成人高考高等数学二模拟试题和答案解析三
成人高考《高等数学(二)》模拟试题和答案解析（三）
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．
1．
A．x=-2
B．x=-1
C．x=1
D．x=0
2．设ƒ(x)在x0及其邻域内可导，且当x
0，当x>x0时ƒˊ(x)<0，则必ƒˊ(x0)( )．
A．小于0
B．等于0
C．大于0
D．不确定
3．
A．
B．
C．
D．
4．设函数ƒ(x)=sin(x2)+e-2x，则ƒˊ(x)等于( )．
A．
B．
C．
D．
5．
A．
B．
C．(0，1)
D．
6．
A．xln x+C
B．-xlnx+C
C．
D．
7．设ƒˊ(x)=COS x+x，则ƒ(x)等于( )．
A．
B．
C． sinx+x2+C
D． sinx+2x2+C
8．
A．F(x)
B．-F(x)
C．0
D．2F(x)
9．
A．ƒˊ(x+y)+ ƒˊ(x-y)
B．ƒˊ(x+y)- ƒˊ(x-y)
C．2 ƒˊ(x+y)
D．2 ƒˊ(x-y)
10．若事件A发生必然导致事件B发生，则事件A和B的关系一定是( )．
A．
B．
C．对立事件
D．互不相容事件
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．把答案填在题中横线上．
11．
12．
13．
14．设函数y=In(1+x2)，则dy=__________．
15．
16．
17．
18．
19．
20．由曲线y=x和y=x2围成的平面图形的面积S=__________．
三、解答题：21～28小题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．
21．
22．
23．
24．
25．(本题满分8分)设随机变量X的分布列为
X
123 4
P
0.2 0.3α 0.4
(1)求常数α；
(2)求X的数学期望E(X)．
26．(本题满分10分)当x>0时，证明：ex>1+x．
27．
28．
参考答案及解析
一、选择题
1．【答案】 应选D．
【解析】 本题主要考查间断点的概念．
读者若注意到初等函数在定义区间内是连续的结论，可知选项A、B、C都不正确，所以应选D．
2．【答案】 应选B．
【解析】 本题主要考查函数在点x0处取到极值的必要条件：若函数y=ƒ(x)在点x0处可
导，且x0为ƒ(x)的极值点，则必有ƒˊ(x0)=0．
本题虽未直接给出x0是极值点，但是根据已知条件及极值的第一充分条件可知f(x0)为极
大值，故选B．
3．【答案】 应选D．
【解析】 本题考查的知识点是基本初等函数的导数公式．
4.【答案】 应选B．
【解析】 本题主要考查复合函数的求导计算．
求复合函数导数的关键是理清其复合过程：第一项是sin u，u=x2；第二项是eυ，υ=-2x．利用求导公式可知
5．【答案】应选D．
【解析】 本题考查的知识点是根据一阶导数ƒˊ(x)的图像来确定函数曲线的单调区问．因为在x轴上方ƒˊ(x)>0，而ƒˊ(x)>0的区间为ƒ(x)的单调递增区间，所以选D．
6．【答案】 应选C．
【解析】 本题考查的知识点是不定积分的概念和换元积分的方法．
等式右边部分拿出来，这就需要用凑微分法(或换元积分法)将被积表达式写成能利用公式的不
定积分的结构式，从而得到所需的结果或答案．考生如能这样深层次理解基本积分公式，则无论是解题能力还是计算能力与水平都会有一个较大层次的提高．
基于上面对积分结构式的理解，本题亦为：
7．【答案】 应选B．
【解析】 本题考查的知识点是已知导函数求原函数的方法．
8．【答案】 应选B．
9．【答案】应选C．
【提示】 本题考查的知识点是二元复合函数偏导数的求法．
10．【答案】 应选A．
【提示】 本题考查的知识点是事件关系的概念．根据两个事件相互包含的定义，可知选项A正确．
二、填空题
11．【答案】 应填1/8．
12．
【解析】 利用重要极限Ⅱ的结构式，则有
13．
【提示】 用复合函数求导公式计算可得答案．注意ln 2是常数．
14．
【解析】 用复合函数求导公式求出y'，再写出dy．
15．【答案】应填120．
【提示】(x5)(5)=5 1．
16．【答案】应填1/2tan 2x+C．
【解析】 用凑微分法积分．
17．【答案】应填e-1-e-2．
【解析】 本题考查的知识点是函数的概念及定积分的计算．
18．【答案】应填1．
【解析】 利用偶函数在对称区间定积分的性质，则有
19．
【解析】 对于对数函数应尽可能先化简以便于求导．因为
20．【答案】应填吉．
【解析】 画出平面图形如图2-3—2阴影部分所示，则
三、解答题
21．本题考查的知识点是重要极限Ⅱ．
【解析】 对于重要极限Ⅱ：
22．本题考查的知识点是求复合函数在某一点处的导数值．
【解析】 先求复合函数的导数yˊ，再将x=1代入yˊ．
23．本题考查的知识点是定积分的计算方法．
【解析】 本题既可用分部积分法计算，也可用换元积分法计算．此处只给出分部积分法，有兴趣的读者可以尝试使用换元积分法计算．
24．本题主要考查原函数的概念和不定积分的分部积分计算方法．
【解析】 这类题常见的有三种形式：
本题为第一种形式．常用的方法是将ƒ(x)=(arctanx)ˊ代入被积函数，再用分部积分法．
第二和第三种形式可直接用分部积分法计算：
然后再用原函数的概念代入计算．
25．本题考查的知识点是随机变量分布列的规范性及数学期望的求法．
【解析】 利用分布列的规范性可求出常数α，再用公式求出E(X)．
解 (1)因为0．2+0．3+α+0．4=1，所以α=0．1．
(2)E(X)=1×0．2+2×0．3+3×0．1+4×0．4=2．7．
26．本题考查的知识点是用函数的单调性证明不等式的方法．
【解析】 通常情况下是将不等式写成一个函数ƒ(x)=ex-x-1，证明ƒˊ(x)>0(或ƒˊ(x)<0)，
再根据单调性知，ƒ(x))>= ƒ (0)=0．
证 设ƒ(x)=ex-1-x，则f(x)=0．因为ƒˊ(x)=ex-1，当x>0时，ƒˊ(x)>0，所以ƒ(x)是单调增加函数．即x>0时, ƒ(x)> ƒ(0)，即ex-1-x>0，所以ex>x+1．
27．本题考查的知识点是应用导数求实际问题的极值．
【解析】 所谓“成本最低”，即要求制造成本函数在已知条件下的最小值．因此，本题的关键是正确写出制造成本函数的表达式，再利用已知条件将其化为一元函数，并求其极值．
所以r=1为唯一的极小值点，即为最小值点．
所以，底半径为1 m，高为3/2m时，可使成本最低，最低成本为90π元．
28．本题考查的知识点是二元函数无条件极值的求法．
【解析】 用二元函数无条件极值的方法求解．