2019届二轮复习双曲线学案(全国通用)

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文档介绍

2019届二轮复习双曲线学案(全国通用)

考纲解读 ‎(1)了解双曲线的实际背景,了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.‎ ‎(2)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它的简单几何性质.‎ ‎(3)了解双曲线的简单应用.‎ ‎(4)理解数形结合的思想.‎ 一、双曲线的定义和标准方程 ‎1.双曲线的定义 ‎(1)定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线.‎ 这两个定点叫做双曲线的焦点,两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距.‎ ‎(2)符号语言:.‎ ‎(3)当时,曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支;‎ 当时,曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支;‎ 当时,轨迹为分别以F1,F2为端点的两条射线;‎ 当时,动点轨迹不存在.‎ ‎2.双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式:‎ ‎(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程为(a>0,b>0),焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),焦距为2c,且,如图1所示;‎ ‎(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程为(a>0,b>0),焦点分别为F1(0,-c),F2(0,c ‎),焦距为2c,且,如图2所示.‎ 图1 图2‎ 注:双曲线方程中a,b的大小关系是不确定的,但必有c>a>0,c>b>0.‎ ‎3.必记结论 ‎(1)焦点到渐近线的距离为b.‎ ‎(2)与双曲线(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可设为.‎ ‎(3)若双曲线的渐近线方程为,则双曲线方程可设为或.‎ ‎(4)与双曲线(a>0,b>0)共焦点的双曲线方程可设为 ‎.‎ ‎(5)过两个已知点的双曲线的标准方程可设为.‎ ‎(6)与椭圆(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为.‎ 二、双曲线的几何性质 ‎1.双曲线的几何性质 标准方程 ‎(a>0,b>0)‎ ‎(a>0,b>0)‎ 图形 范围 ‎,‎ ‎,‎ 对称性 对称轴:x轴、y轴;对称中心:原点 焦点 左焦点F1(-c,0),右焦点F2(c,0)‎ 下焦点F1(0,-c),上焦点F2(0,c)‎ 顶点 轴 线段A1A2是双曲线的实轴,线段B1B2是双曲线的虚轴;‎ 实轴长|A1A2|=2a,虚轴长|B1B2|=2b 渐近线 离心率e ‎2.等轴双曲线的概念和性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线具有以下性质:‎ ‎(1)方程形式为;‎ ‎(2)渐近线方程为,它们互相垂直,并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角;‎ ‎(3)实轴长和虚轴长都等于,离心率.‎ 考向一 双曲线的定义和标准方程 ‎1.在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”.若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支.同时注意定义的转化应用. ‎ ‎2.求双曲线方程时,一是注意判断标准形式;二是注意a、b、c的关系易错易混.‎ 典例1 已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】C ‎∴cos∠F1PF2==.‎ 典例2 已知F为双曲线的左焦点,为上的点.若的长等于虚轴长的2倍,点在线段上,则的周长为 .‎ ‎【答案】44‎ ‎【解析】易知双曲线的左焦点为,‎ 点是双曲线的右焦点,虚轴长为,‎ 双曲线的图象如图:‎ ‎1.若双曲线=1的左焦点为F,点P是双曲线右支上的动点,A(1,4),则|PF|+|PA|的最小值是 . ‎ 考向二 求双曲线的方程 求解双曲线的标准方程时,先确定双曲线的类型,也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴,从而设出相应的标准方程的形式,然后利用待定系数法求出方程中的的值,最后写出双曲线的标准方程.‎ 在求双曲线的方程时,若不知道焦点的位置,则进行讨论,或可直接设双曲线的方程为 ‎.‎ 典例3 已知双曲线与双曲线的焦点重合,的方程为,若的一条渐近线的倾斜角是的一条渐近线的倾斜角的倍,则的方程为 .‎ ‎【答案】 ‎ 典例4 如图,已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.‎ ‎2.已知分别是双曲线E:的左、右焦点,P是双曲线上一点,到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍.‎ ‎(1)求双曲线的渐近线方程;‎ ‎(2)当时,的面积为,求此双曲线的方程.‎ 考向三 双曲线的渐近线 对于双曲线的渐近线,有下面两种考查方式:‎ ‎(1)已知双曲线的方程求其渐近线方程;‎ ‎(2)给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程,由渐近线方程可确定a,b的关系,结合已知条件可解.‎ 典例5 已知分别是双曲线的左、右焦点,的坐标为,若双曲线的右支上有一点,且满足,则该双曲线的渐近线方程为 A. B.‎ C. D.‎ ‎【答案】A 典例6 如图,已知F1、F2分别为双曲线C:的左、右焦点,P为第一象限内一点,且满足|F2P|=a,(+)·=0,线段F2P与双曲线C交于点Q,若|F2P|=5|F2Q|,则双曲线C的渐近线方程为 A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x ‎【答案】B ‎3.已知双曲线:,过左焦点的直线切圆于点,交双曲线的右支于点,若,则双曲线的渐近线方程为 A. B.‎ C. D.‎ 考向四 双曲线的离心率 ‎1.求双曲线的离心率一般有两种方法:‎ ‎(1)由条件寻找满足的等式或不等式,一般利用双曲线中的关系将双曲线的离心率公式变形,即,注意区分双曲线中的关系与椭圆中的关系,在椭圆中,而在双曲线中.‎ ‎(2)根据条件列含的齐次方程,利用双曲线的离心率公式转化为含或的方程,求解可得,注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.‎ ‎2.求解双曲线的离心率的范围,一般是根据条件,结合和,得到关于的不等式,求解即得.注意区分双曲线离心率的范围,椭圆离心率的范围.另外,在建立关于的不等式时,注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.‎ 典例7 设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点.若双曲线上存在点A,使∠F1AF2=90°,且|AF1|=3|AF2|,则双曲线的离心率等于 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由⇒,‎ 由∠F1AF2=90°,得,‎ 即(3a)2+a2=(2c)2,‎ 得e=,选B.‎ 典例8 已知F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,若双曲线左支上存在一点P,使得=8a,则双曲线的离心率的取值范围是      .‎ ‎【答案】(1,3] ‎ ‎4.已知点为双曲线右支上一点,点分别为双曲线的左、右焦点,点是的内心(三角形内切圆的圆心),若恒有成立,则双曲线离心率的取值范围是 A. B.‎ C. D.‎ ‎5.已知、分别是双曲线的左、右焦点,点在双曲线上,若,的面积为,且,则该双曲线的离心率为 .‎ ‎1.在平面直角坐标系中,F1(-2,0),F2(2,0),动点P满足 PF1|-|PF2 =3,则动点P的集合是 A.两条射线 B.以F1,F2为焦点的双曲线 C.以F1,F2为焦点的双曲线的一支 D.不存在 ‎2.方程表示双曲线的一个充分不必要条件是 A. B.‎ C. D.‎ ‎3.双曲线的渐近线方程为 A. B.‎ C. D.‎ ‎4.已知双曲线的右焦点在直线上,则实数的值为 A. B.‎ C. D.‎ ‎5.若双曲线的离心率为,则该双曲线的焦距为 A. B.‎ C. D.‎ ‎6.已知点分别为双曲线的左、右焦点,点P在双曲线C的右支上,且满足,则双曲线的离心率为 A. B.‎ C. D.‎ ‎7.设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为 A. B.‎ C. D.‎ ‎8.设、分别是双曲线C:的左、右焦点,点在双曲线C的右支上,且,则 A. B.‎ C. D.‎ ‎9.已知双曲线的左焦点为F,离心率为,若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 A. B.‎ C. D.‎ ‎10.已知方程和(其中ab≠0且a≠b),则它们所表示的曲线可能是 ‎11.设,是离心率为5的双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于 A. B.‎ C.24 D.48‎ ‎12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用,还提出了一元二次方程的解法问题.直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”.设、分别是双曲线,的左、右焦点,是该双曲线右支上的一点,若分别是的 ‎“勾”“股”,且,则双曲线的离心率为 A. B.‎ C. D.‎ ‎13.已知O是坐标原点,双曲线与椭圆的一个交点为P,点,则的面积为 A. B.‎ C. D.‎ ‎14.过点且和双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为 .‎ ‎15.设分别是双曲线的左、右焦点,为左顶点,点为双曲线右支上一点,,,,为坐标原点,则 .‎ ‎16.已知离心率的双曲线的右焦点为,为坐标原点,以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于两点.若的面积为1,则实数的值为 .‎ ‎17.已知点分别是双曲线的左,右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点,若是锐角三角形,则该双曲线的离心率的取值范围是 .‎ ‎18.已知是双曲线的右焦点,的右支上一点到一条渐近线的距离为2,在另一条渐近线上有一点满足,则 .‎ ‎19.若双曲线的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值为 .‎ ‎20.已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,且双曲线C的实轴长为6,离心率为.‎ ‎(1)求双曲线C的标准方程;‎ ‎(2)设点P是双曲线C上任意一点,且|PF1|=10,求|PF2|.‎ ‎21.已知双曲线的中心在坐标原点,焦点 ,在坐标轴上,离心率为,且过点.‎ ‎(1)求双曲线的标准方程;‎ ‎(2)若点在第一象限且是渐近线上的点,当时,求点的坐标.‎ ‎22.已知双曲线=,P是C上的任意一点.‎ ‎(1)求证:点P到C的两条渐近线的距离之积是一个常数;‎ ‎(2)设点A的坐标为,求的最小值.‎ ‎23.已知双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,离心率e=,且过点(4,).‎ ‎(1)求双曲线的方程.‎ ‎(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:.‎ ‎24.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆有相同的焦点.‎ ‎(1)求双曲线的标准方程.‎ ‎(2)若点M在双曲线上, 是双曲线的左、右焦点,且,试判断的形状.‎ ‎1.(2018浙江)双曲线的焦点坐标是 A.(−,0),(,0)‎ B.(−2,0),(2,0)‎ C.(0,−),(0,)‎ D.(0,−2),(0,2)‎ ‎2.(2017天津理 )已知双曲线的左焦点为,离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为 A. B.‎ C. D.‎ ‎3.(2018新课标全国Ⅱ理 )双曲线的离心率为,则其渐近线方程为 A. B.‎ C. D.‎ ‎4.(2017新课标全国II理 )若双曲线(,)的一条渐近线被圆所截得的弦长为2,则的离心率为 A.2 B.‎ C. D.‎ ‎5.(2017新课标全国III理 )已知双曲线C:(a>0,b>0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点,则C的方程为 A. B.‎ C. D.‎ ‎6.(2016新课标全国I理 )已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 A.(–1,3) B.(–1,)‎ C.(0,3) D.(0,)‎ ‎7.(2018新课标全国Ⅲ理 )设,是双曲线的左、右焦点,是坐标原点.过作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为 A. B.‎ C. D.‎ ‎8.(2016江苏)在平面直角坐标系xOy中,双曲线的焦距是 .‎ ‎9.(2017北京理 )若双曲线的离心率为,则实数m= .‎ ‎10.(2018江苏)在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是 .‎ ‎11.(2018北京理 )已知椭圆,双曲线.若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆的离心率为 ;双曲线的离心率为 .‎ ‎12.(2017山东理 )在平面直角坐标系中,双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点,若,则该双曲线的渐近线方程为 .‎ ‎13.(2017江苏)在平面直角坐标系中,双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点,,其焦点是,则四边形的面积是 .‎ ‎14.(2017新课标全国I理 )已知双曲线C:的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为 .‎ 变式拓展 ‎1.【答案】9‎ ‎2.【解析】(1)因为双曲线的渐近线方程为,所以点到渐近线的距离为(其中c是双曲线的半焦距), 学 ! ‎ 由题意知,‎ 又因为,解得,‎ 故所求双曲线的渐近线方程是.‎ ‎(2)由余弦定理得,‎ 即①.‎ 又由双曲线的定义得,‎ 两边平方得②, ‎ ‎①-②得.‎ 根据三角形的面积公式得,即.‎ 又,‎ 则,‎ 故所求双曲线的方程是.‎ ‎3.【答案】B ‎4.【答案】D ‎【解析】设的内切圆半径为,如图,‎ 由双曲线的定义得,‎ 则,,‎ 由题意得,‎ 故,‎ 则,‎ 又,‎ 所以双曲线离心率的取值范围是,故选D.‎ ‎5.【答案】 ‎ 考点冲关 ‎1.【答案】B ‎【解析】|F1F2|=4, PF1|-|PF2 =3<4,根据双曲线的定义可知,动点P的集合是以F1,F2为焦点的双曲线.‎ ‎2.【答案】A ‎【解析】方程表示双曲线的充要条件是,解得,‎ 根据四个选项可知,充分不必要条件是.选A.‎ ‎3.【答案】A ‎【解析】由双曲线的方程可得,则渐近线方程为.‎ ‎4.【答案】D ‎【解析】因为直线与轴的交点为,所以在双曲线中有,‎ 故,即,故选D.‎ ‎7.【答案】A ‎【解析】由双曲线的定义可知,,所以,‎ 由已知可得到直线的距离,构成直角三角形,所以,‎ 化简得,解得,‎ 所以,所以渐近线方程为 ‎8.【答案】B ‎【解析】由双曲线方程得,,‎ 则,即,‎ 则焦点为,,‎ 如图,∵点P在双曲线C的右支上,且,∴为直角三角形,‎ 则,‎ 故选B.‎ ‎9.【答案】D ‎∴双曲线的标准方程为.故选D. 学! ‎ ‎10.【答案】A ‎【解析】A中,满足a<0,b>0,满足a<0,b>0;‎ B中,满足a>0,b>0,满足a>0,b<0,矛盾;‎ C中,满足a<0,b>0,满足a>0,b>0,矛盾;‎ D中,满足a<0,b>0,满足a>0,b>0,矛盾.故选A.‎ ‎11.【答案】C ‎12.【答案】D ‎【解析】由双曲线的定义得,所以,即,‎ 由题意得,所以 ,‎ 又,所以,解得,‎ 从而离心率.故选D.‎ ‎13.【答案】D ‎【解析】由题意知两曲线有相同的焦点,设左、右两个焦点分别为,,‎ 设P在双曲线的右支上,根据双曲线的定义得到,‎ 根据椭圆的定义得到,‎ 联立两个式子得到,=,‎ 由椭圆与双曲线的标准方程得=,所以与重合,‎ 由余弦定理得,‎ 故,‎ 则的面积为,故答案为D.‎ ‎14.【答案】 ‎ ‎15.【答案】‎ ‎【解析】由题得 则双曲线的方程为,‎ 从而点P的坐标为(5,)或(5,),‎ 故或.‎ ‎16.【答案】‎ ‎【解析】双曲线的右焦点为,为坐标原点,以为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于,两点,所以,则,,‎ 由的面积为1,可得,‎ 又双曲线的离心率,则,‎ 即,解得,.‎ ‎17.【答案】‎ ‎18.【答案】4‎ ‎【解析】由题意得,渐近线方程为,‎ 因为点P到渐近线的距离恰好跟焦点到渐近线的距离相等,所以P 必在过右焦点与一条渐近线平行的直线上,不妨设P在直线上,‎ 联立方程,解得,‎ 联立方程,解得,‎ 所以,‎ 而,解得 ‎19.【答案】 ‎ ‎【解析】由双曲线的方程可知,,所以,‎ 又由,且,所以,‎ 因为,‎ 所以的最小值为.‎ ‎20.【解析】(1)由题易知,,,解得,,‎ 综上,|PF2|=16或4. ‎ ‎21.【解析】(1)∵双曲线的离心率为,∴双曲线是等轴双曲线,‎ ‎∴设双曲线的方程为,‎ 将点代入方程得:,‎ 则,‎ 故双曲线方程为.‎ ‎(2)∵等轴双曲线的渐近线方程为,‎ 点在第一象限且是渐近线上的点,‎ ‎∴设点的坐标为,‎ ‎∵等轴双曲线中 ,∴,‎ 不妨设,,‎ ‎∴,,‎ 又∵,所以,‎ ‎∴,‎ 解得(舍去负值),‎ ‎∴点的坐标为.‎ ‎22.【解析】(1)设P(x0,y0),P到双曲线的两条渐近线的距离记为d1、d2.‎ ‎23.【解析】(1)∵,∴,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∴可设双曲线方程为.‎ ‎∵双曲线过点(4,−),∴16−10=λ,即λ=6,‎ ‎∴双曲线方程为.‎ ‎(2)由(1)可知,在双曲线中a=b=,∴c=,‎ ‎∴(−,0),,0).‎ ‎∴,‎ 又∵点M(3,m)在双曲线上,∴=3,‎ ‎∴,‎ ‎∴. ‎ ‎24.【解析】(1)椭圆方程可化为,焦点在轴上,且 ‎ 直通高考 ‎,③等轴双曲线可设为.‎ ‎3.【答案】A ‎【解析】因为,所以,所以,因为渐近线方程为,所以渐近线方程为,故选A.‎ ‎4.【答案】A ‎【解析】由几何关系可得,双曲线的渐近线方程为,‎ 圆心到渐近线的距离为,‎ 则点到直线的距离为,即,‎ 整理可得,则双曲线的离心率.故选A.‎ ‎【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a,c,代入公式;②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=c2-a2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).‎ ‎5.【答案】B ‎【解析】双曲线C:(a>0,b>0)的渐近线方程为,‎ 在椭圆中:,,故双曲线C的焦点坐标为,‎ 据此可得双曲线中的方程组:,解得,‎ 则双曲线的方程为.故选B.‎ ‎【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为,再由条件求出λ的值即可. ‎ ‎6.【答案】A ‎【名师点睛】双曲线知识一般作为客观题出现,主要考查双曲线的几何性质,属于基础题.注意双曲线的焦距是2c而不是c,这一点易出错.‎ ‎7.【答案】C ‎【解析】由题可知,,,‎ 在中,,‎ 在中,,‎ ‎,即,‎ ‎,故选C.‎ ‎8.【答案】‎ ‎9.【答案】2‎ ‎【解析】,所以,解得.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质,属于基础题.解题时要注意、、的关系,即,以及当焦点在轴时,哪些量表示,否则很容易出现错误.最后根据离心率的公式计算即可.‎ ‎10.【答案】‎ ‎【解析】因为双曲线的焦点到渐近线,即的距离为,所以,因此,,.‎ ‎11.【答案】 ‎ ‎【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为,再根据椭圆定义得,所以椭圆的离心率为.双曲线的渐近线方程为,由题意得双曲线的一条渐近线的倾斜角为,所以,所以,所以.‎ ‎12.【答案】‎ ‎【解析】由抛物线定义可得:,‎ 因为,所以 渐近线方程为.‎ ‎【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中,渐近线是其独特的一种性质,也是考查的重点内容.对渐近线:(1)掌握方程;(2)掌握其倾斜角、斜率的求法;(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.‎ 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此,双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式,当,,时为椭圆,当时为双曲线.‎ ‎2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离,一般运用定义转化为到准线的距离处理.‎ ‎13.【答案】‎ ‎14.【答案】‎ ‎【解析】如图所示,作,‎ ‎【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质,所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点:①求解渐近线,直接把双曲线后面的1换成0即可;②双曲线的焦点到渐近线的距离是;③双曲线的顶点到渐近线的距离是. ‎
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