高中数学人教a版选修1-1学业分层测评18函数的最大（小）值与导数word版含解析

高中数学人教a版选修1-1学业分层测评18函数的最大（小）值与导数word版含解析

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．下列是函数 f(x)在[a，b]上的图象，则 f(x)在(a，b)上无最大值 的是( ) 【解析】 在开区间(a，b)上，只有 D 选项中的函数 f(x)无最大 值． 【答案】 D 2．函数 f(x)＝2 x＋1 x ，x∈(0,5]的最小值为( ) A．2 B．3 C.17 4 D．2 2＋1 2 【解析】 由 f′(x)＝ 1 x －1 x2＝x3 2 －1 x2 ＝0，得 x＝1， 且 x∈(0,1]时，f′(x)<0；x∈(1,5]时，f′(x)>0， ∴x＝1 时，f(x)最小，最小值为 f(1)＝3. 【答案】 B 3．函数 f(x)＝x3－3x2＋2 在区间[－1,1]上的最大值为 M，最小值 为 m，则 M－m 的值为( ) A．2 B．－4 C．4 D．－2 【解析】 f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)， 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝2. 因为 f(0)＝2，f(－1)＝－2，f(1)＝0， 所以 M＝2，m＝－2. 所以 M－m＝4. 【答案】 C 4．函数 f(x)＝x3－3ax－a 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围为 ( ) A．0≤a＜1 B．0＜a＜1 C．－1＜a＜1 D．0＜a＜1 2 【解析】 ∵f′(x)＝3x2－3a，令 f′(x)＝0 得 x2＝a. ∴x＝± a. 又∵f(x)在(0,1)内有最小值， ∴0＜ a＜1，∴0＜a＜1.故选 B. 【答案】 B 5．已知函数 f(x)＝ax3＋c，且 f′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值 为 20，则 c 的值为( ) A．1 B．4 C．－1 D．0 【解析】 ∵f′(x)＝3ax2， ∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2. 当 x∈[1,2]时，f′(x)＝6x2＞0，即 f(x)在[1,2]上是增函数， ∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20， ∴c＝4. 【答案】 B 二、填空题 6．函数 f(x)＝3x＋sin x 在 x∈[0，π]上的最小值为________． 【解析】 f′(x)＝3xln 3＋cos x. ∵x∈[0，π]时，3xln 3＞1，－1≤cos x≤1， ∴f′(x)＞0. ∴f(x)递增，∴f(x)min＝f(0)＝1. 【答案】 1 7．已知函数 f(x)＝x3－3 2ax2＋b(a，b 为实数，且 a＞1)在区间[－ 1,1]上的最大值为 1，最小值为－1，则 a＝________，b＝________. 【解析】 ∵f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a)， 令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝a. ∵a＞1， ∴当 x 变化时，f′(x)与 f(x)的变化情况如下表： x －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 f′(x) ＋ 0 － f(x) －1－3 2a ＋b 极大 值 b 1－3 2a ＋b 由题意得 b＝1. f(－1)＝－3a 2 ，f(1)＝2－3a 2 ， f(－1)＜f(1)， ∴－3a 2 ＝－1，∴a＝2 3. 【答案】 2 3 1 8．设函数 f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对任意的 x∈(0,1]都有 f(x)≥0 成立，则实数 a 的取值范围为________. 【导学号：26160094】 【解析】 ∵x∈(0,1]， ∴f(x)≥0 可化为 a≥3 x2－1 x3. 设 g(x)＝3 x2－1 x3，则 g′(x)＝31－2x x4 . 令 g′(x)＝0，得 x＝1 2. 当 00； 当1 20， 得 a>－1 9.所以，当 a>－1 9 时，f(x)在 2 3 ，＋∞ 上存在单调递增区间． (2)令 f′(x)＝0，得两根 x1＝1－ 1＋8a 2 ， x2＝1＋ 1＋8a 2 . 所以 f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调 递增． 当 00，故|MN|min＝1 3 1－ln1 3 ＝1 3(1 ＋ln 3)． 【答案】 A 3．已知函数 f(x)＝2ln x＋a x2(a>0)，若当 x∈(0，＋∞)时，f(x)≥2 恒成立，则实数 a 的取值范围是________. 【导学号：26160095】 【解析】 由 f(x)≥2，得 a≥2x2－2x2ln x. 设 g(x)＝2x2－2x2ln x， 则 g′(x)＝2x(1－2ln x)， 令 g′(x)＝0，得 x＝e 1 2 或 x＝0(舍去)， 因为当 00；当 x>e 1 2 时，g′(x)<0. 所以当 x＝e 1 2 时，g(x)取得最大值 g(e 1 2 )＝e，故 a≥e. 【答案】 a≥e 4．设2 3 ＜a＜1，函数 f(x)＝x3－3 2ax2＋b(－1≤x≤1)的最大值为 1， 最小值为－ 6 2 ，求常数 a，b 的值． 【解】 令 f′(x)＝3x2－3ax＝0，得 x1＝0，x2＝a. 由题意可知当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x －1 (－1,0) 0 (0，a) a (a,1) 1 f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) －1－ 3 2a＋b b －a3 2 ＋b 1－3 2a ＋b 从上表可知，当 x＝0 时，f(x)取得极大值 b， 而 f(0)＞f(a)，f(1)＞f(－1)，故需比较 f(0)与 f(1)的大小． 因为 f(0)－f(1)＝3 2a－1＞0， 所以 f(x)的最大值为 f(0)＝b，所以 b＝1， 又 f(－1)－f(a)＝1 2(a＋1)2(a－2)＜0， 所以 f(x)的最小值为 f(－1)＝－1－3 2a＋b＝－3 2a， 所以－3 2a＝－ 6 2 ，所以 a＝ 6 3 . 综上，a＝ 6 3 ，b＝1.