广东陆丰碣石中学2013届高三上第四次月考-数学文

广东陆丰碣石中学2013届高三上第四次月考-数学文

‎2013届高三第四次月考数学文试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1．是虚数单位，复数对应的点位于（ ）‎ 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 ‎2．设集合，则 （ ）‎ ‎ C． D．‎ ‎3．已知向量，，且，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．已知过、两点的直线与直线平行，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．“”是“”的( ) ‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎6．已知实数满足约束条件，则目标函数的最大值等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎7．将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．已知正三棱柱（侧棱与底面垂直，底面是正三角形）的高与底面边长均为，其直观图和正(主)视图如图1，则它的左(侧)视图的面积是（ ） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 图1‎ ‎9．已知双曲线的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为（ ） ‎ ‎ ‎ ‎10．对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知，并且有一个非零常数，使得对任意实数,都有，则的值是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.‎ 图2‎ ‎（一）必做题（11～13题）‎ ‎11．公路部门对通过某路段的辆汽车的车 速进行检测,将所得数据按,‎ ‎,分组,绘制成如图2所示的 开始 S＝0‎ i＝3‎ i＝i＋1‎ S＝S＋i i＞10‎ 输出S 结束 是 否 频率分布直方图.则这辆汽车中车速低于 的汽车有____ 辆.‎ ‎12．如图3所示的算法流程图中，输出S的值为 ．‎ ‎13．将石子摆成如图4的梯形形状.称数列为“梯形数”‎ ‎.根据 图形的构成,数列第项 ; 第项 . ‎ 图4‎ 图3‎ ‎（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）‎ ‎14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点的坐标为，曲线的方程为，则（为极点）所在直线被曲线所截弦的长度为______ .‎ 图5‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图所示，过圆外一点做一条 直线与圆 交于两点，，与圆相切于 点.已知圆的半径为，,则______ .‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. ‎16．（本小题满分12分）‎ 设 ‎(1)求函数的最小正周期和单调递增区间 ‎(2)当 ‎17．（本小题满分12分）‎ 某校为了解学生的学科学习兴趣，对初高中学生做了一个喜欢数学和喜欢语文的抽样调查，随机抽取了名学生，相关的数据如下表所示：‎ 数学 语文 总计 初中 高中 总计 ‎(1) 用分层抽样的方法从喜欢语文的学生中随机抽取名，高中学生应该抽取几名?‎ ‎(2) 在(1)中抽取的名学生中任取名，求恰有名初中学生的概率．‎ ‎‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，‎ 底面是菱形，点O是对角线与的交点,‎ 是的中点,.‎ ‎(1) 求证：平面; ‎ ‎(2) 平面平面;‎ ‎(3) 当四棱锥的体积等于时,求的长.‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知函数 ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若的图像与直线相切于点，求的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，求函数的单调区间．‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 设椭圆的左、右顶点分别为、，点在椭圆上且异于、两点，为坐标原点.‎ ‎（1）若直线与的斜率之积为，求椭圆的离心率；‎ ‎（2）对于由(1)得到的椭圆，过点的直线交轴于点，交轴于点，若，求直线的斜率.‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为d，为其前n项和，且满足,．数列满足,， 为数列的前n项和．‎ ‎（1）求数列的通项公式和数列的前n项和；‎ ‎（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．‎ 碣石中学2013届高三第四次月考 文科数学参考答案与评分标准 2012.11.30‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16.(本小题满分12分)‎ ‎（本小题主要考查三角倍角公式,三角特殊值的运算,函数的周期,最值，单调区间等知识,考查化归、转化、换元的数学思想方法，以及运算求解能力）‎ 解：（1）……….2分 ‎……………………………….1分 所以函数的单调递增区间是…………………………6分 ‎（2）‎ ‎…………………………………12分 ‎17. ( 本小题满分12分)‎ ‎（本小题主要考查分层抽样、古典概型等知识，考查或然与必然,样本估计总体的统计思想方法，以及数据观察能力、抽象思维能力和应用意识）‎ ‎ 解：(1) 由表中数据可知, 高中学生应该抽取人. …4分 ‎(2) 记抽取的名学生中,初中名学生为，，高中名学生为，，，‎ 则从名学生中任取2名的所有可能的情况有种，它们是：，，，，，，，，，.……7分 其中恰有1名初中学生的情况有种，它们是：，，，，，. …9分 故所求概率为. …12分 ‎18.（本小题满分14分）‎ ‎（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）‎ 解:(1)在中，、分别是、的中点,‎ 是的中位线，‎ ‎， …………1分 平面，平面，……3分 平面. …………4分 ‎(2) 底面是菱形,‎ ‎， …………5分 平面,平面 ‎. …………6分 平面,平面,, ‎ ‎…………7分 平面, …………8分 平面, …………9分 平面平面. …………10分 ‎(3) 底面是菱形,‎ 菱形 的面积为,…………11分 四棱锥的高为,,得 …………12分 平面,平面,‎ ‎. …………13分 在中,. …………14分 ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎（本小题主要考查导数、函数解析式、函数极值、函数的单调性、单调区间等知识，考查待定系数、化归与转化数学思想方法，综合运用能力和运算求解能力）‎ 解（1）求导数得, …………………………3分 当时，，‎ ‎∴ …………………………………4分 ‎（2）由于的图像与直线相切于点,‎ 所以 ………………………6分 即 解得 ……………………9分 ‎（3）由得：‎ ‎ ……………10分 由，解得或；由，‎ 解得. --------------------13分 故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. ---14分 ‎20.(本小题满分14分)‎ ‎（本小题主要考查直线斜率、椭圆的方程、离心率、向量的运算等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查综合运用能力以及运算求解能力）‎ 解:(1) 由已知,设. …………1分 则直线的斜率,‎ 直线的斜率.‎ 由,得. …………2分 ‎ …………3分 ‎,得, …………4分 ‎. …………5分 椭圆的离心率. …………6分 ‎(2) 由题意知直线的斜率存在. …………7分 设直线的斜率为 , 直线的方程为 …………8分 则有，‎ 设，由于三点共线，且 根据题意，得 …………9分 解得或 …………11分 又点在椭圆上，又由（1）知椭圆的方程为 所以…………①‎ 或 …………②‎ 由①解得，即,‎ 此时点与椭圆左端点重合, 舍去; …………12分 由②解得，即 …………13分 直线直线的斜率. …………14分 ‎21.(本小题满分14分)‎ ‎（本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力）‎ ‎（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立． ……5分 ‎ ，等号在时取得． ‎ 此时 需满足 ……6分 ‎②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立． ……7分 ‎ 是随的增大而增大， 时取得最小值． ‎ 此时 需满足． ……8分 综合①、②可得的取值范围是． ……9分 ‎（3）， ‎ ‎ 若成等比数列，则，……10分 即． ‎ 由，可得， ……12分 即，‎ ‎． ……13分 ‎ 又，且，所以，此时．‎ 因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列． …14分 ‎[另解] 因为，故，即，‎ ‎，（以下同上 ）． ‎