积公式=，结合余弦定理即可求解.‎ 详解：由题可知：=‎ ‎，所以C=‎ 故答案为 点睛：考查三角形面积公式，余弦定理，对公式的正确变形运用是解题关键，属于中档题.‎ ‎16．已知函数，若方程有五个不同的根，则实数a的取值范围为_______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】求出f（﹣x）的解析式，根据x的范围不同得出两个不同的方程，由两个方程的关系得出f（﹣x）＝f（x）在（0，+∞）上有两解，根据函数图象和导数的几何意义得出a的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎，．‎ 显然是方程的一个根，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 显然，若为方程的解，则为方程的解，‎ 即方程，含有相同个数的解，‎ 方程有五个不同的根，‎ 方程在上有两解，‎ 做出和的函数图象，如图所示：‎ 设与相切，切点为，‎ 则，解得，．‎ 与在上有两个交点，‎ ‎，即．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点个数与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．函数的零点问题和图像的交点问题以及方程的根可以互相转化.‎ 三、解答题 ‎17．已知时，函数有极值 ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求函数的极值。‎ ‎【答案】（1）实数的值；1,-3（2）极大值2，极小值-2‎ ‎【解析】（1）根据题意得到；（2）根据第一问得到 ‎【详解】‎ ‎（1）已知时，函数有极值,故得到 ‎（2）根据第一问得到， ‎ 导函数在上为正，故原函数为增函数，导函数在 上为负，故原函数是减函数；根据极大值点的概念得到函数在-1处取得极大值，代入得到2；导函数在上为负，故原函数为减函数，导函数在上为正，故原函数为增；根据极小值点的概念得到原函数在1处取得极小值代入得到-2. 极大值2，故得到极小值-2.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。‎ ‎18．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．‎ 求角A；‎ 若，的面积为，求的周长．‎ ‎【答案】(1)；(2)‎ ‎【解析】试题分析： (1)利用将边化成角即可；（2）利用三角形的面积公式和余弦定理得出关于的方程.规律总结：解三角形问题，往往要综合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式以及三角恒等变形等知识，综合性较强，主要思路是利用有关定理实现边、角的合理互化.注意点：1.转化成，是学生思维的难点；2.第二问中，要注意整体思想的运用，而不是分别解出的值，可减少计算量.‎ 试题解析：(1)由及正弦定理，得 ‎,又,,‎ ‎.‎ ‎(2)因为三角形的面积公式所以，‎ 由余弦定理，得：，‎ 三角形的周长为.‎ ‎【考点】1.正弦定理;2.余弦定理3.三角形的面积公式 ‎19．某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：‎ 日期 ‎4月1日 ‎4月7日 ‎4月15日 ‎4月21日 ‎4月30日 温差 ‎10‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 发芽数颗 ‎23‎ ‎25‎ ‎30‎ ‎26‎ ‎16‎ 从这5天中任选2天，求这2天发芽的种子数均不小于25的概率；‎ 从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程；‎ 若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问中所得的线性回归方程是否可靠？‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）可靠.‎ ‎【解析】试题分析：（1）列出（m，n）的所有取值情况，设“m、n均不小于25”为事件A，找出事件A包含的基本事件个数，即可求解事件A的概率． （2）求出y关于x的线性回归方程的相关数值即可． （3）通过x=10时，x=8时，计算估计数据，然后判断线性回归方程是否可靠．‎ 试题解析：‎ ‎（1）的所有取值范围有 ‎(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16).共有10个.‎ 设“‎ 均不小于25”为事件A,则事件A包含的基本事件有(25,30),(25,26),(30,26),所有.‎ 故事件A的概率为.‎ ‎（2）由数据得，‎ 又 所有y关于x的线性回归方程为.‎ ‎（3）当时，.‎ 当时， .‎ 所有得到的线性回归方程是可靠的.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎20．已知四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，E为CD的中点，‎ 求证：平面PAB；‎ 求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）首先利用勾股定理可求得，应用平行垂直关系得到，利用线面垂直的判定定理证得平面；‎ ‎（2）作出垂线段，求得结果，应用体积公式求得结果.‎ 详解：（1）证明：底面ABCD是正方形，AB//CD 又，‎ ‎ ‎ ‎ ， ‎ ‎ 又 ‎ ‎（2）且， ‎ 又， ‎ ‎ ， ‎ ‎ 为三棱锥的 高， ‎ ‎= ‎ ‎(另可以以为底，为高计算. )‎ 点睛：该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定以及椎体体积的求解，在解题的过程中，注意应用勾股定理也是证明线面垂直的方法，再者就是在求三棱锥的体积的时候可以应用顶点和底面转换达到简化求解的目的.‎ ‎21．过椭圆的右焦点的直线交椭圆于A，B两点，为其左焦点，已知的周长为，椭圆的离心率为．‎ 求椭圆C的方程；‎ 设P为椭圆C的下顶点，椭圆C与直线相交于不同的两点M、当时，求实数m的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据周长确定的值；由离心率确定c的值，进而根据 求出b的值，得到椭圆方程。‎ ‎（2）根据直线方程与椭圆相交，联立方程得到关于x的一元二次方程；因为有两个交点，由韦达定理表示出中点坐标，再由两条直线垂直时的斜率关系求得参数m的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由椭圆定义知，，，由得，，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）由方程组 ，‎ 设，，的中点为，则.‎ ‎∴，，∴，‎ 由得，又，‎ ‎∴，∴.‎ 满足.综上.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用，通过联立方程并结合韦达定理求两个交点的关系，属于中档题。‎ ‎22．已知．‎ 求的单调区间和极值；‎ 若对任意，均有恒成立，求正数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导通分后，对分成两类，讨论函数的单调区间和极值.（2）化简圆不等式为对任意成立.由（1）知 ，由此求得.‎ 试题解析：‎ 解：（1）.‎ i)时，，‎ 即在为增函数，无极值 ii)，‎ 在有极小值，无极大值 的极小值.‎ ‎（2），‎ 对恒成立由（1）可知 ‎∴. ∴.‎ 点睛：本题主要考查导数与函数单调区间、极值的求法，考查不等式恒成立问题的转化方法.第一问要求函数的单调区间和极值，先求函数的定义域，然后求导并通分，通分后分子是含有参数的一次函数，故要对进行分类讨论.第二问可将原不等式转化为第一问的结论来证明.‎