2020学年高二数学下学期第二次段考试题 理

2020学年高二数学下学期第二次段考试题 理

‎2019学年度高二下学期第二次段考数学（理科）试题 说明:考试时间120分钟，满分150分；‎ 参考公式与数据：‎ ‎1.正态分布密度曲线对应的函数为；‎ ‎ 2.随机变量的观测值的计算与其概率对应表 ‎，其中 ‎0.5‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.已知复数是虚数单位，则的共轭复数是 A. B. C. D. ‎ ‎2.在线性回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的相关指数依次为、、、，其中回归效果最好的模型的相关指数为 A. B. C. D. ‎ ‎3.某公司一种型号的产品近期销售情况如下表 月份x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 销售额y(万元)‎ ‎15.1‎ ‎16.3‎ ‎17.0‎ ‎17.2‎ ‎18.4‎ 根据上表可得到回归直线方程为，据此估计，该公司7月份这种型号产品的销售额为 A.19.5万元 B.19.25万元 C.19.15万元 D.19.05万元 ‎4. 从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有 A.108种 B.186种 C.216种 D.270种 ‎0‎ ‎1‎ P p ‎5.随机变量的分布列如右表，且,则=‎ ‎ A. 0.68 B. 0.49 ‎ ‎ C. 0.40 D. 0.36 ‎ ‎ ‎ ‎6.在“淘淘”微信群的某次抢红包活动中，所发红包被随机的分配为2.63元，1.95元，3.26元，1.77元，0.39元共五份，每人只能抢一次，若红包抢完时，则其中小淘、小乐两人抢到红包金额之和不少于5元的概率是 11‎ ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如果对于任何实数，随机变量满足 若，那么 ‎ A. 0.84 B. 0.68 C. 0.5 D. 0.34‎ ‎8. 一个盒子里装有3种颜色，大小形状质地都一样的12个球，其中黄球5个，篮球4个，绿球3个，现从盒子中随机取出两个球，记事件A“取出的两个球颜色不同”，事件B“取出一个黄球，一个篮球”，则 =‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 若函数在上是增函数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎10．已知一袋中有标有号码、、的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取次卡片时停止的概率为 A． B． C． D． ‎ ‎11.已知函数，则方程恰有两个不同实数根时，实数的取值范围是 ‎ ‎ A． B. C. D.‎ ‎12. 把数列的各项按顺序排列成如下的三角形状，‎ 记表示第行的第个数，例如，若，则=‎ A. 36 B. 37 C. 38 D. 45‎ 11‎ ‎ ‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上。）‎ ‎13. 设随机变量，若，则 ________.‎ ‎14. 二项式展开式中各项二项式系数之和是各项系数之和的倍,则展开式中的常数项为_____.‎ ‎15. 7个人站成一排，若甲，乙，丙三人互不相邻的排法共有______ 种 ‎16. 探讨函数性质,得到下列性质： ‎ ‎①函数有最小值；‎ ‎②存在唯一极值点;‎ ‎③使得;‎ ‎④使得;‎ 其中正确的结论有_____________________.(填写所有正确结论的序号)‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，满分70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）‎ ‎17. （本题满分10分）‎ 设为数列的前n项和，满足 ‎（Ⅰ）求的值，并由此猜想数列的通项公式an；‎ ‎（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ ）中的猜想．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 在直角坐标系中,直线 的斜率为1，在轴截距为，圆的标准方程为 ‎ .以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎ (Ⅰ)求直线和圆的极坐标方程；‎ ‎ (Ⅱ)若射线与直线的交点为,与圆的交点为,且点恰好为线段的中点,求 的值.‎ 11‎ ‎ ‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过的有40人，不超过的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有20人，不超过的有25人． （Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过的人与性别有关．‎ 平均车速超过人数 平均车速不超过人数 合计 男性驾驶员人数 女性驾驶员人数 合计 ‎（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取10辆，若每次抽取的结果是相互独立的，问这10辆车中平均有多少车辆中驾驶员为男性且车速超过.‎ ‎20.（本题满分12分）‎ 随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，由于工作繁忙无法抽出时间来享受美味，这样网上外卖订餐应运而生.若某商家的一款外卖便当每月的销售量（单位：千盒）与销售价格（单位：元/盒）满足关系式其中,为常数，已知销售价格为14元/盒时,每月可售出21千盒.‎ ‎（Ⅰ）求的值； ‎ ‎（Ⅱ）假设该款便当的食物材料、员工工资、外卖配送费等所有成本折合为每盒12元（只考虑销售出的便当盒数），试确定销售价格的值，使该店每月销售便当所获得的利润最大.（结果保留一位小数）‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 某大学数学学院拟从往年的智慧队和理想队中选拔4名大学生组成志愿者招募宣传队，往年的智慧队和理想队的构成数据如下表所示，现要求被选出的4名大学生中两队中的大学生都要有.‎ 男（名）‎ 女（名）‎ 智慧队 ‎3‎ ‎1‎ 理想队 ‎2‎ ‎2‎ ‎ （Ⅰ）求选出的4名大学生仅有1名女生的概率；‎ ‎（Ⅱ）记选出的4名大学生中女生人数为，求随机变量的分布列与数学期望.‎ 11‎ ‎ ‎ ‎22（本题满分12分）‎ 已知函数. ‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，正实数满足，证明：．‎ ‎2017-2018学年度高二下学期第二次段考数学（理科）试题答案与评分标准 一、选择题：（每小题5分满分60分）ADDBB BDCAC CB;‎ ‎11.C;解析：∵∴，设过(0，0)点与相切的切点为 ‎ ‎∴解得 且，即过点与相切的切线方程为 ‎ 当直线 与直线平行时，;当时，‎ 当时，;当时， ‎ ‎∴和y=的图象在各有1个交点；‎ 直线在y=与y=之间时，与函数图象有两个交点，∴ 故选C.‎ 11‎ ‎ ‎ 二、填空题（每小题5分满分20分）：13. 0.5；14. -10；15.1440；16.①②④‎ ‎16. 答：①②④；解：因为函数，所以，因为导函数在 上单调递增.又，，所以在上有唯一的实根,设为，且，故②正确；同时在有极小值也为最小值，故①正确；由得，即，‎ 故.‎ 因为，由双勾函数性质知值域为，‎ 所以 . 故④正确同时判断③错误. 故填写：①②④‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，满分80分）‎ ‎17. （10分）解：(1)当n＝1时，， ………………………1分 当n＝2时，+＝，∴＝4. ………………………2分 当n＝3时，+＝，∴＝8. ………………………3分 当n＝4时，+＝，∴＝16. ……………………4分 由此猜想： ． ………………………5分 ‎ (2)证明：①当时，＝2，猜想成立． ………………………6分 ‎②假设且时，猜想成立，即， ……………………7分 11‎ ‎ ‎ 那么n＝k＋1时， ……………………8分 ‎∴， 这表明n＝k＋1时，猜想成立，……………………9分 由①②知猜想 成立．………………………10分 ‎18. （12分）解:(Ⅰ)由点斜式方程得直线的方程为， ……1分 将代人以上方程中，‎ 所以,直线的极坐标方程为. ………………3分 同理,圆的极坐标方程为. …………6分 ‎ (Ⅱ)在极坐标系中,由已知可设.‎ 联立 ……………………7分 可得，所以. ………………………8分 ‎ 因为点恰好为的中点,所以,即. ……………9分 把代入 得………11分 所以. …………………………………12分 ‎19.（12分）解：（Ⅰ） ‎ 平均车速超过100‎ 平均车速不超过100‎ 合计 11‎ ‎ ‎ km/h人数 km/h人数 男性驾驶员人数 ‎40‎ ‎15‎ ‎55‎ 女性驾驶员人数 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎ …………………………………………2分 根据列联表中数据，计算随机变量的观测值，………… 4分 又∵ 且 …………………………5分 答：有99.5%的把握认为平均车速超过与性别有关． ……………………………6分 （Ⅱ）记这10辆车中驾驶员为男性且车速超过的车辆数为，‎ 根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过的车辆的频率为，利用频率估计它的概率为． …………… 8分 由已知可知服从二项分布，即， ………………………………9分 所以驾驶员为男性且超过100km/h的车辆数的均值 (辆). ………11分 答：在随机抽取的10辆车中平均有4辆车中驾驶员为男性且车速超过. ……12分 ‎20.（12分）解：（Ⅰ）因为时，， 代入关系式，‎ 得， 解得. ……………………………………4分 ‎（Ⅱ）由（1）可知，套题每日的销售量， …………5分 11‎ ‎ ‎ 所以每日销售套题所获得的利润 定义域 ……………………………………6分 从而. （7分） 令，∵,得（8分）‎ 且当时,， 当时，，‎ 函数在上单调递增；在上单调递减， ……………………9分 所以是函数在内的极大值点，也是最大值点， ………………10分 所以当时，函数取得最大值. …………………………11分 答：当销售价格为元/盒时，餐厅每日销售所获得的利润最大. ……………………12分 ‎21.（12分）解：（Ⅰ）选出的4人中智慧队和理想队的都要有，所以选法种数是：‎ 种……………………………………2分 选出的4名大学生仅有1名女生的选法有：‎ ‎ 第一类：从智慧队中选取1名女生的选法有:种……………3分 第二类：从理想队中选取1名女生的选法有:…4分 ‎ 或者用排除法种 所以选取4名女大学生仅有1名女生的概率为；………………………………5分 ‎（Ⅱ）随机变量的可能取值为0，1，2，3 …………………………………………6分 11‎ ‎ ‎ 则 ………………………………………………………………7分 ‎ ‎ ‎ ………………………………………………………………8分 ‎ ………………………………………………………………9分 所以，随机变量的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎……………………………………………………………………………10分 女生人数为数学期望…………………12分 ‎22.（12分）解：（Ⅰ）∵， ∴ ，…（1分）当时，∵，∴．∴在上是递增函数，‎ 即的单调递增区间为（0，+∞），无递减区间． …………………………………3分 当时，，令，得．‎ ‎∴当时，； 当时，；．‎ ‎∴的单调递增区间为，单调递减区间为． ……………………5分 综上，当a≤0时，的单调递增区间为，无递减区间；‎ 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． ………………6分 ‎（Ⅱ）当时，‎ 正实数满足，⇒‎ 11‎ ‎ ‎ ‎⇒ ………………………………7分 令函数，则 ……………………………………9分 时，，为递减； 时，，为递增；‎ 即当t=1时有极小值也是最小值；∴ ‎ ‎ ∴． …………………………10分 则，或（舍去）‎ ‎, ………………………………………………11分 ‎∴ ………………………………………………12分 11‎ ‎ ‎