数据同化基础知识和理论

数据同化基础知识和理论

数据同化基础知识和理论 一、基础理论知识 ‎1．高斯概率分布函数 其中，，‎ ‎2．两个相互独立的联合高斯概率分布函数 ‎3．N个相互独立的联合高斯概率分布函数 ‎4．点的最优估计 假设每组观测都是无偏的，则有 对X的最优估计就是使P达到最大值，即 达到最小值,I对x求导，可得 求I的最小值，则 求得 一个点的最优估计与观测值的方差有关。‎ ‎5．条件概率和贝叶斯理论（Bayes Theorem）‎ 假设：‎ A：t时刻的模式值 B：0到t时的所有观测值 则 ‎：给定到t时刻的所有观测值后，t时刻模式值的概率分布 ‎：给定t时刻的模式值后，0到t时刻所有观测值的概率分布。相当于给定0到t-1时刻的所有观测值后得到模式值的情况下，t时刻观测值的概率分布 ‎：给定0到t-1时刻的所有观测值后，t时刻模式值的概率分布 ‎：给定0到t-1时刻的所有观测值后，t时刻观测值的概率分布 二、最优插值（Optimal Interpolation）‎ 假定有三个变量，两个观测值。‎ 变量的分析值为 求的最优估计，即方差最小 因为 代入上式，可得 模式值与观测值是独立的，所以有 把以上五个式子代入（1）式，可得 上式对求导：‎ 方差达到最小，则 即 写成矩阵形式为 定义 全矩阵形式：‎ 定义 ‎：代表模式变量的N维列向量 ‎：代表观测值的K维列向量 ‎：同化观测值前的模式状态向量，称为背景状态 ‎：同化观测值后的模式状态向量，称为分析状态 ‎：维的权重系数矩阵 ‎：把模式格点值投影到观测点的映射矩阵，又称为观测算子，维数为 一个状态向量的分析值可表示为：‎ 三、卡曼滤波（Kalman Filter）‎ 假设分析方程存在 上标f表示预报（forecast）。‎ 对于一个高斯分布的状态量，概率分布函数（PDF）表示为 使达到最大值，相当于令方差最小，所以 所以，可以得到K（Kalman gain）的表示式 如果是给定的，则卡曼滤波相当于最优插值，因此，最优插值也称为静态卡曼滤波（stationary Kalman Filter）。‎ 四、三维变分（Three dimensional variational algorithm）‎ 假设模式背景场与观测值都符合高斯分布，则有 其中 C为背景误差协方差，R为观测误差协方差。‎ C可以从模式的历史数据时间序列得到。如果C是预先给定的，则三维变分只是最优插值的另外一种表达形式，也可称为静态卡曼滤波（stationary Kalman Filter）‎ 五、例子 模式：LORENZ 63‎ 方法：最优插值（Optimal Interpolation）‎ 模式：LORENZ 63‎ 方法：集合卡曼滤波（Ensemble Kalman Filter）‎ 上图为真值和20个集合的数据图 下图为真值和同化后(20个平均)的模拟值图 方差：0.7791‎