高二数学人教a必修5练习：2-3-1等差数列的前n项和word版含解析

高二数学人教a必修5练习：2-3-1等差数列的前n项和word版含解析

课时训练 9 等差数列的前 n项和 一、等差数列前 n项和公式及应用 1.在等差数列{an}中,d=2,an=11,Sn=35,则 a1为( ) A.5或 7 B.3或 5 C.7或-1 D.3或-1 答案:D 解析:a1+(n-1)×2=11 ①,Sn=na1+ (-1) 2 ×2=35 ②,由①②解得 a1=3或 a1=-1. 经检验,a1=3与 a1=-1均符合题意,故选 D. 2.已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn,若 a4=18-a5,则 S8等于( ) A.18 B.36 C.54 D.72 答案:D 解析:∵a4=18-a5,∴a4+a5=18. ∴S8= 8(1+8) 2 =4(a1+a8)=4(a4+a5)=72. 3.(2015河北邯郸三校联考,2)等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20项和等于 ( ) A.160 B.180 C.200 D.220 答案:B 解析:∵a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78, ∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20). ∴a1+a20=18.∴S20= 20(1+20) 2 =180.故选 B. 4.设 Sn为公差不为零的等差数列{an}的前 n项和.若 S9=3a8,则 15 35 =( ) A.15 B.17 C.19 D.21 答案:A 解析:由 S9=3a8,得 9(1+9) 2 3 2(a1+a15),即 9a5= 15 5 ,所以 15 35 =15. 5.有一个凸 n边形,各内角的度数成等差数列,公差是 10°,最小角为 100°,则边数 n= . 答案:8 解析:n×100°+(-1)2 ×10°=(n-2)×180°,解得 n=8或 n=9.又 an=100°+(n-1)×10°<180°,∴n=8. 6.已知等差数列{an}的前三项为 a-1,4,2a,记前 n项和为 Sn.设 Sk=2 550,求 a和 k的值. 解:设{an}的公差为 d,由已知得,a1=a-1,a2=4,a3=2a. 又 2a2=a1+a3,∴8=(a-1)+2a,∴a=3, ∴a1=2,d=a2-a1=2. 由 Sk=ka1+ (-1) 2 d,得 2k+(-1)2 ×2=2 550, 即 k2+k-2 550=0,解得 k=50或 k=-51(舍去),∴a=3,k=50. 二、由 Sn求解数列的通项公式 7.设数列{an}的前 n项和 Sn=n2+1,则数列{an}的通项公式为 . 答案:an= 2, 1, 2-1, ≥ 2 解析:当 n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+1-(n-1)2-1=2n-1. 当 n=1时,a1=S1=1+1=2不适合上式. ∴数列{an}的通项公式为 an= 2, 1, 2-1, ≥ 2. 8.已知数列{an}的前 n项和为 Sn=3n-2,求数列{an}的通项公式. 解:当 n=1时,a1=S1=31-2=1; 当 n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1,而 2×31-1=2≠1. 故数列{an}的通项公式为 an= 1, 1, 2 × 3-1, ≥ 2. 9.已知数列{an}的前 n项和为 Sn,且满足 a1=1,an+2SnSn-1=0(n≥2). (1)求证:数列 1 是等差数列; (2)求{an}的通项公式. (1)证明:∵n≥2时,an=Sn-Sn-1, 又 an+2SnSn-1=0,∴Sn-Sn-1+2SnSn-1=0. ∵Sn≠0,两边同除以 SnSn-1,得 1 -1 1 +2=0,即 1 1 -1 =2(n≥2), ∴数列 1 是等差数列. (2)解:∵a1=1, 1 1 1 1 =1, ∴ 1 =1+(n-1)×2=2n-1,∴Sn= 1 2-1. 当 n≥2时,an=Sn-Sn-1= 1 2-1 1 2(-1)-1 =- 2 (2-1)(2-3). 而- 2 (2×1-1)(2×1-3)=2≠1,故{an}的通项公式 an= 1, 1, - 2 (2-1)(2-3) , ≥ 2. (建议用时:30分钟) 1.在等差数列{an}中,若 a1-a4+a8-a12+a15=2,则 S15等于( ) A.28 B.30 C.31 D.32 答案:B 解析:∵a1-a4+a8-a12+a15 =(a1+a15)-(a4+a12)+a8=a8=2. ∴S15= 15(1+15) 2 15×28 2 =30. 2.在等差数列{an}中,公差 d≠0,首项 a1≠d.如果这个数列的前 20项的和 S20=10M,则 M应是( ) A.a5+a15 B.a2+2a10 C.2a1+19d D.a20+d 答案:C 解析:∵S20=20a1+ 20×19 2 d=10(2a1+19d)=10M, ∴M=2a1+19d. 3.已知数列{an}为等差数列,其前 n项的和为 Sn,若 a3=6,S3=12,则公差 d=( ) A.1 B.2 C.3 D.53 答案:B 解析:在等差数列中,S3= 3(1+3) 2 3(1+6) 2 =12,解得 a1=2,所以解得 d=2,选 B. 4.将含有 k项的等差数列插入 4和 67之间,结果仍成一新的等差数列,并且新的等差数列所有项的和 是 781,则 k的值为( ) A.20 B.21 C.22 D.24 答案:A 解析:由数列前 n项和公式可得 (+2)(4+67) 2 =781,解得 k=20. 5.(2015江西吉安联考,5)在等差数列{an}中,a9= 1 2a12+6,则数列{an}的前 11项和 S11等于( ) A.24 B.48 C.66 D.132 答案:D 解析:∵数列{an}为等差数列,设其公差为 d, ∵a9= 1 2a12+6, ∴a1+8d= 1 2(a1+11d)+6, ∴a1+5d=12,即 a6=12. ∴数列{an}的前 11项和 S11=a1+a2+…+a11 =(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6 =11a6=132.故选 D. 6.已知{an}为等差数列,Sn为其前 n项和,若 a1= 1 2,S2=a3,则 a2= ,Sn= . 答案:1 1 4n 2+14n 7.若一个等差数列前 3项和为 34,最后 3项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个数列有 项. 答案:13 解析:∵ 1 + 2 + 3 34, + -1 + -2 146, ∴3(a1+an)=180,a1+an=60,Sn= (1+) 2 =390.∴n=13. 8.设公差不为 0的等差数列{an}的前 n项和为 Sn,若 a5=5a3,则 9 5 = . 答案:9 解析:95 9(1+9) 2 5(1+5) 2 95 53 ,又∵a5=5a3,∴ 9 5 =9. 9.已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,a3+a5=38. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n-2. 解:(1)设数列{an}的公差为 d, 则由已知得 1 25, 21 + 6 38,解得 d=-2. ∴通项公式 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2, 由已知 a3n-2=-6n+31. ∴数列{a3n-2}是首项为 25,公差为-6的等差数列. ∴Sn= (1+3-2) 2 =-3n2+28n. 10.一个水池有若干出水量相同的水龙头,如果所有水龙头同时放水,那么 24 min可注满水池.如果开 始时全部放开,以后每隔相等的时间关闭一个水龙头,到最后一个水龙头关闭时,恰好注满水池,而且 最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的 5倍,问最后关闭的这个水龙头放水多 长时间? 解:设共有 n个水龙头,每个水龙头放水时间从小到大依次为 x1,x2,…,xn. 由已知可知 x2-x1=x3-x2=…=xn-xn-1, ∴数列{xn}成等差数列, 每个水龙头 1 min放水 1 24(这里不妨设水池的容积为 1), ∴ 1 24·(x1+x2+…+xn)=1,即 Sn=24n. ∴ (1+) 2 =24n.∴x1+xn=48. 又∵xn=5x1,∴6x1=48. ∴x1=8(min),xn=40(min). 故最后关闭的水龙头放水 40 min.