2019-2020学年安徽省六安市第一中学高二下学期第一次在线自测数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省六安市第一中学高二下学期第一次在线自测数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年安徽省六安市第一中学高二下学期第一次在线自测数学（理）试题 一、单选题 ‎1．下列命题中正确的是（ ）‎ A．一个函数的极大值总是比极小值大 B．函数的导数为0时对应的点不一定是极值点 C．一个函数的极大值总比最大值小 D．一个函数的最大值可以比最小值小 ‎【答案】B ‎【解析】根据极值的定义，以及极值和最值之间的关系，对选项进行逐一分析即可.‎ ‎【详解】‎ 一个函数的极大值有可能比某个极小值小，A不正确；‎ B中，函数的导函数，‎ 当时，，但不是函数的极值点，B正确；‎ 一个函数的极大值可能是最大值，C不正确；‎ 一个函数的最大值不可能比最小值小，D不正确.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数极值和最值之间的关系，属基础题.‎ ‎2．已知函数，则（ ）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据导数的定义，以及导数的计算，即可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，对函数，有，‎ 又由，‎ 则，则有.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的定义，以及导数的计算，属综合基础题.‎ ‎3．设函数f（x）=+lnx ，则 （ ）‎ A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点 C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点 ‎【答案】D ‎【解析】【详解】‎ ‎，‎ 由得，‎ 又函数定义域为，‎ 当时，，递减，‎ 当时，，递增，‎ 因此是函数的极小值点．故选D．‎ ‎【考点】函数的极值．‎ ‎4．已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．‎ ‎【详解】‎ 详解：‎ ‎，‎ 将代入得，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．‎ ‎5．如图，两曲线与所围成的图形面积是（ ）‎ A．6 B．9 C．12 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出两个函数的交点坐标，根据定积分的计算公式即可求得.‎ ‎【详解】‎ 由得或 故两曲线所围成的阴影部分的面积 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用定积分求解曲边梯形的面积，属中档题.‎ ‎6．若一球的半径为，则内接于球的圆柱的侧面积最大为(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，求出S侧＝2πrcosθ·2rsin θ＝4πr2sinθcosθ，再利用导数求函数的最值.‎ ‎【详解】‎ 如图，设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，‎ 则R＝rcosθ，l＝2rsinθ.‎ ‎∴S侧＝2πrcosθ·2rsin θ＝4πr2sinθcosθ.‎ S′＝4πr2(cos2θ－sin2θ)＝4πr2cos 2θ＝0，‎ ‎∴θ＝.当θ＝，即R＝时，S侧最大且S侧max＝2πr2.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力，解题关键是设内接圆柱的底面半径为R，母线长为l，求出R＝rcosθ，l＝2rsinθ.‎ ‎7．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，且x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点．函数f(x)在区间(a，6－a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a，6－a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足a<1<6－a2且f(a)＝a3－3a≥f(1)＝－2，即解得故实数a的取值范围是[－2，1)．‎ ‎8．一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度（的单位:,的单位:）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：）是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】试题分析：令得，故，故选C ‎【考点】定积分的几何意义 ‎9．等比数列中，，，函数，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将函数看做与的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入可求得；根据等比数列性质可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 又 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.‎ ‎10．已知函数是上的可导函数，当时，有，则函数的零点个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：令.，即当时，，为增函数，当时，，为减函数，函数在区间上为增函数，故在区间上有一个交点.即的零点个数是.‎ ‎【考点】1.函数与导数；2.零点.‎ ‎【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的的零点，可以转化为，也就是左右两个函数图象的交点个数，函数在区间上为增函数，通过已知条件分析,即当时，，为增函数，当时，，为减函数，由此判断这两个函数在区间上有一个交点.‎ ‎11．已知，若方程的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】结合椭圆及双曲线的性质可得:有一个大于1的根,一个小于1大于0,则,作出不等式组所表示的平面区域,利用线性规划的知识可求的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎ 结合椭圆及双曲线的性质可得:有一个大于1的根,一个小于1大于0作出不等式组 则 所表示的平面区域如图所示,令 作直线,把直线向可行域平移到时, 所以A选项是正确的. ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的零点和根的分布,椭圆与双曲线的几何性质以及,线性规划的基础知识.考查基础知识的综合运用.属于难题.‎ ‎12．定义在上的函数的导函数为，若，且，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，构造函数：，求导判单调性得，进而得则可求 ‎【详解】‎ 因为，所以.构造函数：，所以.所以函数在上单调递增，所以，即，即 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查导数与函数的单调性，考查构造函数的思想，考查逻辑推理能力，是中档题 二、填空题 ‎13．已知，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先对函数求导，然后求出，进而求出答案。‎ ‎【详解】‎ 由题可得，‎ 令，则，解得，‎ 所以，‎ 则 ‎【点睛】‎ 本题考查导函数，解题的关键是先求出，属于一般题。‎ ‎14．如图，内接于抛物线的矩形，其中，在抛物线上运动，，在轴上运动，则此矩形的面积的最大值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】构造矩形面积的函数，利用导数求解函数的最大值，即为所求.‎ ‎【详解】‎ 设，则点的坐标为，点的坐标为，‎ ‎∴矩形的面积，.‎ 由，得（舍），，‎ ‎∴时，，单调递增，‎ 时，，单调递减，‎ 故当时，取最大值.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的最大值，涉及构造函数，属综合中档题.‎ ‎15．如图阴影部分是由曲线，与直线，围成，则其面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】本题可以先将曲线，与直线，所围成图形画出，再将其分为两部分分别计算出面积．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，面积为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考察的是求不规则图形的面积，需要对微积分以及定积分有着相应的了解．‎ ‎16．若存在，使得不等式成立，则实数的最小值为______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】先采用参变分离将等价转化为，结合题意应该是左边函数的最小值小于等于m，利用导数求出其最小值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：因为 所以 记 由题意知 因为 所以当时，；当时，‎ 所以在单调递减，在单调递增 所以当时，‎ 所以 所以实数的最小值为4‎ 故答案为4.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的能成立问题，区间能成立或恒成立问题经常采用参变分离法转化为函数的最值问题，复杂函数最值可利用导数求解.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4．‎ ‎(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；‎ ‎(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．‎ ‎【答案】（1）x－y－4＝0‎ ‎（2）x－y－4＝0或y＋2＝0‎ ‎【解析】解：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，‎ ‎∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，‎ ‎∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0．‎ ‎(2)设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，‎ ‎∵f′(x0)＝3x02－8x0＋5，‎ ‎∴切线方程为y－(－2)＝(3x02－8x0＋5)(x－2)，‎ 又切线过点(x0，x03－4x02＋5x0－4)，‎ ‎∴x03－4x02＋5x0－2＝(3x02－8x0＋5)(x0－2)，‎ 整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，‎ ‎∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0．‎ ‎18．已知，是的导函数，‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，求的单调递增区间 ‎【答案】（1）（2）单调递增区间为，‎ ‎【解析】（1）通过导数计算，求得与之间的等量关系，再利用同角三角函数关系将目标式进行转化为二次齐次式，代值即可求得；‎ ‎（2）由（1）中所求，可得的解析式，求导，令，即可求得单调增区间.‎ ‎【详解】‎ 由知 ‎（1）由得，有 ‎（2）由，‎ ‎.‎ 当或时，，即；‎ 因此的单调递增区间为，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的计算，利用导数研究函数的单调性，以及同角三角函数关系，涉及三角不等式的求解，属综合中档题.‎ ‎19．设是二次函数，方程有两个相等的实根，且．‎ ‎（1）求的表达式；‎ ‎（2）若直线把的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）由已知设，由，求出 的值，由有两个相等实根有，求出的值，得出的表达式；（2）由题意有，解方程求出 的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，则． ‎ 由已知，得，．． ‎ 又方程有两个相等的实数根，‎ ‎，即．故； ‎ ‎（2）依题意，得， ‎ ‎，‎ 整理，得，即，‎ ‎．‎ ‎20．已知函数 ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求的单调区间；‎ ‎（3）若在区间上恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）切线方程为.‎ ‎（2）当时，的单调增区间是和，单调减区间是；‎ 当时，的单调增区间是；‎ 当时，的单调增区间是和，单调减区间是.‎ ‎（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出a=1时的导数即此时切线的斜率，然后由点斜式求出切线方程即可；（2）对于含参数的单调性问题的关键时如何分类讨论，常以导数等于零时的根与区间端点的位置关系作为分类的标准，然后分别求每一种情况时的单调性；（3）恒成立问题常转化为最值计算问题，结合本题实际并由第二问可知，函数在区间[1，e]上只可能有极小值点，所以只需令区间端点对应的函数值小于等于零求解即可．‎ 试题解析：（1）∵a＝1，∴f（x）＝x2－4x＋2lnx，‎ ‎∴f ′（x）＝（x>0），f（1）＝－3，f ′（1）＝0，所以切线方程为y＝－3．‎ ‎（2）f ′（x）＝（x>0），‎ 令f ′（x）＝0得x1＝a，x2＝1，‎ 当00，在x∈（a，1）时，f ′（x）<0，∴f（x）的单调递增区间为（0，a）和（1，＋∞），单调递减区间为（a，1）；当a＝1时，f ′（x）＝≥0，∴f（x）的单调增区间为（0，＋∞）；当a>1时，在x∈（0，1）或x∈（a，＋∞）时，f ′（x）>0，在x∈（1，a）时，f ′（x）<0，∴f（x）的单调增区间为（0，1）和（a，＋∞），单调递减区间为（1，a）．‎ ‎（3）由（2）可知，f（x）在区间[1，e]上只可能有极小值点，∴f（x）在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，∴f（1）＝1－2（a＋1）≤0且f（e）＝e2‎ ‎－2（a＋1）e＋2a≤0，解得a≥．‎ ‎【考点】导数法求切线方程；‚求含参数的函数的单调性问题；ƒ恒成立问题求参数范围．‎ ‎【方法点睛】恒成立问题求参数范围常常将参数移到一边转化为函数最值问题即恒成立，即等价于．该解法的优点是不用讨论，但是当参数不易移到一边，或移到一边后另一边的函数值域不易求时，就不要移，而是将不等式的一边化为零即，由于此时函数含有参数，所以应讨论并求最值，从而求解．‎ ‎21．“既要金山银山，又要绿水青山”。某风景区在一个直径为米的半圆形花圆中设计一条观光线路。打算在半圆弧上任选一点（与不重合），沿修一条直线段小路，在路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再沿弧修一条弧形小路，在小路的一侧（注意是一侧）种植绿化带，小路与绿化带的宽度忽略不计。‎ ‎（1）设（弧度），将绿化带的总长度表示为的函数；‎ ‎（2）求绿化带的总长度的最大值。‎ ‎【答案】（1），其中；（2）米 ‎【解析】(1)先设圆心为，连结，根据题意表示出与弧，即可得出；‎ ‎(2)根据(1)的结果，对函数求导，利用导数方法研究的单调性，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设圆心为，连结。‎ 在直角中，，弧的长；‎ 所以，其中。‎ ‎ ‎ ‎（2），，‎ 令，可得，所以。 ‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减；‎ 所以。‎ 所以绿化带的总长度的最大值为米。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，熟记导数的方法求函数的单调性以及最值即可，属于常考题型.‎ ‎22．已知函数，。‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若函数有极小值，求该极小值的取值范围。‎ ‎【答案】（Ⅰ）：当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：(1)对函数求导得到导函数，根据导函数的正负求得函数的单调性；（2）结合第一问得到当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为,所以，对此表达式进行求导，研究单调性，求最值即可.‎ 详解：‎ ‎（Ⅰ）函数的定义域为，，‎ ‎①当时，，函数在内单调递增，‎ ‎②当时，令得，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 综上所述：当时，函数的单调递增区间为；‎ ‎ 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（Ⅱ）①当时，，函数在内单调递增，没有极值；‎ ‎ ②当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为,‎ 所以，‎ 记，则，由得，‎ 所以，‎ 所以函数的极小值的取值范围是 点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，还有就是求完导如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。‎