2018-2019学年山西省临汾一中、忻州一中高二3月联考数学（理）试题（Word版）

2018-2019学年山西省临汾一中、忻州一中高二3月联考数学（理）试题（Word版）

‎2018-2019学年山西省临汾一中、忻州一中高二3月联考 数学试题(理科)‎ ‎（考试时间 120 分钟 满分 150 分）‎ 第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）‎ 一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只 有一个是符合题目要求的）‎ ‎1. i 是虚数单位，若 1 + 7i = z 则 z 等于（ ）‎ ‎2 - i A. 3i - 1‎ ‎B. 3i + 1‎ ‎C.1 - 3i ‎D. - 1 - 3i ‎2.函数 y = ln(3x - 2) 在点（1,0）的切线方程为（ ）‎ A. y = 3x - 3‎ ‎B. y = x - 1‎ ‎C. y = 3x + 3‎ ‎D. y = x + 1‎ ‎3.已知等差数列{an } 满足 a3 = 3 ，且 a1 ，‎ ‎a2 ，‎ ‎a4 成等比数列，则 a5 = （ ）‎ A. 5 B. 3 C. 4或3‎ p ‎D. 5或3‎ ‎4.若函数 f ( x) = A sin(wx - 为（ ）‎ ‎)( A > 0,w> 0) 的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积 ‎6‎ A. - 1 + 3‎ ‎2‎ ‎1‎ B.‎ ‎2‎ ‎1 1 1‎ ‎3 3‎ C.1 - D.‎ ‎2 2‎ ‎5.用数学归纳法证明 1 + + + × × × + < n( nÎ N, n > 1)‎ ‎2 3 2 n -1‎ ‎，第一步应验证不等式 ‎（ ）‎ ‎1 1 1‎ A.1 + + + < 3‎ ‎2 3 4‎ ‎‎ ‎1 1‎ B.1 + + < 3‎ ‎2 3‎ ‎‎ ‎1 1‎ C.1 + + < 2‎ ‎2 3‎ ‎‎ ‎1‎ D.1 + < 2‎ ‎2‎ ‎6.若函数 f ( x) = x + a ln x 不是单调函数,则实数 a 的取值范围是( )‎ A.[0, +¥)‎ ‎B. (-¥, 0)‎ ‎C.（0, +¥） D. (-¥, 0]‎ ‎7.已知三棱锥 P - ABC 的各顶点都在以 O 为球心的球面上，且 PA, PB, PC 两两垂直， 若 PA = PB = PC = 2 ，则球心 O 到平面 ABC 的距离为( )‎ A. 2 3 B. 3 C．1 D. 3‎ ‎3 3‎ ‎8.设 a Î R ，若函数 y = eax + 3x( x Î R) 有大于零的极值点，则（ ）‎ A． a < - 1‎ ‎3‎ ‎B． a > - 1‎ ‎3‎ ‎‎ C. a < -3‎ ‎‎ D. a > -3‎ ì3x - y - 6 £ 0‎ í ‎9.设 x, y 满足约束条件 ï x - y + 2 ³ 0‎ î ï x ³ 0, y ³ 0‎ ‎‎ ‎，若目标函数 z = ax + by (a > 0,b > 0)‎ ‎‎ 的值是最 大值为12 ，则 2 + 3 的最小值为（ ）‎ a b ‎25 8‎ A. B.‎ ‎6 3‎ ‎2 2‎ ‎11‎ C. D. 4‎ ‎3‎ x y ‎10.已知双曲线 - a2 b2‎ ‎=（1 a > 0, b > 0）的右焦点为 F ，过 F 作斜率为 - 1 的直线交双曲 a2 + b2‎ 线的渐近线于点 P ，点 P 在第一象限， O 为坐标原点，若 DOFP 的面积为 ，则 ‎8‎ 该双曲线的离心率为( )‎ ‎5 7‎ A. B.‎ ‎3 3‎ ‎10 15‎ C. D.‎ ‎3 3‎ ‎11.设命题 p :在 DABC 中，点 D 在线段 BC 的延长线上，且 BC = 3CD ,点 O 在线段 CD 上 （ 与 点 C, D 不 重 合 ） ， 实 数 a 满 足 ‎AO = a AB + (1- a ) AC ‎； 命 题 q : 函 数 f ( x) = 1 x3 + 3(3 - a) x 2 + 9x 无极值点；若 p Ù q 为假， p Ú q 为真，则实数 a 的取值范 ‎3 2‎ 围是（ ）‎ A. (- ‎1 , 0)‎ ‎3‎ ‎‎ B. (- ‎1 , 0) U[1, 5]‎ ‎3‎ ‎‎ C. (0,1] D. (- ‎1 , 5]‎ ‎3‎ ‎12.已知奇函数 f ( x) 的定义域为（- ¥,0）U（0，+ ¥）， f ¢( x) 为其导函数,且满足以下条件 ‎① x > 0 时, f ¢( x) < 3 f ( x) ；② f (1) = 1 ；③ f (2x) = 2 f ( x) ,则不等式 f (x) > 2x2 的解 x 集为 （ ）‎ A. (-¥,- 1 ) U ( 1 ,+¥)‎ ‎2‎ B. (- 1 , 1 )‎ ‎‎ C. (- 1 ,+¥)‎ ‎4x D. (-¥, 1 )‎ ‎4 4 4 4 4 4‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）‎ 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横线上）‎ ‎13. 设 点 P 在 曲 线 ‎y = 2e x + x 上 ， 点 Q 在 直 线 ‎y = 3x - 1 上 ， 则 PQ 的 最 小 值 为 .‎ ìïsin x, x Î[-p, 0]‎ ‎14.已知函数 f ( x) = í ‎‎ ‎1‎ ‎, 则 ò ‎‎ f ( x)dx = .‎ îï 1 - x2 , x Î (0,1] -p p ‎15.若 f ( x) = x sin x + cos x ,则 f (-3) ， f ( ) ， f (2) 的大小关系是 .‎ ‎2‎ ‎16. 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 ‎‎ f ( x), g ( x) 满 足 ‎‎ f ( x) = a x g ( x)‎ ‎‎ ‎(a > 0且a ¹ 1) ， 且 f ¢( x) g ( x) < f ( x) g ¢( x) ， f (1) + ‎f (-1) = 5 ，若有穷数列 f (n) (n Î N * ) 的前 n 项和等 g (1)‎ 于 31 ，则 n 等于 .‎ ‎32‎ ‎g (-1) 2‎ ‎g (n)‎ 三、解答题（本大题共 6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.（本小题 10 分）已知函数 f ( x) = cos 2 x + ‎（1）求 f ( x) 的最小正周期；‎ ‎3 sin x cos x ．‎ ‎（2）在 DABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 f ( A)= 3 ， a = 3 ， S ‎2‎ ‎‎ DABC = 3 ，‎ 求 b2 + c2 的值．‎ ‎18.（本小题 12 分）已知函数 f ( x) = ex - a ln x(a Î R) 在 x = 1 处取得极小值，‎ e ‎（1）求实数 a 的值；‎ ‎1‎ ‎（2）若在区间[ , e] 内存在 x0 ，使不等式 f ( x) < x + m 成立，求 m 的取值范围.‎ e ‎19.（本小题 12 分）在如图所示的六面体中,底面 ABCD 是矩形,平面 ABEF 是以 EF 为 直角腰的直角梯形,且 平面ABCD ^ 平面ABEF , AD= AF = 1 BE = 1 AB=2.‎ ‎2 2‎ ‎（1）求证: AC //平面DEF ;‎ ‎（2）求直线 CE 和 平面DEF 所成角的正弦值.‎ ‎20.（本小题 12 分）已知函数 f ( x) = a ln x + (a -1) x 2 + 1 ．‎ ‎（1）讨论函数 f ( x) 的单调性；‎ ‎（2）当 a = 1 时， f ( x) £ kx 恒成立，求实数 k 的取值范围；‎ ‎21.（本小题 12 分）已知椭圆 C 的中心在原点，离心率等于 1 ，它的一个短轴端点恰好 ‎2‎ 是抛物线 x2 = 4 3y 的焦点．‎ ‎（1）求椭圆 C 的标准方程；‎ ‎（2）椭圆左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 A, B ,则 DF1 AB 的内切圆的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,‎ 请说明理由.‎ ‎22.（本小题 12 分）对于函数 y = H (x) ，若在其定义域内存在 x0 ，使得 x0 × H (x0 ) = 1 成 ‎1 2‎ 立，则称 x0 为函数 H ( x) 的“倒数点”．已知函数 f ( x) = ln x ， g( x) = 2 ( x +1)‎ ‎(1)求证：函数 f ( x) 有“倒数点”，并讨论函数 f ( x) 的“倒数点”的个数；‎ ‎‎ -1 .‎ ‎(2)若当 x ³ 1时，不等式 xf ( x) £ m[ g ( x) －x] 恒成立，试求实数 m 的取值范围．‎ 临汾一中、忻州一中2019年高二年级第二学期联考 数学试题(理科)‎ 参 考 答 案 一、 选择题（本大题共小题，每小题分，共分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D ‎ A D C C B D C A C B A 二、填空题（本大题共4小题，每小题分，共分）‎ ‎13.； 14.； 15.； 16.；‎ 三、 解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.解：‎ ‎(1)‎ ‎ ……………………………1分 ‎ ……………………………2分 函数的最小正周期为. ……………………………4分 ‎(2)由(1)知， ‎ 在△ABC中，，，‎ 又,， ……………………………6分 又，，又 ……………………………8分 由余弦定理，解得. ……………………………10分 ‎18.解：‎ ‎（1）函数的定义域为， ……………………………2分 函数在处取得极小值，‎ ‎，解得. ……………………………4分 当时，由得：‎ 当，即时，为单调递减函数； ‎ 当，即时，为单调递增函数；‎ 所以，函数在处取得极小值， ……………………………6分 ‎（2）由不等式，得，令，则 由题意可转化为：在区间内，， ……………………………8分 ‎，令，得 ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递减 极小值 递增 由表可知：的极小值是且唯一， ……………………………11分 所以，因此，所求的取值范围是 ……………………12分 ‎19.(1)证明:连接,相交于点,取的中点,连接.‎ 因为四边形是正方形,所以是的中点, ‎ 所以,. ……………………………2分 ‎ 因为,.‎ 所以,且.‎ 所以四边形是平行四边形.‎ 所以. ……………………………4分 又,,‎ 所以. ……………………………6分 ‎(2)解:如图，以为坐标原点，分别为轴,轴,平面内与直线垂直的直线为轴建立空间直角坐标系.‎ 则,,,,,,‎ 所以,, ……………………………8分 设平面的法向量为,‎ 则 即 令,则 ……………………………10分 所以 故直线和所成角的正弦值为. ……………………………12分 ‎20.解：（1）的定义域为，，‎ 当时，，故在上单调递增； ……………………………2分 当时，，故在上单调递减； ……………………………4分 当时，令，解得．‎ 则当时，；时，，‎ 故在上单调递增，在上单调递减；………………………6分 ‎（2），‎ 当时，恒成立，‎ 令，则， ……………………………8分 ‎，得，‎ 且当，；当，；‎ 所以在上递增，在上递减，‎ 所以，故． ……………………………12分 ‎21.(1)由题意可设椭圆方程为.‎ 则 解得.‎ 椭圆的标准方程为. ……………………………4分 ‎(2)设，不妨令，‎ 设的内切圆的半径为，‎ 则,，‎ 因此最大，就最大， ……………………………6分 由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，‎ 由，得,‎ ‎. ……………………………8分 则.‎ 令,则,‎ ‎. ……………………………10分 令,则,‎ 当时,,在内单调递增,有,,‎ 即当时,,‎ 由,得,这时所求内切圆面积的最大值为.‎ 故直线的方程为,内切圆面积的最大值为. …………………………12分 ‎22.解：(1)证明：设，‎ 则，‎ 所以在上为单调递增函数． ……………………………2分 而，，‎ 所以函数有零点且只有一个零点．‎ 所以函数有“倒数点”且只有一个“倒数点”． ……………………………5分 ‎(2)等价于，‎ 设.‎ 则， ……………………………6分 易知的判别式为.‎ ‎①当时，，在上单调递减，，符合题意； ‎ ‎②当时，方程有两个正根且，则函数在上单调递增，此时，‎ 不合题意； ……………………………8分 ‎③当时，，在上单调递增，此时，不合题意； ‎ ‎④当时，方程有两个负根，在上单调递增，此时，不合题意； …………………………10分 ‎⑤当时，，在上单调递增，此时，不合题意． ‎ 综上，实数的取值范围是． ……………………………12分