湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校2020届高三上学期期末考试 数学（理）

湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校2020届高三上学期期末考试 数学（理）

‎“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”‎ ‎2020届高三元月联考 ‎ 理 科 数 学 试 题 ‎ 本试卷共2页，共23题（含选考题）满分150分，考试用时120分钟 ‎★ 祝考试顺利 ★‎ 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．‎ ‎3．填空题和解答题的作答：用黑色中性笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．‎ ‎4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡上交．‎ 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．复数满足，则在复平面上对应的点位于 ‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．已知全集，集合，集合，则 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．已知，则 ‎ ‎ A． B． C． D. ‎ ‎4．据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多（为常数）盏，底层的灯数是顶层的13倍，则塔的底层共有灯（ ）盏．‎ A．2 B．‎3 ‎C．26 D．27‎ ‎5．若直线截得圆的弦长为，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征．如函数的图象大致是 ‎7．函数的图像可由函数的图像至少向右平移______个单位长度得到． ‎ ‎·9·‎ A． B． C． D．‎ ‎8．若向量与的夹角为，，，则＝‎ A. B．‎1 C．4 D．3‎ ‎9．如图，和是圆两条互相垂直的直径，分别以,,, 为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A． B． C． D．‎ ‎10．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎11．是球的直径，、是该球面上两点，，，棱锥的体积为，则球的表面积为 A. B. C. D.‎ ‎12.关于函数，下列说法正确的是 ‎ （1）是的极小值点；‎ ‎ （2）函数有且只有1个零点；‎ ‎ （3）恒成立；‎ ‎ （4）设函数，若存在区间，使在上的值域是 ‎，则.‎ ‎ A．(1) (2) B．(2)(4) C．(1) (2) (4) D．(1)(2)(3)(4)‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．已知曲线，则其在点处的切线方程是 ▲ ． ‎ ‎14．已知是等比数列的前项和，成等差数列，，则 ▲ ．‎ ‎15．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派位专家各自在周一、周二两天中任选一天对某县进行调研活动，则周一、周二都有专家参加调研活动的概率为 ▲ ． ‎ ‎16．在平面直角坐标系中，双曲线的上支与焦点为的抛物线交于两点．若，则该双曲线的渐近线方程为 ‎ ‎·9·‎ ‎▲ ．‎ 三．解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 在中，角、、所对的边分别为、、，且，．‎ ‎（Ⅰ）求角的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，，求及的面积.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，和都是正三角形，，‎ E、F分别是AC、BC的中点，且PD⊥AB于D. ‎ ‎（Ⅰ）证明：直线⊥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值．‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 为响应绿色出行，某市在推出“共享单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”．其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由两部分组成：①根据行驶里程数按1元/公里计费；②行驶时间不超过分时，按元/分计费；超过分时，超出部分按元/分计费．已知张先生家离上班地点‎15公里，每天租用该款汽车上、下班各一次．由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间(分)是一个随机变量．现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如下表所示：‎ 时间（分）‎ 频数 ‎2‎ ‎18‎ ‎20‎ ‎10‎ 将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为分．‎ ‎（Ⅰ）写出张先生一次租车费用（元）与用车时间（分）的函数关系式；‎ ‎（Ⅱ）若张先生一次开车时间不超过40分为“路段畅通”，设表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求的分布列和期望；‎ ‎·9·‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆（）的离心率为，短轴长为.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数，.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，令，其导函数为，设是函数的两个零点，判断是否为的零点？并说明理由.‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分。‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.‎ ‎（Ⅰ）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线经过曲线的焦点且与曲线相交于两点，设线段的中点为，求的值.‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数. ‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若成立，求实数的取值范围.‎ ‎·9·‎ ‎“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”‎ ‎2020届高三元月联考理科数学参考答案 一、选择题：‎ 题序 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D A C A B D B A D C C 二、填空题：‎ ‎13． 14．1 15． 16. ‎ 三．解答题：‎ ‎17. 解：（Ⅰ）， ，‎ 由正弦定理可得， …………………………………………2分 ‎ 又，，，……………………………………4分 ‎ ，， 所以，故. ……………………………6分 （Ⅱ），，由余弦定理可得：‎ ‎，即…………………………8分 ‎ 解得或（舍去），故. …………………………………………10分 所以. ……………………………12分 ‎18.解：（Ⅰ）∵E、F分别是AC、BC的中点，∴EF//AB， ‎ 在正三角形PAC中，PE⊥AC，又平面PAC⊥平面ABC，平面PAC平面ABC=AC，‎ ‎∴PE⊥平面ABC，∴且PE⊥AB，又PD⊥AB，PEPD=P，‎ ‎∴AB⊥平面PED， 又//，‎ ‎∴，又，，‎ ‎∴直线⊥平面.…………………………………………………………………………6分 ‎（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，BE⊥AC，‎ ‎∴BE⊥平面PAC，…………………………………………………………………………………7分 以点E为坐标原点，EA所在的直线为x轴，EB所在 的直线为y轴，建立空间直角坐标系如图示，‎ 则,,………………8分 ‎,,‎ 设为平面PAB的一个法向量，‎ ‎·9·‎ 则由得 ‎，令，得，即………………………………10分 设二面角的大小为，则,‎ ‎，‎ 即二面角的正弦值为. …………………………………………………12分 ‎19． 解法一：（Ⅰ）当时， ……………………………………………2分 ‎ 当时，……………………………4分 得： ………………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）张先生租用一次新能源分时租赁汽车，为“路段畅通”的概率…………7分 可取，，，. ‎ ‎， ‎ 的分布列为 ‎ ……………………………………………………10分 ‎ ……………………………………12分 或依题意，……………………………………………12分 ‎·9·‎ ‎20．解：（Ⅰ）由题意可知：， 得，‎ ‎ 故椭圆的标准方程为……………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）设，，将代入椭圆方程，‎ 消去得，‎ 所以，即…………①‎ 由根与系数关系得，则，…………………………… 6分 所以线段的中点的坐标为．………………………………………8分 又线段的垂直平分线的方程为，‎ 由点在直线上，得，‎ 即，所以…………②…………………………………10分 由①②得，‎ 所以，即或，‎ 所以实数的取值范围是．…………………………………………12分 ‎21．解：（Ⅰ）依题意知函数的定义域为，且 . ……………1分 ‎（1）当时， ，所以在上单调递增. ‎ ‎（2）当时，由得：， ‎ 则当时；当时.‎ 所以在单调递增，在上单调递减. ………………………………3分 综上，当时，在上单调递增；‎ 当时，在单调递增，在上单调递减.………………4分 ‎·9·‎ ‎（Ⅱ）不是导函数的零点. 证明如下：‎ 当时，. ‎ ‎∵，是函数的两个零点，不妨设，‎ ‎ ，两式相减得：‎ 即： ， 又.……………………………………6分 则. ‎ 设，∵，∴，‎ 令，. …………………………………………8分 又，∴，∴在上是増 函数，‎ 则，即当时，，从而，‎ 又所以，‎ 故，所以不是导函数的零点. ……………………………………12分 ‎22．解：（Ⅰ）∵直线的参数方程为（为参数）， ‎ ‎∴直线的普通方程为 ……………………………………………………………2分 由，得，即，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为 ………………………………………………………………4分 ‎（Ⅱ）∵直线经过曲线的焦点 ‎∴，直线的倾斜角．………………………………………………………5分 ‎∴直线的参数方程为（为参数）…………………………………………………7分 代入，得…………………………………………………………………8分 设两点对应的参数为．‎ ‎·9·‎ ‎∵为线段的中点，∴点对应的参数值为．‎ 又点，则………………………………………………………………10分 ‎23． 证明：(Ⅰ) ‎ ‎ …………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由得：，‎ ‎， …………………………………………………7分 ‎①当时，不等式无解； ‎ ‎②当时，不等式，即， ，所以……………9分 综上，实数的取值范围是……………………………………………………………… 10分 ‎·9·‎