上海市黄浦区2020届高三一模考试（期末考试）数学试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 黄浦区2019学年度第一学期高三年级期终调研测试 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1-6题每题满分54分，第7-12题每题满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 ‎1.设集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝_____.‎ ‎【答案】（﹣1，3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合，再求解A∪B.‎ ‎【详解】因为，所以，即；‎ 所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的并集运算，化简集合结合并集的定义可求.‎ ‎2.已知z＝（a﹣i）（1+i）（a∈R，i为虚数单位）为纯虚数，则a＝_____.‎ ‎【答案】﹣1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对复数化简，结合纯虚数的定义可求.‎ ‎【详解】,‎ 因为为纯虚数，所以 且，解得.‎ 故答案：.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算及纯虚数的概念，明确纯虚数的定义是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎3.抛物线的焦点到准线的距离是______________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 试题分析：抛物线的焦点是,准线方程是,所以焦点到准线的距离是4.‎ - 18 -‎ 考点：抛物线性质.‎ ‎4.在（的展开式中，x的系数是 ．（用数字作答）‎ ‎【答案】-56‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（展开式的通项为，令 ‎，则，，所以x的系数是．‎ 考点：二项式定理 点评：涉及到展开式中的问题，常用到二项式定理得通项：．‎ ‎5.已知为第二象限的角,,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角的三角函数关系式中的平方和关系,结合为第二象限的角,可以求出的值,再利用同角的三角函数关系式中的商关系可以求出的值,最后利用二倍角的正切公式可以求出的值.‎ ‎【详解】因为为第二象限的角,所以,于是有 ‎,因此.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了同角的三角函数关系式,考查了二倍角的正切公式,考查了数学运算能力.‎ ‎6.母线长为3、底面半径为1的圆锥的侧面展开图的圆心角的弧度数为_____.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆锥的母线和半径可得展开图的弧长与半径，从而可得圆心角的弧度数.‎ - 18 -‎ ‎【详解】因为圆锥的母线长为3、底面半径为1，所以圆锥的侧面展开图中半径为3，弧长为，‎ 所以圆心角的弧度数为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图，明确展开图中的量与圆锥的关系是求解的关键.侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎7.若无穷等比数列{an}满足：a2a3＝a4，a5，（n∈N*），则数列{a2n﹣1}的所有项的和为_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求解等比数列的通项公式，然后再求和.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，则；‎ 解得，所以；‎ ‎，‎ 所以的所有项的和为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列所有项的求和问题，明确无穷等比数列的求和方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎8.四名男生和两名女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是_____.（结果用数字作答）‎ ‎【答案】144.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先选出相邻的男生，然后再进行插空安排.‎ - 18 -‎ ‎【详解】先选出两位男生组成一个整体有种排法；再排好两个女生有种排法，女生排好共有三个空位，再把男生排进去共有种排法；‎ 所以不同排法的种数一共有.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列问题的求解，不相邻问题一般是采用插空法求解，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎9.已知A、B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的两条渐近线的夹角为_____.‎ ‎【答案】90°.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据△ABM为等腰三角形且顶角为120°，可得点M的坐标，代入双曲线的方程可得渐近线的斜率，从而可得渐近线的夹角.‎ ‎【详解】因为△ABM为等腰三角形且顶角为120°，‎ 不妨设M为第一象限的点,‎ 则；‎ 把代入双曲线的方程可得；‎ 所以渐近线的倾斜角为，两条渐近线的夹角为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的方程及性质，明确点的坐标是求解的关键，侧重考查函数与方程的思想.‎ ‎10.已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，若f（x）＝x+log2（2x+2），则满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是_____.‎ ‎【答案】（0，log215）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，然后求解不等式，可以转化求解.‎ - 18 -‎ ‎【详解】因为，‎ 所以由得，解得，即；‎ 易知函数为增函数，‎ 因为，所以可得；‎ 综上可得x的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数与反函数间的关系，互为反函数的两个函数图象关于直线对称，侧重考查转化化归的数学思想.‎ ‎11.设函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）•f（x2）＝1，则称函数f（x）具有性质M.下列结论：①函数y＝x3﹣x具有性质M；②函数y＝3x+5x具有性质M；③若函数y＝log8（x+2），x∈[0，t]时具有性质M，则t＝510；④若y具有性质M，则a＝5.其中正确结论的序号是_____.‎ ‎【答案】②③.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①，当时，不存在满足；‎ 对于②，由于，所以具有性质；‎ 对于③，由于时，，所以时必有，所以；‎ 对于④，由于，所以可得.‎ ‎【详解】对于①，当时，不存在满足，故①不正确；‎ 对于②，由于，所以，所以具有性质，故②正确；‎ 对于③，由于为增函数，且时，，所以时必有，所以，故③正确；‎ 对于④，由于，若y具有性质M，所以可得，故④不正确.‎ 故答案：②③.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题主要考查对函数新定义的性质理解，深刻理解定义的本质是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎12.已知正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2，点P是该正六边形边上的动点，记σ••••••，则σ的取值范围是_____.‎ ‎【答案】[30，36].‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】建立直角坐标系，如图所示：，‎ ‎∴，‎ 设点P（x，y），‎ ‎∴，，‎ ‎∴σ••••••‎ ‎ ‎ ‎＝6[（x﹣1）2+（y）2+2]，‎ ‎∵正六边形的中心Q（1，），所以S＝（x﹣1）2+（y）2表示点P（x，y）与点Q（1，）之间距离的平方，‎ ‎∴由图可知S的最大值为4，最小值为3，‎ ‎∴σ的最大值为36，最小值为30，‎ ‎∴σ的取值范围是[30，36].‎ 故答案为：[30，36].‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，向量运算优先使用坐标运算，建立合适的坐标系能简化运算过程，侧重考查数学运算的核心素养.‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分.）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎13.方程5的解集是（ ）‎ A. {2} B. {2，﹣2} C. {1，﹣1} D. {i，﹣i}‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二阶行列式的运算规则进行求解.‎ ‎【详解】，解得.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查行列式的计算，明确行列式的运算规则是求解的关键.‎ ‎14.将函数y＝sin（4x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数图象的一条对称轴的方程为（ ）‎ A. x B. x C. x D. x ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出变换后的解析式，再根据解析式求解函数的对称轴.‎ - 18 -‎ ‎【详解】将函数y＝sin（4x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位，得到的函数为，‎ 令，，解得，‎ 由可得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换及性质，注意的系数对结果的影响，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎15.若函数f（x）的定义域为R，则“f（x）是偶函数”是“f（|x|）＝f（x）对切x∈R恒成立”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用偶函数的定义式及充要条件的定义进行判定.‎ ‎【详解】若是偶函数，则，从而可得；‎ 若，则，即是偶函数.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查充要条件的判定，明确条件间的推出关系是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.‎ ‎16.设曲线E的方程为1，动点A（m，n），B（﹣m，n），C（﹣m，﹣n），D（m，﹣n）在E上，对于结论：①四边形ABCD的面积的最小值为48；②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（ ）‎ A. ①错，②对 B. ①对，②错 C. ①②都错 D. ①②都对 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ 根据点的对称性可知四边形ABCD是矩形，结合矩形的面积公式和外接圆的面积公式可求.‎ ‎【详解】因为动点A（m，n），B（﹣m，n），C（﹣m，﹣n），D（m，﹣n），所以四边形ABCD是矩形；‎ 不妨设，则矩形ABCD的面积为，‎ 因为，所以，即，当且仅当时等号成立；‎ 所以矩形ABCD的面积最小值为48.‎ 四边形ABCD外接圆的直径为，‎ 所以四边形ABCD外接圆的面积为，‎ 因为，所以，当且仅当时等号成立；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查曲线的方程及基本不等式求解最值，明确所求目标的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17.在三棱锥P﹣ABC中，已知PA，PB，PC两两垂直，PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC的体积为10.‎ ‎（1）求点A到直线BC的距离；‎ ‎（2）若D是棱BC的中点，求异面直线PB，AD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.‎ - 18 -‎ ‎【答案】（1）（2）arccos ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据已知的体积和棱长求出，结合直角三角形的知识可求点A到直线BC的距离；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用向量夹角公式可求.‎ ‎【详解】（1）在三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，‎ ‎∵PB＝3，PC＝4，且三棱锥P﹣ABC的体积为10.‎ ‎∴VP﹣ABC＝VA﹣PBC10，解得PA＝5，‎ 过P作PO⊥BC，交BC于O，连结PO，如图，‎ 由三垂线定理得AO⊥BC，‎ ‎∵，∴PO，‎ ‎∴点A到直线BC的距离：‎ AO.‎ ‎（2）以P为原点，PC，PB，PA所在直线分别为x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（0，0，5），P（0，0，0），B（0，3，0），C（4，0，0），D（2，，0），‎ ‎（0，3，0），（2，，﹣5），‎ 设异面直线PB，AD所成角的大小为θ，‎ - 18 -‎ 则cosθ.‎ ‎∴异面直线PB，AD所成角的大小为arccos.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间中点到直线的距离和异面直线所成角，空间中的角一般是利用向量来求解，建立适当的坐标系是求解的前提，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.‎ ‎18.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且acosC＝（2b﹣c）cosA.‎ ‎（1）若3，求△ABC的面积；‎ ‎（2）若∠B＜∠C，求2cos2B+cos2C的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（，）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理可求角A，结合数量积3，可求△ABC的面积；‎ ‎（2）结合角之间的关系，把2cos2B+cos2C化简为，然后结合角的范围可求.‎ ‎【详解】（1）∵acosC＝（2b﹣c）cosA，‎ ‎∴由正弦定理可得sinAcosC＝（2sinB﹣sinC）cosA，可得sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosA，‎ - 18 -‎ ‎∵B为三角形内角，sinB≠0，‎ ‎∴cosA，‎ 又∵A∈（0，π），‎ ‎∴A，‎ ‎∵bccosAbc＝3，可得bc＝6，‎ ‎∴S△ABCbcsinA.‎ ‎（2）∵∠B＜∠C，CB，可得B∈（0，），‎ ‎∴2B∈（，），‎ ‎∴cos（2B）∈（，），‎ ‎∴2cos2B+cos2C＝1+cos2Bcos2Bcos2（B）cos2Bcos2Bsin2Bcos（2B）∈（，）.‎ ‎∴2cos2B+cos2C的取值范围（，）.‎ ‎【点睛】本题主要考查求解三角形及范围问题，求解三角形时边角的转化是求解的关键，范围问题一般是把目标式化简为标准型进行求解，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎19.某研究所开发了一种新药，测得成人注射该药后血药浓度y（微克/毫升）与给药时间x（小时）之间的若干组数据，并由此得出y与x之间的一个拟合函数y＝40（0.6x﹣0.62x）（x∈[0，12]），其简图如图所示.试根据此拟合函数解决下列问题：‎ - 18 -‎ ‎（1）求药峰浓度与药峰时间（精确到0.01小时），并指出血药浓度随时间的变化趋势；‎ ‎（2）求血药浓度的半衰期（血药浓度从药峰浓度降到其一半所需要的时间）（精确到0.01小时）.‎ ‎【答案】（1）药峰浓度为10，药峰时间为1.36小时；注射该药后血药浓度逐渐增加，到1.36小时时达到峰值，然后血药浓度逐渐降低；（2）2.36小时.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据拟合函数利用换元法可求最值，结合单调性可得血药浓度随时间的变化趋势；‎ ‎（2）根据半衰期的含义解方程可求.‎ ‎【详解】（1）由y＝40（0.6x﹣0.62x）（x∈[0，12]），‎ 令0.6x＝t，t∈[0.612，1]，‎ 则y＝40（0.6x﹣0.62x）＝40（﹣t2+t），‎ ‎∴当t∈[0.612，1]，即，x1.36时，‎ y有最大值10.‎ 故药峰浓度为10，药峰时间为1.36小时；‎ 由图象可知，注射该药后血药浓度逐渐增加，到1.36小时时达到峰值，然后血药浓度逐渐降低；‎ ‎（2）在y＝40（0.6x﹣0.62x）中，取y＝5，得40（0.6x﹣0.62x）＝5，‎ 即﹣8t2+8t﹣1＝0，解得t或t（舍），‎ 即0.147，得x3.72.‎ 故血药浓度的半衰期为3.72﹣1.36＝2.36小时.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的应用，准确理解题意明确题目中的数学模型是求解这类问题的关键，侧重考查数学建模的核心素养.‎ ‎20.已知椭圆C的中心在坐标原点焦点在x轴上，椭圆C上一点A（2，﹣1）到两焦点距离之和为8.若点B是椭圆C的上顶点，点P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ - 18 -‎ ‎（2）若BP⊥BQ，且满足32的点D在y轴上，求直线BP的方程；‎ ‎（3）若直线BP与BQ的斜率乘积为常数λ（λ＜0），试判断直线PQ是否经过定点.若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）y＝±x+2（3）经过定点；定点（0，）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆的定义和待定系数法可求椭圆的方程；‎ ‎（2）利用BP⊥BQ， 32可得直线的斜率，从而可求直线BP的方程；‎ ‎（3）先表示直线PQ的方程，结合直线BP与BQ的斜率乘积为常数，建立等量关系进行判定.‎ ‎【详解】（1）由题意设椭圆的方程为：1‎ 由题意知：2a＝8，1，解得：a2＝16，b2＝4，‎ 所以椭圆的方程为：.‎ ‎（2）由（1）得B（0，2）显然直线BP的斜率存在且不为零，‎ 设直线BP为：y＝kx+2，与椭圆联立整理得：（1+4k2）x2+16kx＝0，x，所以P（，）；‎ 直线BQ：yx+2，代入椭圆中：（4+k2）x2﹣16kx＝0，‎ 同理可得Q（，），由32得，‎ ‎∴3（xD﹣xP）＝2（xQ﹣xD），∴5xD＝2xQ+3xP，‎ 由于D在y轴上，所以xD＝0，∴，解得：k2＝2，所以k，‎ 所以直线BP的方程为：y＝±x+2.‎ ‎（3）当直线PQ的斜率不存在时，‎ 设直线PQ方程：x＝t，P（x，y），Q（x'，y'），‎ - 18 -‎ 与椭圆联立得：4y2＝16﹣t2，yy'，xx'＝t2，kBP•kBQ•，‎ 要使是一个常数λ，λ＜0，所以不成立.‎ 当直线PQ斜率存在时，设直线PQ的方程为：y＝kx+t，设P（x，y），Q（x'，y'），‎ 与椭圆联立整理得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣16＝0，x+x'，xx'，‎ ‎∴y+y'＝k（x+x'）+2t，，‎ ‎∴kBP•kBQ，‎ 所以由题意得：λ，解得：t，所以不论k为何值，x＝0时，y，‎ 综上可知直线恒过定点（0，）.‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的方程及性质，直线过定点问题，椭圆方程的求解一般是利用待定系数法；直线过定点问题一般是根据直线方程的特点来求解.‎ ‎21.对于数列{an}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{an}为P数列.‎ ‎（1）若{an}的前n项和Sn＝3n+2，试判断{an}是否是P数列，并说明理由；‎ ‎（2）设数列a1，a2，a3，…，a10是首项为﹣1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；‎ ‎（3）设无穷数列{an}是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列{bn}，{cn}是从{an}中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T1，T2，求{an}是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题“若a＞0且T1＝T2，则{an}不是P数列”.‎ ‎【答案】（1）数列{an}P数列；详见解析（2）（3）或；证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 18 -‎ ‎（1）先求解数列的通项公式，然后结合P数列的特点进行验证；‎ ‎（2）先求解数列的通项公式，然后结合P数列的特点列出不等关系，然后进行求解；‎ ‎（3）根据P数列建立不等关系，求解不等式可得.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴，‎ 当n＝1时，a1＝S1＝5，‎ 故，‎ 那么当时，，符合题意，‎ 故数列{an}是P数列.‎ ‎（2）由题意知，该数列的前n项和为，‎ 由数列a1，a2，a3，…，a10是P数列，可知a2＞S1＝a1，故公差d＞0，‎ 对满足n＝1，2，3，，9的任意n都成立，则，解得，‎ 故d的取值范围为.‎ ‎（3）①若{an}是P数列，则a＝S1＜a2＝aq，‎ 若a＞0，则q＞1，又由an+1＞Sn对一切正整数n都成立，可知，即对一切正整数n都成立，‎ 由，故2﹣q≤0，可得q≥2，；‎ 若a＜0，则q＜1，又由an+1＞Sn对一切正整数n都成立，可知，即（2﹣q）qn＜1对一切正整数n都成立，‎ 又当q∈（﹣∞，﹣1]时，（2﹣q）qn＜1当n＝2时不成立，‎ - 18 -‎ 故有或，解得，‎ ‎∴当{an}是P数列时，a与q满足的条件为或；‎ ‎②假设{an}是P数列，则由①可知，q≥2，a＞0，且{an}中每一项均为正数，‎ 若{bn}中的每一项都在{cn}中，则由这两数列是不同数列，可知T1＜T2；‎ 若{cn}中每一项都在{bn}中，同理可得T1＞T2；‎ 若{bn}中至少有一项不在{cn}中且{cn}中至少有一项不在{bn}中，‎ 设{bn'}，{cn'是将{bn}，{cn}中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为T1'，T2'，‎ 不妨设{bn'}，{cn'}中最大的项在{bn'}中，设为am（m≥2），‎ 则T2'≤a1+a2+……+am﹣1＜am≤T1'，故T2'＜T1'，故总有T1≠T2与T1＝T2矛盾，故假设错误，原命题正确.‎ ‎【点睛】本题主要考查关于数列的新定义问题，明确新定义的本质是求解的关键，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.‎ - 18 -‎ ‎ ‎ - 18 -‎