【统计学】多元线性回归

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第三章经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型MultipleLinearRegressionModel\n本章内容多元线性回归模型概述多元线性回归模型的参数估计多元线性回归模型的统计检验多元线性回归模型的预测可化为线性的非线性模型受约束回归\n§3.1多元线性回归模型概述(RegressionAnalysis)一、多元线性回归模型二、多元线性回归模型的基本假设\n一、多元线性回归模型\n多元线性回归模型的形式由于：在实际经济问题中，一个变量往往受到多个原因变量的影响；“从一般到简单”的建模思路。所以，在线性回归模型中的解释变量有多个，至少开始是这样。这样的模型被称为多元线性回归模型。多元线性回归模型参数估计与一元线性回归模型相同，只是计算更为复杂。\n总体回归模型i=1,2…,n总体回归模型：总体回归函数的随机表达形式k为解释变量的数目。习惯上，把常数项看成为虚变量的系数，该虚变量的样本观测值始终取1。于是，模型中解释变量的数目为（k+1）。j称为回归系数（regressioncoefficient）。\n总体回归函数：描述在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的条件均值。j也被称为偏回归系数(partialregressioncoefficients)，表示在其他解释变量保持不变的情况下，Xj每变化1个单位时，Y的均值E(Y)的变化。或者说j给出了Xj的单位变化对Y均值的“直接”或“净”（不含其他变量）影响。总体回归函数\n总体回归模型的矩阵表示\n样本回归函数与样本回归模型从一次抽样中获得的总体回归函数的近似，称为样本回归函数（sampleregressionfunction）。样本回归函数的随机形式，称为样本回归模型（sampleregressionmodel）。\n样本回归函数的矩阵表示\n二、多元线性回归模型的基本假设\n标量符号1、解释变量X1，X2，…，Xn是非随机的或固定的；而且各X之间互不相关（无多重共线性）矩阵符号1、n×（k+1）矩阵X是非随机的；且X的秩R(X)=k+1,即X列满秩。XTX也是满秩的关于经典回归模型的假定当多元线性回归模型满足下列的基本假设的情况下，可以采用普通最小二乘法（OLS）估计参数。\n标量符号2、矩阵符号2、\n标量符号3、解释变量与随机误差项不相关。矩阵符号3、即\n标量符号4、（为了假设检验）随机误差项服从正态分布矩阵符号4、向量为一多维正态分布，\n1、关于模型关系的假设模型设定正确假设。Theregressionmodeliscorrectlyspecified.线性回归假设。Theregressionmodelislinearintheparameters。\n2、关于解释变量的假设确定性假设。解释变量X是确定性变量，不是随机变量，在重复抽样中取固定值。与随机项不相关假设。由确定性假设可以推断。\n无完全多重共线性假设。各解释变量之间不存在严格线性相关性适用于多元线性回归模型。样本方差假设。随着样本容量的无限增加，解释变量X的样本方差趋于一有限常数。时间序列数据作样本时间适用\n3、关于随机项的假设0均值假设。给定X的条件下，随机误差项的均值为0.由模型设定正确假设推断。含义：随机误差项的条件零均值假设是指它的期望不依赖与X的变化而变化，且总为常数零。也就是说，随机误差项与解释变量不相关。使总体回归函数的随机形式与确定形式等价的关键假设。\n是否满足需要检验。含义：条件同方差假设是指随机误差项的方差不依赖于X的变化而变化，且总为常数同方差假设：给定X的条件下，对所有观测，方差都是相同的。\n非条件零均值性质：非条件同方差性质：根据期望迭代法则：\n序列不相关假设。各随机误差项之间无自相关性。是否满足需要检验。\n4、随机项的正态性假设在采用OLS进行参数估计时，不需要正态性假设。在利用参数估计量进行统计推断时，需要假设随机项的概率分布。一般假设随机项服从正态分布。可以利用中心极限定理（centrallimittheorem,CLT）进行证明。正态性假设。Theμ’sfollowthenormaldistribution.\n5、CLRM和CNLRM以上假设（正态性假设除外）也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。同时满足正态性假设的线性回归模型，称为经典正态线性回归模型（ClassicalNormalLinearRegressionModel,CNLRM）。\n§3.2多元线性回归模型的估计一、普通最小二乘估计二、最大或然估计三、矩估计四、参数估计量的性质五、样本容量问题六、估计实例\n说明估计方法：3大类方法：OLS、ML或者MM在经典模型中多应用OLS在非经典模型中多应用ML或者MM\n一、普通最小二乘估计(OLS)\n1、普通最小二乘估计最小二乘原理：根据被解释变量的所有观测值与估计值之差的平方和最小的原则求得参数估计量。即使残差平方和最小的参数估计量。\n已知假定步骤：\n解该（k+1）个方程组成的线性代数方程组，即可得到（k+1）个待估参数的估计值\n正规方程组的矩阵形式条件？\nOLS估计的矩阵表示\n2、正规方程组的另一种表达该正规方程组成立的条件是什么？\n3、随机误差项的方差的无偏估计M为等幂矩阵\n\n二、最大似然估计\n1、最大似然法最大似然法(MaximumLikelihood,ML)，也称最大或然法，是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大或然原理出发发展起来的其它估计方法的基础。基本原理：当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。ML必须已知随机项的分布。\n2、估计步骤:以一元模型为例Yi的分布Yi的概率函数Y的所有样本观测值的联合概率—似然函数\n对数似然函数对数似然函数极大化的一阶条件结构参数的ML估计量\n分布参数的ML估计量\n3、似然函数\n4、ML估计量由对数似然函数求极大，得到参数估计量结果与参数的OLS估计相同\n分布参数估计结果与OLS不同\n注意：ML估计必须已知Y的分布。只有在正态分布时ML和OLS的结构参数估计结果相同。如果Y不服从正态分布，不能采用OLS。例如：选择性样本模型、计数数据模型等。\n三、矩估计MomentMethod,MM\n1、参数的矩估计参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。用样本的二阶中心矩作为方差的估计量。从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶（原点）矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶矩，再进一步计算总体参数（期望和方差）的估计量。\n样本的一阶矩和二阶矩总体一阶矩和总体二阶矩的估计量总体参数（期望和方差）的估计量\n2、多元线性计量经济学模型的矩估计如果模型的设定是正确，则存在一些为0的条件矩。矩估计的基本思想是利用矩条件估计模型参数。一组矩条件，等同于OLS估计的正规方程组。\n四、参数估计量的性质\n说明在满足基本假设的情况下，多元线性模型结构参数的普通最小二乘估计、最大或然估计及矩估计具有线性性、无偏性、有效性。同时，随着样本容量增加，参数估计量具有渐近无偏性、渐近有效性、一致性。利用矩阵表达可以很方便地证明,注意证明过程中利用的基本假设。\n1、无偏性这里利用了假设:E(X’)=0\n2、有效性（最小方差性）\n五、样本容量问题\n1、最小样本容量所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即nk+1为什么？\n2、满足基本要求的样本容量从统计检验的角度：n30时，Z检验才能应用；n-k8时,t分布较为稳定。一般经验认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明。\n六、例题\n地区城镇居民消费模型被解释变量：地区城镇居民人均消费Y解释变量：地区城镇居民人均可支配收入X1前一年地区城镇居民人均消费X2样本：2006年，31个地区\n数据\n变量间关系\n变量间关系\nOLS估计\nOLS估计结果\nML估计\nML估计结果\nMM估计\nMM估计结果\n§3.3多元线性回归模型的统计检验StatisticalTestofMultipleLinearRegressionModel一、拟合优度检验二、方程的显著性检验(F检验)三、变量的显著性检验（t检验）四、参数的置信区间\n一、拟合优度检验GoodnessofFit\n1、概念拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。问题：采用普通最小二乘估计方法，已经保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要检验拟合程度？如何检验：构造统计量统计量只能是相对量\n2、可决系数与调整的可决系数总离差平方和的分解证明：该项等于0\n可决系数（CoefficientofDetermination）该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。从R2的表达式中发现，如果在模型中增加解释变量，R2往往增大。这就给人一个错觉：要使得模型拟合得好，只要增加解释变量即可。但是，由增加解释变量引起的R2的增大与拟合好坏无关，所以R2需调整。\n调整的可决系数（adjustedcoefficientofdetermination）其中：n-k-1为残差平方和的自由度，n-1为总体平方和的自由度。调整的可决系数多大才是合适的？\n3、赤池信息准则和施瓦茨准则为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的拟合优度，常用的标准还有:赤池信息准则（Akaikeinformationcriterion,AIC）施瓦茨准则（Schwarzcriterion，SC）这两准则均要求仅当所增加的解释变量能够减少AIC值或SC值时才在原模型中增加该解释变量。\n地区城镇居民消费模型（k=2）\n地区城镇居民消费模型（k=1）与k=2比较，变化不大\n二、方程的显著性检验(F检验)TestingtheOverallSignificanceofaMultipleRegression(theFtest)\n1、假设检验（HypothesisTesting）所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设。假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设。判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易发生”这一原理的。\n2、方程显著性的F检验方程的显著性检验，旨在对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立作出推断。在多元模型中，即检验模型中的参数j是否显著不为0。\nF检验的思想来自于总离差平方和的分解式TSS=ESS+RSS如果这个比值较大，则X的联合体对Y的解释程度高，可认为总体存在线性关系，反之总体上可能不存在线性关系。因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行推断。\n在原假设H0成立的条件下，统计量给定显著性水平，可得到临界值F(k,n-k-1)，由样本求出统计量F的数值，通过FF(k,n-k-1)或FF(k,n-k-1)来拒绝或接受原假设H0，以判定原方程总体上的线性关系是否显著成立。\n地区城镇居民消费模型拒绝0假设，犯错误的概率为0\n3、关于拟合优度检验与方程显著性检验关系的讨论\n对于一般的实际问题，在5%的显著性水平下，F统计量的临界值所对应的R2的水平是较低的。所以，不宜过分注重R2值，应注重模型的经济意义；在进行总体显著性检验时，显著性水平应该控制在5%以内。\n三、变量的显著性检验（t检验）TestingtheSignificanceofVariables(thettest)\n方程的总体线性关系显著不等于每个解释变量对被解释变量的影响都是显著的。必须对每个解释变量进行显著性检验，以决定是否作为解释变量被保留在模型中。这一检验是由对变量的t检验完成的。\n1、t统计量以cii表示矩阵(X’X)-1主对角线上的第i个元素\n2、t检验设计原假设与备择假设：H1：i0给定显著性水平，可得到临界值t/2(n-k-1)，由样本求出统计量t的数值，通过|t|t/2(n-k-1)或|t|t/2(n-k-1)判断拒绝或不拒绝原假设H0，从而判定对应的解释变量是否应包括在模型中。H0：i=0（i=1,2…k）\n地区城镇居民消费模型\n3、关于常数项的显著性检验T检验同样可以进行。一般不以t检验决定常数项是否保留在模型中，而是从经济意义方面分析回归线是否应该通过原点。\n四、参数的置信区间ConfidenceIntervalofParameter\n1、区间估计回归分析希望通过样本得到的参数估计量能够代替总体参数。假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参数可能的假设值的范围（例如是否为零），但它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真值有多“近”。要判断样本参数的估计值在多大程度上“近似”地替代总体参数的真值，需要通过构造一个以样本参数的估计值为中心的“区间”，来考察它以多大的可能性（概率）包含着真实的参数值。这种方法就是参数检验的置信区间估计。\n如果存在这样一个区间，称之为置信区间；1-称为置信系数（置信度）（confidencecoefficient），称为显著性水平；置信区间的端点称为置信限（confidencelimit）。\n2、参数的置信区间在(1-)的置信水平下\n3、如何才能缩小置信区间？增大样本容量n，因为在同样的样本容量下，n越大，t分布表中的临界值越小，同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小。提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型优度越高，残差平方和应越小。提高样本观测值的分散度,一般情况下，样本观测值越分散，(X’X)-1的分母的|X’X|的值越大，致使区间缩小。\n§3.4多元线性回归模型的预测一、E(Y0)的置信区间二、Y0的置信区间\n一、E(Y0)的置信区间\n于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信区间：其中，t/2为(1-)的置信水平下的临界值。\n二、Y0的置信区间\n如何根据置信区间正确地陈述预测结果？\n§3.5回归模型的其他函数形式一、模型的类型与变换二、非线性回归实例三、非线性最小二乘估计\n说明在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况并不多见。如著名的恩格尔曲线(Englecurves)表现为幂函数曲线形式、宏观经济学中的菲利普斯曲线（Pillipscuves）表现为双曲线形式等。但是，大部分非线性关系又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系，从而可以运用线性回归模型的理论方法。\n一、模型的类型与变换1、倒数模型、多项式模型与变量的直接置换法例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线s=a+br+cr2c<0s：税收；r：税率设X1=r，X2=r2，则原方程变换为s=a+bX1+cX2c<0\n2、幂函数模型、指数函数模型与对数变换法例如，Cobb-Dauglas生产函数：幂函数Q=AKLQ：产出量，K：投入的资本；L：投入的劳动方程两边取对数：lnQ=lnA+lnK+lnL\n3、复杂函数模型与级数展开法方程两边取对数后，得到：(1+2=1)Q:产出量，K：资本投入，L：劳动投入：替代参数，1、2：分配参数例如，常替代弹性CES生产函数将式中ln(1K-+2L-)在=0处展开台劳级数,取关于的线性项，即得到一个线性近似式。如取0阶、1阶、2阶项，可得\n二、可化为线性的非线性回归实例例3.5.1建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同一比例变动时，需求量保持不变(*)(**)为了进行比较，将同时估计（*）式与（**）式。\n根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居民的总支出间呈幂函数的变化关系:首先,确定具体的函数形式对数变换:考虑到零阶齐次性时(***)(****)(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得因此，对（****）式进行回归，就意味着原需求函数满足零阶齐次性条件。\nX：人均消费X1：人均食品消费GP：居民消费价格指数FP：居民食品消费价格指数Q：人均食品消费（90年价）P0：居民消费价格缩减指数（1990=100）P1：居民食品消费价格缩减指数（1990=100）\n按（***）式估计具体解释估计结果及其经济含义。\n按（****）式估计具体解释估计结果及其经济含义。\n三、非线性最小二乘估计\n⒈普通最小二乘原理残差平方和取极小值的一阶条件如何求解非线性方程？\n⒉高斯－牛顿(Gauss-Newton)迭代法高斯－牛顿迭代法的原理对原始模型展开台劳级数，取一阶近似值\n构造并估计线性伪模型构造线性模型估计得到参数的第1次迭代值迭代\n高斯－牛顿迭代法的步骤\n⒊牛顿－拉夫森(Newton-Raphson)迭代法自学，掌握以下2个要点牛顿－拉夫森迭代法的原理对残差平方和展开台劳级数，取二阶近似值；对残差平方和的近似值求极值；迭代。与高斯－牛顿迭代法的区别直接对残差平方和展开台劳级数，而不是对其中的原模型展开；取二阶近似值，而不是取一阶近似值。\n⒋应用中的一个困难如何保证迭代所逼近的是总体极小值（即最小值）而不是局部极小值？一般方法是模拟试验：随机产生初始值→估计→改变初始值→再估计→反复试验，设定收敛标准（例如100次连续估计结果相同）→直到收敛。\n⒌非线性普通最小二乘法在软件中的实现给定初值写出模型估计模型改变初值反复估计\n⒍例题例3.5.1建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。线性估计\n线性估计\n讨论一般情况下，线性化估计和非线性估计结果差异不大。如果差异较大，在确认非线性估计结果为总体最小时，应该怀疑和检验线性模型。非线性估计确实存在局部极小问题。根据参数的经济意义和数值范围选取迭代初值。NLS估计的异方差和序列相关问题。NLS不能直接处理。应用最大似然估计。\n§3.6受约束回归RestrictedRegression一、模型参数的线性约束二、对回归模型增加或减少解释变量三、参数的稳定性\n说明在建立回归模型时，有时根据经济理论需要对模型中的参数施加一定的约束条件。例如：需求函数的0阶齐次性条件生产函数的1阶齐次性条件模型施加约束条件后进行回归，称为受约束回归（restrictedregression）;未加任何约束的回归称为无约束回归（unrestrictedregression）。\n一、模型参数的线性约束\n1、参数的线性约束\n2、参数线性约束检验对所考查的具体问题能否施加约束？需进一步进行相应的检验。常用的检验有：F检验、x2检验与t检验。F检验构造统计量；检验施加约束后模型的解释能力是否发生显著变化。\n受约束样本回归模型的残差平方和RSSR大于无约束样本回归模型的残差平方和RSSU。这意味着，通常情况下，对模型施加约束条件会降低模型的解释能力。\n如果约束条件为真，则受约束回归模型与无约束回归模型具有相同的解释能力，RSSR与RSSU的差异较小。可用（RSSR－RSSU）的大小来检验约束的真实性。\n例3.6.1中国城镇居民对食品的人均消费需求实例中，对零阶齐次性检验：取=5%，查得临界值F0.05(1,18)=4.41结论：不能拒绝中国城镇居民对食品的人均消费需求函数具有零阶齐次特性这一假设。无约束回归:RSSU=0.017748，kU=3受约束回归:RSSR=0.017787，KR=2样本容量n=22，约束条件个数kU-kR=3-2=1\n二、对回归模型增加或减少解释变量\n前者可以被看成是后者的受约束回归，通过约束检验决定是否增加变量。H0：\n三、参数的稳定性\n1、邹氏参数稳定性检验为了检验模型在两个连续的时间序列（1,2,…，n1）与（n1+1,…，n1+n2）中是否稳定，可以将它转变为在合并时间序列(1,2,…，n1，n1+1,…，n1+n2)中模型的约束检验问题。（1,2,…，n1）（n1+1,…，n1+n2）\n合并两个时间序列为(1,2,…，n1，n1+1,…，n1+n2)，则可写出如下无约束回归模型如果=，表示没有发生结构变化，因此可针对如下假设进行检验：H0:=施加上述约束后变换为受约束回归模型：\n检验的F统计量为：\n参数稳定性的检验步骤：分别以两连续时间序列作为两个样本进行回归，得到相应的残差平方：RSS1与RSS2将两序列并为一个大样本后进行回归，得到大样本下的残差平方和RSSR计算F统计量的值，与临界值比较。若F值大于临界值，则拒绝原假设，认为发生了结构变化，参数是非稳定的。该检验也被称为邹氏参数稳定性检验（Chowtestforparameterstability）。\n2、邹氏预测检验如果出现n2F(n2,n1-k-1)，则拒绝原假设，认为预测期发生了结构变化。\n例3.6.3中国城镇居民食品人均消费需求的邹氏检验。参数稳定性检验1985~1997：RSS1=0.00831998~2006：1985~2006:RSS2=0.0008RSSU=0.0178\n给定=5%，查表得临界值F0.05(3,16)=3.24结论：F值>临界值，拒绝参数稳定的原假设，表明中国城镇居民食品人均消费需求在1998年前后发生了显著变化。\n四、非线性约束\n说明非线性约束检验是建立在最大似然原理基础上的。主要的检验：最大似然比检验（likelihoodratiotest,LR）沃尔德检验（Waldtest,W）拉格朗日乘数检验（Lagrangemultipliertest,LM）它们的共同特点是：在大样本下，以共同的检验为基础，而自由度就是约束条件的个数。本节不作为教学内容，供有兴趣的同学自学。