安徽省桐城市第八中学2019-2020学年高二下学期周测一数学（理）试题

安徽省桐城市第八中学2019-2020学年高二下学期周测一数学（理）试题

数学周考一 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 若为虚数单位，则z的虚部是 A. 1 B. C. i D. ‎ 2. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于    ‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知复数，则      ‎ A. B. C. D. ‎ 4. 观察下列各式：，，，，，，则 A. 28 B. 76 C. 123 D. 199‎ 5. 用反证法证明命题“若，则方程至少有一个实根”时，应假设 A. 方程没有实根 B. 方程至多有一个实根 C. 方程至多有两个实根 D. 方程恰好有两个实根 6. 已知函数的图象与x轴相切于点，则函数的      ‎ A. 极大值为，极小值为0 B. 极大值为0，极小值为 C. 极大值为0，极小值为 D. 极大值为，极小值为0‎ 7. 已知函数在处有极值，则该函数的一个单调递增区间是      ‎ A. B. C. D. ‎ 8. 设函数，则          ‎ A. 在区间，内均有零点． ‎ B. 在区间，内均无零点． C. 在区间内有零点，在区间内无零点． D. 在区间内无零点，在区间内有零点．‎ 1. 用数学归纳法证明“”时，由“当不等式成立”推证时，左边应增加的项数是      ‎ A. B. C. D. ‎ 2. 若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 3. 平面上有条直线，其中任意两条直线都不平行，任意三条直线都不共点．设k条这样的直线把平面分成个区域，则条直线把平面分成的区域数与的差为 A. ． B. k. C. ． D. 2k．‎ 4. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 5. 计算         ．‎ 6. 曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为____．‎ 7. 函数的图象在点处的切线斜率为________．‎ 8. 已知函数有零点，则实数a的取值范围是_____________．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 9. 已知函数在处有极值．‎ 求a，b的值；‎ 判断函数的单调区间，并求极值． ‎ 1. 已知函数． 求函数的单调递增区间； 证明：当时，． ‎ 2. 如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，，． Ⅰ求证：； Ⅱ若，求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ 1. 如图，已知直三棱柱中，，E是棱上的动点，F是AB的中点，，． 当E是棱的中点时，求证：平面； 在棱上是否存在点E，使得二面角的大小是？若存在，求出CE的长，若不存在，请说明理由． ‎ ‎ ‎ 2. 已知，． 求函数的最小值； 若存在，使成立，求实数a的取值范围． ‎ 1. 已知函数 Ⅰ讨论函数的单调性；‎ Ⅱ若函数在处的切线斜率为，不等式对任意恒成立，求实数b的取值范围；‎ Ⅲ证明：对于任意，有． ‎ ‎数学周考一 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. A 2. B 3. D 4. C 5. A 6. A 7. B 8. D 9. C 10. B 11. A 12. A ‎ ‎13. e  ‎ ‎14.   ‎ ‎15. 0  ‎ ‎16.   ‎ ‎17. 解：函数， ， 在处有极值， 故， ‎ 可得，；‎ 由得，其定义域为，‎ 且， 当x变化时，，的变化情况如下表： 函数的单调减区间是，单调增区间是，且函数在定义域上只有极小值，而无极大值．‎ ‎  ‎ ‎18. 解：，‎ ‎． 由得，解得． 故的单调递增区间是． 证明：令，． 则有当时，， 所以在上单调递减， 故当时，， 即当时，．  ‎ ‎19. 【解答】 解：Ⅰ证明：连，， 则和皆为正三角形． 取中点O，连OA，， 则，，， 所以平面，又因为， 所以． Ⅱ解：由Ⅰ知，，又，所以． 如图所示，分别以，，OA为正方向建立空间直角坐标系， 则，0，，0，，， 设平面的法向量为，因为0，，， 所以取得． 设平面的法向量为，因为0，，2，‎ ‎， 所以取得0，． 则，因为二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为．  ‎ ‎20. 解：取中点M，连接EM、FM 中，F、M分别是AB、的中点， 且， 又矩形中，且， 且，可得四边形MFCE是平行四边形， 平面，平面， 平面 以CA、CB、为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系， 可得0，，2，，设，得0， 0，，2， 设平面的法向量为y， 则有，取，可得 平面的法向量为0，， 当二面角的大小是时，有 ，，解之得． 因此，在棱上存在点E，当时，二面角的大小是．  ‎ ‎21. 解：函数的定义域为，，令，解得， 当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增， 故当时，函数取得极小值即最小值为． 存在，使成立， 即存在能成立存在能成立， 令，则． 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增． 当时，取得最小值4． 因此，  ‎ ‎22. 解：Ⅰ函数的定义域为， ， 当时，，从而， 故函数在上单调递减； 当时，若，则，从而， 若，则，从而， 故函数在上单调递减，在上单调递增；   ‎ Ⅱ求导数：， ，解得                             所以，即， 由于，即． 令，则 ‎， 当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增，          故， 所以实数b的取值范围为．‎ Ⅲ证明：由当，时，，为增函数， ，，即， 当时，， ， ，   ‎ ‎  ‎