第六节 匀速圆周运动的实例分析

第六节 匀速圆周运动的实例分析

第五章曲线运动第六节匀速圆周运动的实例分析第七节离心现象及其应用知识要点：一、求解圆周运动问题的方法与步骤1、审题，确定研究对象；2、分析物体的运动情况，找出运动的轨道平面以及圆心的位置；3、分析物体的受力情况，明确所需向心力的大小以及向心力的来源，对匀速圆周运动而言，它所需的向心力等于它受到的合外力，对非匀速圆周运动而言，它所需的向心力等于它的合外力沿着指圆心方向的分力。4、根据条件，利用公式F＝mv2/r＝mω2r＝mvω＝m4π2r/T2＝m4π2fr等列方程。5、解方程并讨论结果。二、物体做圆周运动的条件如图所示，是研究物体做圆周运动条件的示意图。1、若物体所受合外力F＝mv2/r＝F向，则物体在半径为r的轨道上以F＝0速率v恰好做匀速圆周运动。F＜mv2/rF＞mv2/r2、若物体所受合外力F＞mv2/r＝F向，即合外力小于物体所需的向心力，F＝mv2/r则物体将偏离半径为r的圆轨道向着靠近圆心方向做“向心运动”。3、若物体所受合外力F＜mv2/r＝F向，即合外力大于物体所需的向心力，则物体将偏离半径为r的圆轨道向着远离圆心方向做“离心运动”。三、实例分析1、火车转弯1）水平路面转弯如右图甲、乙所示，火车在水平路面转弯时，向心力由外轨对外轮的挤压产生的弹力提供。火车的质量很大，靠这种办法得到向心力时，轮缘与外轨间的相互作用力很大，铁轨很容易受到破坏。因此在实际筑路中常把轨面垫成与水平成一定角度，以避免转弯甲时对铁造成的损害。2）倾斜路面转弯F向让外轨略高于内轨，用重力和支持力的合力提供向心力，如图丙所示，当火车转弯所需的向心力恰好等于这个合力时，则既不挤压外乙轨，也不挤压内轨，此时火车做匀速圆周运动的速度即为实际中的“规N定转弯速度”，由F合＝mgtanθ＝F向＝mv2/R得：v规定＝√gRtanθ。mgF合讨论：①当火车行驶速率v等于v规定时，即v＝√gRtanθ时，支持力和重力θ的合力恰好充当所需的向心力，则内、外轨都不受挤压（此时为临丙界条件）。②当火车行驶速率v大于v规定时，即v＞√gRtanθ时，支持力和重力的合力不足以提供所需向心力，则此时需要外轨提供一部分向心力，即此时外轨受挤压。③当火车行驶速率v小于v规定时，即v＜√gRtanθ时，支持力和重力的合力大于所需的向心力，则此时需要内轨提供一个支持力，即此时内轨受挤压。同理，由此讨论可知为什么高速公路转弯处路面外侧稍高。2、为什么修拱桥而不修凹桥24高一物理讲义：赵春光\n第五章曲线运动质量为800kg的小汽车驶过一个半径为50m的圆形拱桥，当它到达桥顶时速度为5m/s，求此时小汽车对桥的压力，并比较以同样的速度在水平路面，下凹桥面行驶时，看看在什么样的路面上行驶，小汽车对路面的压力大。受力分析如图所示，小汽车做圆周运动所需向心力；F向＝mv2/R＝800×52/50＝400N。N1N2N3⑴在拱桥上：由受力分析得mg－N1＝mv2/R。∴N1＝mg－mv2/R＝8000－400＝7600N。mgmgmg⑵在水平路面上：N2＝mg＝8000N。甲乙丙⑶在凹桥上：N3－mg＝mv2/R∴N3＝mg＋mv2/R＝8000＋400＝8400N。可见，在拱桥上时，小汽车对桥压力最小；在凹桥上，小汽车对桥压力最大，所以桥要修成拱桥，而不修成凹桥。1、竖直面内的圆周运动物体在竖直面内的圆周运动是非匀速圆周运动，情况较复杂，我们一般只研究在最高点的最底点的情况。⑴没有支承物的物体在竖直面内做圆周运动时通过最高点的情况。vm以绳拴小球在竖直面内做圆周运动为例（如图所示）r①当mg＝mv2/r，即v＝√gr时，小球恰能通过最高点继续沿圆周o运动（临界条件v＝√gr）。②当mg＞mv2/r，即v＜√gr时，小球不能通过最高点而做向心运动。③当mg＜mv2/r，即v＞√gr时，小球能通过最高点，mg和绳对小球的合力充当了向心力。杂技节目“水流星”，圆轨道内物体的圆周运动（如过山车）等与此同理。⑵有支承物的物体在竖直面内做圆周运动通过最高点的情况。vm以轻杆一端固定的小球在竖直面内做圆周运动为例（如图右所示）r①当mg＝mv2/r，即v＝√gr时，轻杆对小球既没有拉力也没有支持力。o②当mg＜mv2/r，即v＞√gr时，轻杆对小球有拉力。③当mg＞mv2/r，即v＜√gr时，轻杆对小球有支持力。④当v＝0时，轻杆对小球的支持力等于小球的重力，这时小球恰好刚能通过最高点。典型例题例1、一段铁道弯轨，内、外轨道高度差为h＝10cm，弯道半径为900m，轨道平面宽L＝144cm，求这段弯道的设计速度，试讨论当火车速度大于或小于这一速度时会发行什么现象。解：当火车以设计速度运行时，火车受重力与轨道支持力作用，受力示意图y如图所示，选x方向为半径方向，y方向为竖直方向，将支持力进行正交分解，列方程θNcosθ＝mgxNsinθ＝mv2/rθv＝√grtgθ，当θ很小时，tgθ≈sinθ≈θ＝h/L，例1题∴v＝√grh/L＝25m/s＝90km/h当行驶速度v′＞v时，所需向心力增大，重力恒定，则轨道作用力增大，但又要保持竖直方向的平衡，则轨道的作用力不再与轨道平面垂直。根据牛顿第三定律，火车对轨道作用力F也不垂直于轨道平面，根据力的合成与分解，将F可分为垂直于轨道的力F1和平行于轨道的力F2，F1作用于路基，侧向力F2会使轨道有侧向移动的趋势，若F224高一物理讲义：赵春光\n第五章曲线运动太大，轨道侧向移动会造成铁轨损坏，火车出轨事故，反之也是如此。所以弯道处有限速标志，这必须遵守。例2、用细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，则下列说法中正确的是（）vmA．小球过最高点时，绳子张力可以为0；mgrB．小球过最高点时的最小速度是0；ToC．小球刚好过最高点时的速度是√gr；D．小球过最高点时，绳子对小球的作用力可以与球所受重力方向相反。解：小球在最高点时，受重力、绳子拉力（竖直向下），所以：例2图F向＝mg＋T＝mv2/r，可见，v越大时，T越大；v越小，T越小。当T＝0时，F向＝mg＝mv2/r，得v最小＝√gr，故AC正确。思考：本题若把绳子换成细杆时，又是哪个答案正确？（答案为ABD）例3、长为L的细杆，一端连接在光滑的水平轴上，另一端固定一个质量为m的小球，小球可在竖直面内做圆周运动，设小球经过最低点和最高点时速率分别为v1和v2，求小球经过最高点和最低点时，杆对球的作用力。解：小球在最低点时，小球受重力mg和杆的拉力F1，则有F1－mg＝mv12/L，∴F1＝mg＋mv12/L；小球在最高点时，假设杆对球的作用力F2，方向向上，则有mg－F2＝mv22/L，∴F2＝mg－mv22/L；讨论：⑴若0＜v2＜√gL，则mg＞F2＞0。这表明杆对小球有支持力，方向向上。⑵若v2＞√gL，则F2＜0。这表明杆对小球有拉力，方向向下。⑶若v2＝√gL，则F2＝0。这表明杆对小球有拉力，此时小球所需的向心力恰好等于其自身的重力。例4、三个摆长分别为L1，L2，L3的圆锥摆，摆球质量均为m，将它们悬于同一点。当它们都在同一水平面内绕同一点做匀速运动时，求它们的周期比。解：当它们位于同一水平面内运动时，其情况如右图所示，y方向平衡有Tcosθ＝mg，x方向有Tsinθ＝mrω2＝mhtanθω2，所以ω＝√g/h。由于悬于同一点，又在同一水平面内运动，各摆h，g相同，例4图所以有ω1＝ω2＝ω3，即：T1＝T2＝T3，所以，T1︰T2︰T3＝1︰1︰1。例5、如图所示，一根劲度系数k＝103N/m的轻弹簧，长L＝0.2m，一端固定在ω光滑水平转台的转动轴上，另一端系一个质量m＝2kg的物体，当转台匀速转动时，物体也随转台一起转动。当转速以180r/min转动时，弹簧伸长了多少米？解：设弹簧的伸长量为xm，则物体做匀速圆周运动的半径为(L＋x)m，根据牛顿第二定律可得：F向＝mω2rkx＝m4π2n2(L＋x)，∴x＝4π2n2mL/(k－4π2n2m)例5图将n＝3r/s，L＝0.2m，m＝2kg，k＝103N/m代入可得：x＝0.49(m)例6、用同样材料做成的A、B、C三个物体，放在水平转盘上都随盘一起无滑动地匀速转动，如图所示，已知mA＝2mB＝2mC，rC＝2rA＝2rB，则下列叙述中正确的是（）ωA．各物体都受三个力的作用，且其相对转盘的运动趋势方向为垂直各自的半径与线速度方向相反；ABCB．物体A的摩擦力最大；C．物体C的向心加速度最大；D．盘的转速增大时，C比B先滑动。例6图24高一物理讲义：赵春光\n第五章曲线运动同步训练l知识掌握1、以下说法中正确的是（）A．在绝对光滑的水平冰面上，汽车可以转弯；B．火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受的压力会增大；C．飞机在空中沿半径为R的水平圆周盘旋时，飞机的翅膀一定处于倾斜状态；D．汽车转弯时需要的向心力是司机转动方向盘所提供的力。2、在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，且m1＝2m2，用细线把两球连接起m1m2来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，如图所r1r2示，此时两小球到转轴的距离r1与r2之为（）ωA．1︰1；B．1︰√2；C．2︰1；D．1︰2。2题图3、用长为L的细绳拴着质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（）A．小球在最高点时所受向心力一定是重力；B．小球在最高点时细绳的拉力不可能为零；C．若小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点时的速度大小为√gL；D．小球在圆周最低点时细绳的拉力一定大于小球的重力。4、汽车在半径为r的水平弯道的转弯，如果汽车与地面的动摩擦因数为μ，那么使汽车发生侧滑的最小速率是（）A．√rg；B．√μrg；C．√μg；D．√μmg。5、汽车在倾斜的弯道上拐弯，弯道的倾角为θ，半径为r，则汽车完全不靠摩擦力转弯速度是（）A．√rgsinθ；B．√rgcosθ；C．√rgtanθ；D．√rgcotθ。6、如图所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s时，车对桥顶的压力为车重的3/4，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受摩擦力作用，则汽车通过桥顶的速度应为（）A．15m/s；B．20m/s；C．25m/s；D．30m/s。6题图7、一木块放于水平转盘上，与转轴的距离为r，若木块与盘面间的最大静摩擦力是木块重力的μ倍，为保证木块能随转盘一起做匀速圆周运动，则转盘转动的角速度最大是_______。l能力提高8、汽车在水平面上沿半径为r的圆跑道行驶，路面作用于汽车的最大静摩擦力是车重的1/10，要使用权汽车不致冲出圆跑道，车速最大不能超过_________。9、如图所示，一细绳长L＝1m，上端系在滑轮的轴上，下端拴一质量为m＝1kg的物体，滑轮与物体一起以2m/s的速度匀速向右运动，当滑L轮碰上固定障碍物B突然停止的瞬间，细绳受到的拉力为_________Nm（g＝10m/s2）。9题图10、如图所示，一个粗糙的水平转台以角速度ω匀速转动，转台上有一质量为mω的物块恰能随转台一起转动而做匀速圆周运动，则下列叙述中正确的是（）A．若增大角速度ω，物块将沿切线方向飞出；mB．若增大角速度ω，物块将沿曲线逐渐远离圆心；C．若减小角速度ω，物块将沿曲线逐渐靠近圆心；D．若减小角速度ω，物块仍做匀速圆周运动。10题图11、有一水平转台，在离转轴20cm处放一物体，当转速超过300r/min时，物体就不能和转台保持相对静止。要使转速达到500r/min时物体仍能和转台保持相对静止而不滑动，物体必须放在离轴距离为多大的范围之内？24高一物理讲义：赵春光\n第五章曲线运动12、如图所示，小物块位于半径为R的半球顶端，若给小物块以水平初速度v0时，物块对球顶愉无压力，则（）A．物块立即离开球面做平抛运动；v0B．物块落地时水平位移为√2R；C．初速度v0＝√Rg；D．物块落地速度方向与地面成45°角。12题图13、如图所示，A球原来能在光滑的水平面上做匀速圆周运动，若剪断B、C之间的细绳，当A球重新达到稳定状态后，则A球的（）AA．运动半径变大；B．速率变大；BC．角速度变大；D．周期变大。13题图C14、质量为m的小滑块从半径为R的半球形碗边向碗底滑动，滑到最低点的速度为v，若滑块与碗的动摩擦因数为μ，则小滑块滑到最低点时所受摩擦力f__________。l拔高挑战15、雨伞边缘半径为r，且高出地面h，雨伞以角速度ω旋转，雨滴自边缘飞出后在地面形成一个大圆周，则圆圈的半径R的多大？16、质量为M的人抓住长L的轻绳，绳的另一端系着质量为m的小球，现让小球在竖直平面内做圆周运动，当球通过最高点时速率为v，则此时人对地面的压力是多大？17、一质量为1kg的小球用绳子a和b系在一根竖直杆上的A、B两点，如图所Aa示，A、B之间的距离L＝1.6m，绳长La＝Lb＝1m，求：⑴直杆旋转角速度至少为多大时，b绳才能拉直？Bb⑵若直杆旋转角速度等于上问最低角速度的2倍时，a、b两绳的拉力各多大？17题图18、一个光滑的圆锥体固定在水平的桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线O之间的夹角θ＝30°，如图所示，一条长度为L的绳（质量不计），一端的θ位置固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（物体可看做质点），物体以速率v绕圆锥体的轴线做水平匀速圆周运动。（物体和绳在附图中都没画出）。⑴当v＝√gL/6时，求绳对物体的拉力；18题图⑵当v＝√gL/6时，求绳对物体的拉力；答案：1、B；2、BC；3、C；4、B；5、C；6、B；7、√μg/r；8、v＝√gr/10；9、14；10、BD；11、r≤7.2cm；12、ABC；13、AD；14、μm(g＋v2/R)；15、r√1＋2ω2h/g；16、(M＋m)g－mv2/L；17、⑴5√2/2rad/s，⑵31.25N，18.75N；18、⑴1.03mg，⑵2mg。24高一物理讲义：赵春光