【数学】2020届一轮复习人教B版圆锥曲线的综合问题课时作业

【数学】2020届一轮复习人教B版圆锥曲线的综合问题课时作业

圆锥曲线的综合问题 ‎1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，左、右焦点分别为F1，F2，且F2与抛物线y2＝4x的焦点重合．‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)若过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交椭圆于A，C两点，且AC⊥BD，求|AC|＋|BD|的最小值．‎ 解　(1)抛物线y2＝4x的焦点坐标为(1,0)，所以c＝1，‎ 又因为e＝＝＝，所以a＝，‎ 所以b2＝2，‎ 所以椭圆的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2)①当直线BD的斜率k存在且k≠0时，‎ 直线BD的方程为y＝k(x＋1)，‎ 代入椭圆方程＋＝1，‎ 并化简得(3k2＋2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.‎ Δ＝36k4－4(3k2＋2)(3k2－6)＝48(k2＋1)>0恒成立．‎ 设B(x1，y1)，D(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－，x1x2＝，‎ ‎|BD|＝·|x1－x2|‎ ‎＝ ‎＝.‎ 由题意知AC的斜率为－，‎ 所以|AC|＝＝.‎ ‎|AC|＋|BD|＝4 ‎＝≥ ‎＝＝.‎ 当且仅当3k2＋2＝2k2＋3，即k＝±1时，上式取等号，‎ 故|AC|＋|BD|的最小值为.‎ ‎②当直线BD的斜率不存在或等于零时，‎ 可得|AC|＋|BD|＝>.‎ 综上，|AC|＋|BD|的最小值为. ‎ ‎5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点为点D，右焦点为F2(1,0)，延长DF2交椭圆C于点E，且满足|DF2|＝3|F2E|.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A，B两点，设椭圆C的左顶点为点H，且直线HA，HB分别与直线x＝3交于M，N两点，记直线F2M，F2N的斜率分别为k1，k2，则k1与k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．‎ 解　(1)椭圆C的上顶点为D(0，b)，右焦点F2(1,0)，点E的坐标为(x，y)．‎ ‎∵|DF2|＝3|F2E|，可得＝3，‎ 又＝(1，－b)，＝(x－1，y)，‎ ‎∴代入＋＝1，‎ 可得＋＝1，‎ 又a2－b2＝1，解得a2＝2，b2＝1，‎ 即椭圆C的标准方程为＋y2＝1.‎ ‎∴yM＝.‎ 同理可得yN＝，‎ ‎∴M，N的坐标分别为，，‎ ‎∴k1k2＝·＝yMyN ‎＝·· ‎＝ ‎＝ ‎＝＝＝.‎ ‎∴k1与k2之积为定值，且该定值是.‎ ‎6．已知平面上动点P到点F的距离与到直线x＝的距离之比为，记动点P的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程；‎ ‎(2)设M(m，n)是曲线E上的动点，直线l的方程为mx＋ny＝1.‎ ‎①设直线l与圆x2＋y2＝1交于不同两点C，D，求|CD|的取值范围；‎ ‎②求与动直线l恒相切的定椭圆E′的方程，并探究：若M(m，n)是曲线Γ：Ax2＋By2＝1(A·B≠0)上的动点，是否存在与直线l：mx＋ny＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由．‎ 解　(1)设P(x，y)，由题意，得＝.‎ 整理，得＋y2＝1，‎ ‎∴曲线E的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)①圆心到直线l的距离d＝，‎ ‎∵直线与圆有两个不同交点C，D，‎ ‎∴|CD|2＝4.‎ 又∵＋n2＝1(m≠0)，‎ ‎∴|CD|2＝4.‎ ‎∵|m|≤2，∴0

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