成人高考高等数学二模拟试题和答案解析五

成人高考高等数学二模拟试题和答案解析五

成人高考《高等数学(二)》模拟试题和答案解析（五）‎ 一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．‎ ‎1．当x→0时，x2是x-1n(1+x)的（　　）．‎ A．较高阶的无穷小量 B．等价无穷小量 C．同阶但不等价的无穷小量 D．较低阶的无穷小量 ‎2．设函数ƒ(sinx)=sin2 x，则ƒˊ(x)等于（　　）．‎ A．2cos x B．-2sin xcosx C．％‎ D．2x ‎3．以下结论正确的是（　　）．‎ A．函数ƒ(x)的导数不存在的点，一定不是ƒ(x)的极值点 B．若x0为函数ƒ(x)的驻点，则x0必为ƒ(x)的极值点 C．若函数ƒ(x)在点x0处有极值，且ƒˊ(x0)存在，则必有ƒˊ(x0)=0‎ D．若函数ƒ(x)在点x0处连续，则ƒˊ(x0)一定存在 ‎4．‎ A．‎ B．‎ C．exdx ‎ D．exIn xdx ‎5．函数y=ex-x在区间(-1，1)内（　　）．‎ A．单调减少 B．单调增加 C．不增不减 D．有增有减 ‎6．‎ A．F(x)‎ B．-F(x)‎ C．0 ‎ D．2F(x)‎ ‎7．设y=ƒ(x)二阶可导，且ƒˊ(1)=0,ƒ″(1)>0，则必有（　　）．‎ A．ƒ(1)=0 ‎ B．ƒ(1)是极小值 C．ƒ(1)是极大值 D．点(1,ƒ(1))是拐点 ‎8．‎ A．ƒ(3)- ƒ(1)‎ B．ƒ(9)- ƒ(3)‎ C．1[f(3)-f(1)‎ D．1/3[ƒ(9)- ƒ(3)]‎ ‎9．‎ A．2x+1‎ B．2xy+1‎ C．x2+1 ‎ D．x2‎ ‎10．设事件A，B的P(B)=0．5，P(AB)=0．4，则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A | B)=（　　）．‎ A．O．1‎ B．0．2‎ C．0．8‎ D．0．9‎ 二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上．‎ ‎11．‎ ‎12．当x→0时，1-cos戈与xk是同阶无穷小量，则k= __________．‎ ‎13．设y=in(x+cosx)，则yˊ __________．‎ ‎14．‎ ‎15．‎ ‎16．设ƒ(x)的导函数是sin 2x，则ƒ(x)的全体原函数是 __________．‎ ‎17．‎ ‎18．曲线y=xlnx-x在x=e处的法线方程为 __________．‎ ‎19．‎ ‎20．‎ 三、解答题：21～28小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．‎ ‎21．‎ ‎22．‎ ‎23．‎ ‎24．‎ ‎25．(本题满分8分)一枚5分硬币，连续抛掷3次，求“至少有1次国徽向上”的概率．‎ ‎26．(本题满分10分)在抛物线y2=4x与x=2所围成的平面区域内作一矩形，其一边在x=2 上，另外两个顶点在抛物线上，求此矩形面积最大时的长和宽，最大面积是多少?‎ ‎27．(本题满分10分)设z=z(x，y)由方程ez-x2+y2+x+z=0确定，求出．‎ ‎28．(本题满分10分)求由曲线y=x，y=lnx及y=0，y=1围成的平面图形的面积S，并求 此平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积Vy．‎ 参考答案及解析 一、选择题 ‎1．【答案】应选C．‎ ‎【解析】本题考查两个无穷小量阶的比较．‎ 比较两个无穷小量阶的方法就是求其比的极限，从而确定正确的选项．本题即为计算：‎ 由于其比的极限为常数2，所以选项C正确．‎ 请考生注意：由于分母为x-ln(1+x)，所以本题不能用等价无穷小量代换ln(1+x)-x，否则将导致错误的结论．‎ 与本题类似的另一类考题(可以为选择题也可为填空题)为：确定一个无穷小量的“阶”．例如：当x→0时，x-In(1+x)是x的 A．1/2阶的无穷小量 ‎ B．等价无穷小量 C．2阶的无穷小量 D．3阶的无穷小量 要使上式的极限存在，则必须有k-2=0，即k=2．‎ 所以，当x→0时，x-in(1坝)为x的2阶无穷小量，选C．‎ ‎2．【答案】应选D．‎ ‎【解析】本题主要考查函数概念及复合函数的导数计算．‎ 本题的解法有两种：‎ 解法1先用换元法求出ƒ(x)的表达式，再求导．‎ 设sinx=u，则ƒ(x)=u2，所以ƒˊ(u)=2u，即ƒˊ(x)=2x，选D．‎ 解法2将ƒ(sinx)作为ƒ(x)，u=sinx的复合函数直接求导，再用换元法写成ƒˊ(x)的形式．‎ 等式两边对x求导得 ƒˊ(sinx)·COSx=2sin xCOSx，ƒˊ(sin x)=2sinx．‎ 用x换sin x，得ƒˊ(x)=2x，所以选D．‎ 请考生注意：这类题是基本题型之一，也是历年考试中经常出现的．熟练地掌握基本概念及解题的基本方法，必能较大幅度地提高考生的成绩．为便于考生对有关的题型有一个较全面的了解和掌握，特将历年试卷的部分试题中的相关部分摘录如下：‎ ‎(2004年)设函数ƒ (cosx)=1+cos3x，求ƒˊ(x)．(答案为3x2)‎ ‎3．【答案】应选C．‎ ‎【解析】本题考查的主要知识点是函数在一点处连续、可导的概念，驻点与极值点等概念的相互关系，熟练地掌握这些概念是非常重要的．要否定一个命题的最佳方法是举一个反例，‎ 例如：‎ y=|x|在x=0处有极小值且连续，但在x=0处不可导，排除A和D．‎ y=x3，x=0是它的驻点，但x=0不是它的极值点，排除B，所以命题C是正确的．‎ ‎4．【答案】应选A．‎ ‎【解析】本题可用dy=yˊdx求得选项为A，也可以直接求微分得到dy．‎ ‎5．【答案】应选D．‎ ‎【解析】本题需先求出函数的驻点，再用y″来判定是极大值点还是极小值点，若是极值点，则在极值点两侧的yˊ必异号，从而进一步确定选项．‎ 因为yˊ=ex-1，令yˊ=0，得x=0．‎ 又y″=ex>0，x∈(-1，1)，且y″|x=0=1>0，所以x=0为极小值点，故在x=0的左、右两侧的函数必为由减到增，则当x∈(-1，1)时，函数有增有减，所以应选D．‎ ‎6．【答案】应选B．‎ ‎【解析】用换元法将F(-x)与F(x)联系起来，再确定选项．‎ ‎7．【答案】应选B．‎ ‎【提示】根据极值的第二充分条件确定选项．‎ ‎8．【答案】应选D．‎ ‎【解析】本题考查的知识点是定积分的换元法．本题可以直接换元或用凑微分法．‎ ‎9．【答案】应选B．‎ ‎【解析】用二元函数求偏导公式计算即可．‎ ‎10．【答案】应选C．‎ ‎【解析】利用条件概率公式计算即可．‎ 二、填空题 ‎11．【答案】应填e-2.‎ ‎【解析】利用重要极限Ⅱ和极限存在的充要条件，可知k=e-2．‎ ‎12．【答案】应填2．‎ ‎【解析】根据同阶无穷小量的概念，并利用洛必达法则确定k值．‎ ‎13．‎ ‎【解析】用复合函数求导公式计算．‎ ‎14．【答案】应填6．‎ ‎15．‎ ‎【解析】利用隐函数求导公式或直接对x求导．‎ 将等式两边对x求导(此时y=y(x))，得 ‎16．‎ ‎【解析】 本题主要考查的知识点是导函数和原函数的概念．‎ ‎17．‎ ‎18．【答案】应填x+y-e=0．‎ ‎【解析】 先求切线斜率，再由切线与法线互相垂直求出法线斜率，从而得到法线方程．‎ ‎19．【答案】 应填2π．‎ ‎【提示】 利用奇、偶函数在对称区间上积分的性质．‎ ‎20．‎ ‎【提示】 将函数z写成z=ex2·ey，则很容易求得结果．‎ 三、解答题 ‎21．本题考查的是型不定式极限的概念及相关性质．‎ ‎【解析】含变上限的型不定式极限直接用洛必达法则求解．‎ ‎22．本题考查的知识点是复合函数的求导计算．‎ ‎【解析】 利用复合函数的求导公式计算．‎ ‎23．本题考查的知识点是不定积分的公式法和凑微分积分法．‎ ‎【解析】 本题被积函数的分子为二项之差，一般情况下要考虑将它分成二项之差的积分．‎ 另外由于被积函数中含有根式，所以也应考虑用三角代换去根式的方法进行积分．‎ 解法1‎ 解法2三角代换去根号．‎ ‎24．本题考查的知识点是反常积分的计算．‎ ‎【解析】 配方后用积分公式计算．‎ ‎25．本题考查的知识点是古典概型的概率计算．‎ ‎26．本题考查的知识点是利用导数研究函数特性的方法．‎ ‎【解析】 本题的关键是正确列出函数的关系式，再求其最大值．‎ 解如图2-7-1所示，设A点坐标为(x0，y0)，则AD=2-x0，矩形面积 ‎27．本题考查的知识点是二元隐函数全微分的求法．‎ 利用公式法求导的关键是需构造辅助函数F(x，y，z)=ez-x2+y2+x+z，‎ 然后将等式两边分别对x，y，z求导．考生一定要注意：对x求导时，y，z均视为常数，而对y或z求导时，另外两个变量同样也视为常数．也即用公式法时，辅助函数F(x，y，z)中的三个变量均视为自变量．‎ 解法1直接求导法．‎ 等式两边对x求导得 解法2公式法．‎ 解法3微分法．‎ 对等式两边求微分得 三种解法各有优劣，但公式法更容易理解和掌握．建议考生根据自己的熟悉程度，牢记一种方法．‎ ‎28．本题考查的知识点是曲边梯形面积的求法及旋转体体积的求法．‎ ‎【解析】 首先应根据题目中所给的曲线方程画出封闭的平面图形，然后根据此图形的特点选择对x积分还是对)，积分．选择的原则是：使得积分计算尽可能简单或容易算出．本题如果选择对x积分，则有 这显然要比对y积分麻烦．‎ 在求旋转体的体积时一定要注意是绕x轴还是绕y轴旋转．历年的试题均是绕x轴旋转，而本题是求绕y轴旋转的旋转体的体积．‎ 旋转体的体积计算中最容易出现的错误(在历年的试卷均是如此)是：‎ 解 画出平面图形，如图2-7-2所示的阴影部分，则有阴影部分的面积