第二单元 匀速圆周运动与向心力公式的应用

第二单元 匀速圆周运动与向心力公式的应用

第四章曲线运动和万有引力定律第二单元匀速圆周运动与向心力公式的应用高考要求：1、知道匀速圆周运动的概念；2、理解线速度、角速度和周期的概念；3、理解向心加速度和向心力以及与各物理量间的关系；4、会用牛顿第二定律求解圆周运动问题。知识要点：一、描述匀速圆周运动快慢的物理量1、线速度：1）物理意义：描述质点沿圆周运动的快慢。2）方向：质点在圆弧某点的线速度方向沿圆弧该点的切线方向。3）大小：v＝s/t，s为质点在t时间内通过的弧长。2、角速度：1）物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢。2）大小：ω＝φ/t（rad/s），φ是连接质点和圆心的半径在t时间内转过的角度。3、周期和频率：1）周期：做圆周运动的物体运动一周所用的时间做周期。用T表示。2）频率：做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数，叫做频率，也叫转速。用f表示。4、线速度、角速度、周期和频率的关系：T＝1/f，ω＝2π/T＝2πf，v＝2πr/T＝2πrf＝ωr注意：T、f、ω三个量中任一个确定，其余两个也就确定了。5、向心加速度：1）物理意义：描述线速度方向改变的快慢。2）大小：a＝v2/r＝ω2r＝4π2f2r＝4π2r/T2＝ωv。3）方向：总是指向圆心。所以不论a的大小是否变化，它都是个变化的量。6、解圆周运动的运动学问题关键在于熟练掌握各物理量间的关系。二、圆周运动中的向心力1、向心力1）意义：描述速度方向变化快慢产生原因——向心力。2）方向：总是指向圆心。3）大小：F＝ma＝mv2/r＝mω2r＝m4π2f2r＝m4π2r/T2＝mωv。4）产生：向心力是效果力，不是性质力。向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力提供，要根据物体受力的实际情况判定。5）求解圆周运动动力学问题关键在于分析清楚向心力的来源，然后灵活列出牛顿第二定律关系式。2、向心力的特点：1）匀速圆周运动：向心力为合外力，其大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心。2）变速圆周运动：因速度大小发生变化，其向心力和向心加速度都在变化，其所受的合外力不仅大小随时间改变，方向也不沿半径指向圆心。合外力沿半径方向的分力提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向，合外力沿轨道方向切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小。3）当沿半径方向的力F＜mv2/r时，物体做离心运动；6\n第四章曲线运动和万有引力定律当沿半径方向的力F＞mv2/r时，物体做向心运动；当沿半径方向的力F＝mv2/r时，物体做圆周运动；当沿半径方向的力F＝0时，物体沿切线做直线运动。一、竖直平面内圆周运动中的临界问题1、“绳、杆、轨道”的区别：1）“绳”对物体只能产生拉力或不产生力，但不可能产生推力；2）“杆”对物体既可产生拉力，也可产生推力，还可不产力；3）“轨道”对物体只能产生推力或不产生力，但不可能产生拉力。2、“绳”、“内轨道”上的物体做圆周运动在最高点时的临界条件：vv物体达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，物绳体的重力提供其做圆周运动的向心力。即：mg＝mv2临界/r，其中v临界是物体通过最高点的最小速度，叫做临界速度v临界＝√gr。当在最高点v≥v临界时，物体将做完整的圆周运动。3、“轻杆”、“圆管轨道”上的物体做圆周运动在最高点时的临界条件：vv由于杆和管壁的支承作用，物体恰能达最高点的临界速度v临界＝0。杆1）当v＝0时，轻杆对物体有竖直向上的支持力N，其大小等于物的重力，即N＝mg。2）当0＜v＜√gr时，杆对物体的弹力的方向竖直向上，大小随速度的增大而减小，其取值范围是mg＞N＞0，因mg－N＝mv2/r。3）当v＝√gr时，N＝0。4）当v＞√gr时，杆对物体有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，因mg＋N＝mv2/r。管内物体情况杆的弹力情况类似。4、“外轨道”上的物体做圆周运动在最高点时的临界条件：v物体到达最高点时对轨道的压力刚好等于零，物体的重力提供其做圆周运动的向心力，即：mg＝mv2临界/r，其中v临界是物体通过最高点的最大速度，叫做临界速度v临界＝√gr。当在最高点v≤v临界时，物体将做完整的圆周运动。典型例题：例1、如图所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上d的一点，左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r，b点在4ra小轮上，到小轮中心距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的c2rrbr边缘上若在传动过程中，皮带不打滑，则（）A．a点与b点线速度大小相等；B．a点与c点角速度大小相等；例1图C．a点与d点向心加速度大小相等；D．a、b、c、d四点，加速度最小的是b点。例2、如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O点的水平轴自由转b动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）OA．a处为拉力，b处为拉力；B．a处为拉力，b处为推力；aC．a处为推力，b处为拉力；例2图6\n第四章曲线运动和万有引力定律D．a处为推力，b处为推力。例3、在高速公路的拐弯处，路面修得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ。设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向（即垂直于前进方向）摩擦力等于零，θ应等于（）A．arcsinv2/Rg；B．arctanv2/Rg；C．(arcsin2v2/Rg)/2；D．arccotv2/Rg。例4、在原长为L0的轻弹簧，劲度系数为k，一端系一质量为m的物体，ω另一端固定在转盘上的O点，如图所示。物块随转盘一起以角速度ω转动，物块与转盘间的最大静摩擦力为fm，求物块在转盘上的位置范围。例4图例5、如图所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块，电机启动m后，铁块以角速度ω绕轴O匀速转动。则电机对地面的最大压力和最Or小压力之差为______________。例5图例6、如图所示，水平转台上放有质量均为m的两小物块A、B，A离转轴距离为L，A、B间用长为L的绳线相连，开始时，A、B与轴心在AB同一直线上，线被拉直，A、B与水平转台间摩擦因数均为μ，当转台的角速度达到多大时，线上出现张力？当转台的角速度达到多大时，A物块开始滑动？例6图例7、一个半径为R的纸质圆筒，绕其中心轴匀速转动，角速度为ω，一ω粒子弹沿AO方向打进纸筒，如图所示，从纸筒上的B点穿出，若A、oRB所对的圆心角为θ，则子弹的速度为多少？vAB例7图例8、一质量为m的金属小球用L长的细线拴起，固定在一点O，然后O将线拉至水平，在悬点O的正下方某处P钉一光滑钉子，如图所示，M为使悬线从水平释放碰钉后小球仍做圆周运动，则OP的最小距离是P多少？（g＝10m/s2）例8图例9、在张家界市国际特技表演赛上，一飞行员做半径为50m的特技表演，设飞行员质量为60kg，飞机做竖直平面上的圆周运动，在最高点时他对座椅的压力与重力相同，他关掉发动机做圆周运动，在最低点时，⑴他对座位的压力多大？⑵在圆周运动的过程中分曾有眼睛“黑视”的情况发生，“黑视”在何处最严重？（不考虑空气阻力，g＝10m/s2）（g＝10m/s2）例10、如图所示，光滑的水平面上钉有两枚铁钉A和B，相距0.1m，长BA1m的柔软细绳拴在A上，另一端系一质量为0.5kg的小球，小球的初始位置在AB连线上A的一侧，把细线拉紧，给小球以2m/s的垂直细线方向的水平速度使它做圆周运动。由于钉子B的存在，使线慢例10图慢地缠在A、B上。⑴如果细线不会断裂，从小球开始运动到细线完全缠在A、B上需要多长时间？⑵如果细线的抗断拉力为7N，从开始运动到细线断裂需经历多长时间？6\n第四章曲线运动和万有引力定律答案：例1、CD；例2、AB；例3、B；例4、(fm－kL0)/(mω2－k)≤r≤(fm＋kL0)/(k－mω2)；例5、2mω2r；例6、ω＝√μg/2L，ω1＝√2μg/3L；例7、v＝2ωR/[(2n＋1)π－θ]；例8、3L/5；例9、⑴4200N，⑵在最低点时最严重；例10、⑴8.6s，⑵8.2s练习题：1、一质点做圆周运动，速度处处不为零，则（）A．任何时刻质点所受的合力一定不为零；B．任何时刻质点的加速度一定不为零；C．质点的速度大小一定不断的改变；D．质点的速度方向一定不断的改变。2、如图所示的皮带传动装置，右边两轮粘在一起且同轴，半径RA＝RC＝2RB，皮带不打滑，则A、B、C三点的（）AA．线速度之比vA︰vB︰vC＝1︰1︰2；RARBBB．角速度之比ωA︰ωB︰ωC＝1︰2︰2；RCCC．向心加速度之比aA︰aB︰aC＝1︰2︰4；D．向心加速度之比aA︰aB︰aC＝1︰2︰3。2题图3、一辆卡车在丘陵地匀速行驶，地形如图所示，由于轮胎太旧，途中ac爆胎，爆胎可能性最大的地段就是（）bdA．a处；B．b处；C．c处；D．d处。2题图4、有一种大型游戏器械，它是一个圆筒型大容器，筒壁竖直，游客进入容器后靠筒壁站立，当圆筒开始转动后，转速加快到一定程度时，突然地板塌落，游客发现自己没有落下去，这是因为（）A．游客受到与筒壁垂直的压力的作用；B．游客处于失重状态；C．游客受到的摩擦力等于重力；D．游客随着转速的增大有沿壁向上滑动的趋势。5、用长为L的细绳拴着一只质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动时，下列说法正确的是（）A．小球在最高点时向心力一定是重力；B．小球在最高点时绳的张力必不为零；C．小球在最高点时的速率一定大于√gL；D．小球在最低点时绳的张力一定大于重力。6、一小球用轻绳悬挂在某固定点，现将轻绳水平拉直，然后由静止开始释放小球，考虑小球由静止开始运动到最低位置的过程中（）A．小球在水平方向的速度逐渐增大；B．小球在竖直方向的速度逐渐增大；C．到达最低位置时小球线速度最大；D．到达最低位置时绳中的拉力等于小球重力。6\n第四章曲线运动和万有引力定律7、半径为R的光滑半圆球固定在水平地面上，顶部有一小物体m，如图所示，今给小物体一个水平初速度v0＝√gR，则物体将（）v0A．沿球面滑至M点；NB．先沿球面滑至某点N，再离开球面做斜下抛运动；MC．立即离开半圆球做平抛运动；D．按半径大于R的新的圆弧轨道做圆周运动。7题图8、如图所示，有一质量为M的大圆环，半径为R，被一轻杆固结后悬挂O在O点，有两个质量为m的小环（可视为质点），同时从大环的对称位置由静止滑下，两小环同时滑到大环底部时，速度为v，则此时大R环对轻杆的拉力大小为（）A．(2m＋M)g；B．Mg－2mv2/R；C．2m(g＋v2/R)＋Mg；D．2m(v2/R－g)＋Mg8题图9、如图所示，小球由细线AB、AC拉住而静止，AB水平，AC与竖直方向C成α角，此时AC对球的拉力为T1。现将AB线烧断，小球开始摆动，α当小球返回原处时，AC对球的拉力为T2，则T1与T2之比为（）BAA．1︰1；B．sinα︰cos2α；C．cos2α︰1；D．1︰cos2α。9题图10、图示为一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多）。在圆管中有两个直径与细管内径相同的小B球（可视为质点）。A球的质量为m1，B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，B球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为A零，那么m1、m2、R与v0应满足的关系是______________________。10题图11、汽车以一定的速度在一宽阔水平路面上匀速直线行驶，突然发现下前方有一堵长墙，为了尽可能避免碰到墙壁，司机急刹车好呢，还是马上转弯好？试定量分析并说明道理（“马上转弯”可近似地看做匀速圆周运动）。12、图为一种打夯机示意图，在总质量为M的电动机的飞轮上，距转轴O为ωr处，有一质量为m的偏心块（可视为质点）。若飞轮匀速转动。试计算：r⑴如果偏心块到达最高点时，打夯机对地面正好无压力，飞轮转动的角速度是多大？⑵在上述临界角速度下，偏心块到达最低点时，打夯机对地面的压力是多大？12题图13、如图所示，飞机以v＝150m/s恒定速率，沿半径为R的圆形轨道，在DB竖直平面内做特技飞行，求质量M＝60kg的飞行员，在A、B、C、D各点对座椅和保险带的作用力。（g＝10m/s2）13题图AC14、如果表演“水流星”节目时（一个杯子），拴杯子的绳长为L，绳子能承受的最大拉力是杯子和杯内水重力的8倍，要使绳子不断裂，节目成功，则杯子通过最高点的速度最小为_____________，通过最低点的速度最大为_____________。6\n第四章曲线运动和万有引力定律15、由上海飞往美国洛杉矶的飞机在飞越太平洋上空的过程中，如果保持飞行速度的大小和距离海面的高度均不变，则以下说法正确的是（）A．飞机做的是匀速直线运动；B．飞机上的乘客对座椅的压力略大于地球对乘客的引力；C．飞机上的乘客对座椅的压力略小于地球对乘客的引力；D．飞机上的乘客对座椅的压力为零。16、如图所示，光滑杆偏离竖直方向的夹角为θ，杆以O为支点绕竖直轴旋B转，质量为m的小球套在杆上可沿杆滑动，当其角速度为ω1时，小球A旋转平面在A处，当杆角速度为ω2时，小球旋转平面在B处，若球对θ杆的压力为F，则有（）OA．F1＞F2；B．F1＝F2；C．ω1＜ω2；D．ω1＞ω2。16题图17、为了连续改变反射光的方向，并多次重复这个过程，方法之一是旋镜鼓转由许多反射镜面组成的多面体棱镜（简称镜鼓），如图所示，当激反射镜面光束以固定方向入射到镜鼓的一个反射面上时，由于反射镜绕垂直θ轴旋转，反射光就可在屏幕上扫出一条水平线。依此，每块反射镜入射光线都将轮流扫打描一次。如果要求扫描的范围θ＝45°且每秒钟扫描扫描线48次，那么镜鼓的反射镜面数目和镜鼓旋转的转速分别为（）屏A．8，360转/分；B．16，180转/分；C．16，360转/分；D．32，180转/分。17题图18、当一组气体分子通过图所示圆柱体时，只有速率严格限定的分子才能通过圆柱体中的沟槽而不和沟壁碰撞。已知圆柱体绕OO′轴以nr/s的OθO′转速旋转，圆柱体长Lm，沟槽进口所在半径与出口所在半径之间夹角为θ，则可判定通过沟槽的分子速率为_____________。18题图19、一宇航员抵达一半径为R的星球表面后，为了测定该星球的质量M，做如下的实验，取一根细线穿过光滑的细直管，细线一端拴一质量为m的砝码，使它在竖直平面内做完整的圆周运动，停止抡动细直管，砝码可继续在同一竖直平面内做完整的圆周运动。如图所示，此时观察测力计得到当砝码运用手握住动到圆周的最低点和最高点两位置时测力计的读数差为ΔF。19题图已知引力常量为G。试根据题中所提供的条件和测量结果，求出该星球的质量M。答案：1、ABD；2、ABC；3、D；4、C；5、D；6、AC；7、C；8、C；9、D；10、(m1－m2)v2/R＋(m1＋5m2)g；11、急刹车好；12、⑴√(M＋m)g/mr，⑵2(M＋m)g；13、A(14100N，0)，B(0，12900N)，C(0，14100N)，D(12900，0)；14、√gL，√7gL；15、C；16、BD；17、B；18、2πnL/θ；19、M＝R2ΔF/6Gm。6