【数学】四川省阆中中学2020届高三全景模拟(最后一考)试题(理)

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【数学】四川省阆中中学2020届高三全景模拟(最后一考)试题(理)

四川省阆中中学2020届高三全景模拟(最后一考)‎ 数学试题(理)‎ 一、选择题(每题5分,共60分)‎ ‎1. 已知全集,,,则 ( )‎ A. B. C. D. (0,1)‎ ‎2. 已知是虚数单位,则 ( )‎ A.1 B. C.2 D.‎ ‎3. 某路口的红绿灯,红灯时间为30秒,黄灯时间为5秒,绿灯时间为40秒,假设你在 任何时间到达该路口是等可能的,则当你到达该路口时,看见不是黄灯的概率是( )‎ A. B C. D.‎ ‎4. 等比数列的各项均为正数,且,,则 ( )‎ A. B. C. 20 D. 40‎ ‎5. 已知正方形的边长为6,在边上且,为的中点,‎ 则( )‎ A.-6 B.12 C.6 D.-12‎ ‎6. 在如图所示的程序框图中,若函数则输出的结果是( )‎ A.16 B.8 C. D.‎ ‎7. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著,书中有关于“堑堵”的记载,“堑堵”即 底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后,剩下部分 的三视图如图所示,则剩下部分的体积是 ( )‎ A.50 B.75 C.25.5 D.37.5‎ ‎8. 已知函数为奇函数,,是其 图像上两点,若的最小值是1,则 ( )‎ A.2 B. -2 C. D.‎ ‎9. 已知点P(1,2)在抛物线E:上,过点M(1,0)的直线交抛物 线E于A、B两点,若,则直线的倾斜角的正弦值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 已知函数,其中.若函数的最大值 记为,则的最小值为( )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎11. 三棱锥中,,,互相垂直,,是线段上 一动点,若直线与平面所成角的正切的最大值是,则三棱锥 的外接球表面积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根 同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数1-9 的一种方法。例如:3 可表示为“ ≡”,26 可表示为“ =⊥”,现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1-9这9个数字表示两位数中,能被3整除的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分)‎ ‎13.若实数满足,则的最小值是____________.‎ ‎14.过定点的直线:与圆:相切于点,‎ 则____________.‎ ‎15.已知的展开式中各项系数的和为32,则展开式中的系数 为____________.(用数字作答)‎ ‎16.设公差不为0的等差数列的前项和为,若,,成等比数列,且 ‎,则的值是____________.‎ 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) ‎ ‎17. 在中,,,分别是内角,,的对边,且.‎ ‎(1)求角的大小;‎ ‎(2)若,且,求的面积.‎ ‎18. 共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示,2020年该市共享单车 用户年龄等级分布如图1所示,一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.‎ 若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及 以下或者40岁及以上)两类,将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常 使用单车用户”,使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在 ‎“经常使用单车用户”中有是“年轻人”.‎ ‎(1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查,采用随机抽样的方 法,抽取一个容量为200的样本,请你根据图表中的数据,补全下列列联表,‎ 并根据列联表的独立性检验,判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年 龄有关?‎ 使用共享单车情况与年龄列联表 年轻人 非年轻人 合计 经常使用单车用户 ‎120‎ 不常使用单车用户 ‎80‎ 合计 ‎160‎ ‎40‎ ‎200‎ ‎(2)将(1)中频率视为概率,若从该市市民中随机任取3人,设其中经常使用共享 单车的“非年轻人”人数为随机变量,求的分布列与期望.‎ ‎(参考数据:‎ 独立性检验界值表 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 其中,,)‎ ‎19. 已知矩形和菱形所在平面互相垂直,如图,其中,,‎ ‎,点是线段的中点.‎ ‎(1)试问在线段上是否存在点,使得直线平面?若存在,请证 明平面,并求出的值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(2)求二面角的正弦值.‎ ‎20.已知点,点是圆:上任意一点,线段的垂直平 分线交于点,点的轨迹记为曲线.‎ ‎(1)求曲线的方程;‎ ‎(2)过的直线交曲线于不同的,两点,交轴于点,已知,‎ ‎,求的值.‎ ‎21. 函数,.‎ ‎(1)若在点处的切线与直线平行,求的值;‎ ‎(2)若,设,试证明存在唯一零点,并 求的最大值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)若射线的极坐标方程,且分别交曲线、于、两 点,求.‎ ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数,.‎ ‎(1)时,解不等式;‎ ‎(2)若对任意都有,使得成立,求实数的取值范围.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1-5: CDABA 6-10: ADBAD 11-12:BD 二、填空题 ‎13. 0 14. 4 15.120 16. 9‎ 三、解答题 ‎17.解:(1) 把整理得,,‎ 由余弦定理有,‎ ‎∴.(5分)‎ ‎(2)中,,即,故,‎ 由已知可得,‎ ‎∴,‎ 整理得.(7分)‎ 若,则,‎ 于是由,可得,‎ 此时的面积为.(9分)‎ 若,则,‎ 由正弦定理可知,,‎ 代入整理可得,解得,进而,‎ 此时的面积.‎ ‎∴综上所述,的面为.(12分)‎ ‎18.解:(1)补全的列联表如下:‎ 年轻人 非年轻人 合计 经常使用共享单车 ‎100‎ ‎20‎ ‎120‎ 不常使用共享单车 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 合计 ‎160‎ ‎40‎ ‎200‎ ‎(2分)‎ 于是,,,,‎ ‎∴,(5分)‎ 即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.(6分)‎ ‎(2)由(1)的列联表可知,经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为,即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1,‎ ‎∵,(8分)‎ ‎∴,‎ ‎,,‎ ‎∴的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.729‎ ‎0.243‎ ‎0.027‎ ‎0.001‎ ‎(11分)‎ ‎∴的数学期望.(12分)‎ ‎19.解:(1)作的中点,连接交于点,点即为所求的点.‎ ‎ ‎ 证明:连接,‎ ‎∵是的中点,是的中点,‎ ‎∴,‎ 又平面,平面,‎ ‎∴直线平面.‎ ‎∵,,‎ ‎∴,‎ ‎∴.(6分)‎ ‎(2)由(1)知,‎ 又面面,面面,面,‎ 所以面.‎ 故,.‎ 以为空间原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系,‎ ‎∵,,‎ ‎∴为正三角形,,‎ ‎∴,,,,‎ ‎∴,,,,‎ 设平面的一个法向量,则由,可得 令,则.‎ 设平面的一个法向量,则由,可得 令,则.‎ 则,‎ 设二面角的平面角为,则,‎ ‎∴二面角的正弦值为.(12分)‎ ‎20.解:(1)由题意知,,‎ 故由椭圆定义知,点的轨迹是以点,为焦点,长轴为6,焦距为4的椭圆,从而长半轴长为,短半轴长为,‎ ‎∴曲线的方程为:.(4分)‎ ‎(2)由题意知,‎ 若直线恰好过原点,则,,,‎ ‎∴,,则,‎ ‎,,则,‎ ‎∴.(6分)‎ 若直线不过原点,设直线:,,‎ ‎,,.‎ 则,,‎ ‎,,‎ 由,得,从而;‎ 由,得,从而;‎ 故.‎ 联立方程组得:整理得,‎ ‎∴,,‎ ‎∴.‎ 综上所述,.(12分)‎ ‎(1) ‎ ‎ ‎ ‎∴(4分)‎ ‎ (2)证明:由题意知,‎ 于是(5分)‎ 令,,‎ ‎∴在上单调递减.‎ 又,,‎ 所以存在,使得,‎ 综上存在唯一零点.(8分)‎ 当,,于是,在单调递增;‎ 当,,于是,在单调递减;‎ 故,‎ 又,,,‎ 故.(12分)‎ ‎22.解:(1)将参数方程化为普通方程为,即,‎ ‎∴的极坐标方程为.‎ 将极坐标方程化为直角坐标方程为.(5分)‎ ‎(2)将代入:整理得,‎ 解得,即.‎ ‎∵曲线是圆心在原点,半径为1的圆,‎ ‎∴射线与相交,即,即.‎ 故.(10分)‎ ‎23.解:(1)当时,,由解得,综合得,‎ 当时,,显然不成立,‎ 当时,,由解得,综合得,‎ 所以的解集是.(5分)‎ ‎(2),‎ ‎,‎ ‎∴根据题意,‎ 解得,或.(10分)‎
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