- 2021-06-15 发布 |
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文档介绍
【数学】四川省阆中中学2020届高三全景模拟(最后一考)试题(理)
四川省阆中中学2020届高三全景模拟(最后一考) 数学试题(理) 一、选择题(每题5分,共60分) 1. 已知全集,,,则 ( ) A. B. C. D. (0,1) 2. 已知是虚数单位,则 ( ) A.1 B. C.2 D. 3. 某路口的红绿灯,红灯时间为30秒,黄灯时间为5秒,绿灯时间为40秒,假设你在 任何时间到达该路口是等可能的,则当你到达该路口时,看见不是黄灯的概率是( ) A. B C. D. 4. 等比数列的各项均为正数,且,,则 ( ) A. B. C. 20 D. 40 5. 已知正方形的边长为6,在边上且,为的中点, 则( ) A.-6 B.12 C.6 D.-12 6. 在如图所示的程序框图中,若函数则输出的结果是( ) A.16 B.8 C. D. 7. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著,书中有关于“堑堵”的记载,“堑堵”即 底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后,剩下部分 的三视图如图所示,则剩下部分的体积是 ( ) A.50 B.75 C.25.5 D.37.5 8. 已知函数为奇函数,,是其 图像上两点,若的最小值是1,则 ( ) A.2 B. -2 C. D. 9. 已知点P(1,2)在抛物线E:上,过点M(1,0)的直线交抛物 线E于A、B两点,若,则直线的倾斜角的正弦值为( ) A. B. C. D. 10. 已知函数,其中.若函数的最大值 记为,则的最小值为( ) A. B.1 C. D. 11. 三棱锥中,,,互相垂直,,是线段上 一动点,若直线与平面所成角的正切的最大值是,则三棱锥 的外接球表面积是( ) A. B. C. D. 12.中国古代十进制的算筹计数法,在数学史上是一个伟大的创造,算筹实际上是一根根 同长短的小木棍.如图,是利用算筹表示数1-9 的一种方法。例如:3 可表示为“ ≡”,26 可表示为“ =⊥”,现有6根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则可以用1-9这9个数字表示两位数中,能被3整除的概率是( ) A. B. C. D. 二、填空题(每题5分,满分20分) 13.若实数满足,则的最小值是____________. 14.过定点的直线:与圆:相切于点, 则____________. 15.已知的展开式中各项系数的和为32,则展开式中的系数 为____________.(用数字作答) 16.设公差不为0的等差数列的前项和为,若,,成等比数列,且 ,则的值是____________. 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 在中,,,分别是内角,,的对边,且. (1)求角的大小; (2)若,且,求的面积. 18. 共享单车进驻城市,绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示,2020年该市共享单车 用户年龄等级分布如图1所示,一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示. 若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”(20岁-39岁)和“非年轻人”(19岁及 以下或者40岁及以上)两类,将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常 使用单车用户”,使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在 “经常使用单车用户”中有是“年轻人”. (1)现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查,采用随机抽样的方 法,抽取一个容量为200的样本,请你根据图表中的数据,补全下列列联表, 并根据列联表的独立性检验,判断是否有85%的把握认为经常使用共享单车与年 龄有关? 使用共享单车情况与年龄列联表 年轻人 非年轻人 合计 经常使用单车用户 120 不常使用单车用户 80 合计 160 40 200 (2)将(1)中频率视为概率,若从该市市民中随机任取3人,设其中经常使用共享 单车的“非年轻人”人数为随机变量,求的分布列与期望. (参考数据: 独立性检验界值表 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 其中,,) 19. 已知矩形和菱形所在平面互相垂直,如图,其中,, ,点是线段的中点. (1)试问在线段上是否存在点,使得直线平面?若存在,请证 明平面,并求出的值;若不存在,请说明理由; (2)求二面角的正弦值. 20.已知点,点是圆:上任意一点,线段的垂直平 分线交于点,点的轨迹记为曲线. (1)求曲线的方程; (2)过的直线交曲线于不同的,两点,交轴于点,已知, ,求的值. 21. 函数,. (1)若在点处的切线与直线平行,求的值; (2)若,设,试证明存在唯一零点,并 求的最大值. 请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程; (2)若射线的极坐标方程,且分别交曲线、于、两 点,求. 23.选修4-5:不等式选讲 已知函数,. (1)时,解不等式; (2)若对任意都有,使得成立,求实数的取值范围. 参考答案 一、选择题 1-5: CDABA 6-10: ADBAD 11-12:BD 二、填空题 13. 0 14. 4 15.120 16. 9 三、解答题 17.解:(1) 把整理得,, 由余弦定理有, ∴.(5分) (2)中,,即,故, 由已知可得, ∴, 整理得.(7分) 若,则, 于是由,可得, 此时的面积为.(9分) 若,则, 由正弦定理可知,, 代入整理可得,解得,进而, 此时的面积. ∴综上所述,的面为.(12分) 18.解:(1)补全的列联表如下: 年轻人 非年轻人 合计 经常使用共享单车 100 20 120 不常使用共享单车 60 20 80 合计 160 40 200 (2分) 于是,,,, ∴,(5分) 即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.(6分) (2)由(1)的列联表可知,经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为,即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1, ∵,(8分) ∴, ,, ∴的分布列为 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 (11分) ∴的数学期望.(12分) 19.解:(1)作的中点,连接交于点,点即为所求的点. 证明:连接, ∵是的中点,是的中点, ∴, 又平面,平面, ∴直线平面. ∵,, ∴, ∴.(6分) (2)由(1)知, 又面面,面面,面, 所以面. 故,. 以为空间原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系, ∵,, ∴为正三角形,, ∴,,,, ∴,,,, 设平面的一个法向量,则由,可得 令,则. 设平面的一个法向量,则由,可得 令,则. 则, 设二面角的平面角为,则, ∴二面角的正弦值为.(12分) 20.解:(1)由题意知,, 故由椭圆定义知,点的轨迹是以点,为焦点,长轴为6,焦距为4的椭圆,从而长半轴长为,短半轴长为, ∴曲线的方程为:.(4分) (2)由题意知, 若直线恰好过原点,则,,, ∴,,则, ,,则, ∴.(6分) 若直线不过原点,设直线:,, ,,. 则,, ,, 由,得,从而; 由,得,从而; 故. 联立方程组得:整理得, ∴,, ∴. 综上所述,.(12分) (1) ∴(4分) (2)证明:由题意知, 于是(5分) 令,, ∴在上单调递减. 又,, 所以存在,使得, 综上存在唯一零点.(8分) 当,,于是,在单调递增; 当,,于是,在单调递减; 故, 又,,, 故.(12分) 22.解:(1)将参数方程化为普通方程为,即, ∴的极坐标方程为. 将极坐标方程化为直角坐标方程为.(5分) (2)将代入:整理得, 解得,即. ∵曲线是圆心在原点,半径为1的圆, ∴射线与相交,即,即. 故.(10分) 23.解:(1)当时,,由解得,综合得, 当时,,显然不成立, 当时,,由解得,综合得, 所以的解集是.(5分) (2), , ∴根据题意, 解得,或.(10分)查看更多