统计学原理7

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第七章时间数列分析第一节时间数列一、概念：将反映某一现象数量变化的同类指标，按先后顺序排列而得的一列数称为时间数列。由此可见，时间数列有两个构成要素：一是指标数值，二是数值所属的时间。元月二月三月四月五月六月总产值（万元）70.6173.7176.1483.8390.10108.24\n二、种类：（一）绝对数时间数列：将一系列同类的总量指标按时间先后的顺序排列而成的数列。1、时期数列：数列中的每一个总量指标都是时期数。反映某种社会经济现象在一定时期内发展过程的总量。2、时点数列：数列中的每一个总量指标都是时点数。反映某种社会经济现象在一定时点上的状态或水平。\n（二）相对数时间数列：将一系列同类的相对指标按时间先后的顺序排列而成的数列。（三）平均数时间数列：将一系列同类的平均指标按时间先后的顺序排列而成的数列。\n派生时间数列绝对数数列相对数数列平均数数列时期数列时点数列\n年份199219931994199519961997职工工资总额（亿元）3939.24916.26656.48100.09080.09405.3年末职工人数（万人）147921484914849149081484514668国有经济单位职工工资总额所占比重(％)78.4577.5577.7845.0674.8176.69职工平均货币工资（元）271133714538550062106470\n三、编制时间数列的原则：1、指标所属的时间的可比性；2、总体范围的前后一致；3、计算的口径方法的可比性；4、经济内容的可比性。\n第二节动态水平指标一、发展水平：在一定时间社会经济现象发展达到的水平。注：可以是总量、相对、平均水平；\n时间数列中，各指标数值就是该指标所反映的社会经济现象在所属时间的发展水平。\n二、平均发展水平（一）由绝对数时间数列计算1、由时期数列计算a1a2a3……an\n由时期数列的序时平均数：算术平均法y1y2yiyn12……i……n…时期发展水平\n年份199119921993199419951996国内生产总值（亿元）2161826638346344675658478678851991～1996年平均国内生产总值：时期数列\n连续每天资料不同持续天内资料不变间隔时间相等间隔时间不等2、由时点数列计算※连续时点数列间断时点数列连续每天资料时点数列：\n简单：ā=∑a/nA.连续时点数列：{加权：ā=∑af/∑f\n例1、9月份30天中每日出勤人数分别为a1a2a3………a30，则该月平均出勤人数为ā=a1+a2+………a30/30例2、某企业9月1日在册人数为660人，月内职工人数变动情况为：11日调入5人，21日调出10人，26日调入3人，退休1人。试编制时间数列，并计算9月份的平均人数。\n日期1～10日11～20日21～25日26～30日人数660665655657ā=∑af/∑f=660×10+665×10+655×5+657×5/30=660.3（人）\n由间断时点每隔一段时间登记一次，表现为期初或期末值※间隔相等时，采用首末折半法计算一季度初二季度初三季度初四季度初次年一季度初B、间断时点数列的序时平均数\n日期1月1日2月1日3月1日4月1日库存额（万元）5105606146081/2×510+560+614+1/2×6081733ā=—————————————=——=577.733\n※间隔不相等时，采用时间间隔长度加权平均90天90天180天一季度初二季度初三季度初次年一季度初\n日期1月1日5月1日8月1日次年元旦人口（万人）5625715835941/2（562+571）4+1/2（571+583）3+1/2（583+594）5ā=——————————————————————————12=578.3（万人）\n（二）由相对数、平均数时间数列计算基本方法：先要计算构成相对数时间数列的分子和分母的平均数，然后在这两个平均数进行对比。例一月二月三月实际完成数计划数计划完成程度（%）1100100011021002000105300025001201100+2100+3000/3计划完成程度=————————=112.73%1000+2000+2500/3\n例1、某商品在甲、乙集市的价格资料如下，又知第一季度成交额甲集市为34万元，乙集市为14万元，问该商品在甲、乙两集市的平均价格分别是多少？总平均价格又是多少？集市1月1日2月1日3月1日4月1日甲乙1.21.21.31.41.41.41.51.6\n例2、某企业1—7月有关资料如下：月份1234567月初职工人数790810810830850880910总产值（万元）76.6173.7176.1483.8390.10108.24110计算该企业上半年月人均产值（劳动生产率）。\n三、增长量用来说明某种现象在一定时期内所增加或减少的绝对数量。增减量=a报-a基逐期增减量=an-an-1累计增长量=an-a0关系：an-a0=∑（an-an-1）\na0a1a2a3……an逐期增减量:a1-a0，a2-a1，a3-a2……an-an-1累计增长量:a1-a0，a2-a0，a3-a0……an-a0关系：an-a0=(a1-a0)+(a2-a1)+(a3-a2)+……+(an-an-1)=∑(an-an-1)\n四、平均增减量平均增减量=∑（an-an-1）/n=an-a0/n例：我国家用电冰箱产量如下：单位：万台时间19821983198419851986产量101955145225累计—945135215逐期—9369080平均增减量=225-10/4=53.75（万台）\n第三节、动态速度指标一、发展速度和增长速度：1、发展速度=a报/a基环比发展速度=an/an-1定基发展速度=an/a0二者关系：an/a0=∏an/an-1\na0a1a2a3……ana1a2a3an环比发展速度——————……——a0，a1，a2an-1,a1a2a3an定基发展速度——————……——a0，a0，a0a0a1a2a3anan二者关系：——×——×——……——=——a0a1a2an-1a0即an/a0=∏an/an-1\n2、增减速度=发展速度-100%环比增减速度=an/an-1–1定基增减速度=an/a0-1\n三、平均发展速度1、水平法：X=a1a2a3an（——×——×——×……×——）1/na0a1a2an-1\n2、方程式法a1=a0xa2=a1x=a0X2a3=a2x=a0X3……ai=ai-1x=a0Xia1+a2…..+ai=a0(X+X2……+Xi)\n练习1、某工厂1994年的工业总产值为40.25万元，2000年由于生产的发展工业总产值65.71万元，试计算1994年到2000年间工业总产值每年平均发展速度。2、某工厂2001年工业总产值为345万元，若计划每年平均增长12%，那么到2006年该厂的的总产值计划可达到多少万元？3、2000年甲地区工业生产总值为4.65亿元，乙地区地区生产总值为7.52亿元，第10个五年计划内期间，乙地区五年的总发展速度为213.68%（即每年平均增长速度16.4%），试问甲地区要在2005年内赶上乙地区，其平均增长速度为多少？\n4、某地区2001年的工业总产值为1500万元，2002年的工业总产值比2001年增长10%，2003年又比2002年增长10%，如果该地区到2010年（即2004～2010年）工业发展速度每年递增7.2%，那么到2010年该地区的工业总产值可达到多少万元？5、某制糖厂2002年生产糖5万吨，如果平均每年增长16%，问到多少年后糖的总产量可达40万吨？6、某县1994年总人口为53万人，人平售粮350斤，人平留粮650斤，预计今后人口每年增长8‰，如果要求2000年达到人平售粮600斤，人平留粮750斤的水平，则：（1）2000年粮食总产量为多少，总人口多少？（2）粮食产量需要平均年增长多少才能达到2000年的要求？（3）按上述粮食产量的计算速度，须经多少年粮食总产量才能比1994年增长1倍？（4）到2000年，该县粮食交售总量平均每年递增百分之几？\n第三节动态趋势分析一、时间数列的变动因素及分析模型影响时间数列变动的因素：长期趋势Trend——T季节变动Seasonalfluctuation——S循环变动Cyclicalfluctuation——C不规则变动Irregularvariations——I\n长期趋势，通常用T表示，指社会经济现象在一个较长时期内受某种基本因素影响，所呈现出的一种基本趋势，如上升或下降。季节变动，通常用S表示，指客观社会经济现象受季节更替等因素的影响，在一定时期内所呈现的周期性波动。通常以“年”为周期，也有以“月、周、日”为周期的—准季节变动。循环变动，通常用C表示，指社会经济现象中的呈现的周期性涨落起伏的交替变动。如：经济增长中：“繁荣－衰退－萧条－复苏－繁荣”—商业周期；固定资产或耐用消费品的更新周期等。不规则变动，通常用I表示，指社会经济现象受些临时的、偶然因素的影响而引起的非规律性变动。自然灾害、意外事故、政治事件；大量无可言状的随机因素的干扰。\n分析模型：加法模型：Y=T+C+S+I乘法模型：Y=T×C×S×I\n二、长期趋势的测定与分析（一）时距扩大法：将时间数列中较短的时距适当扩大，再根据扩大了的时间单位，合并时间数列的指标值，从而得出一个扩大了时距的新时间数列。作用：消除较小时距单位内偶然因素的影响，显示现象变动的基本趋势例某厂各月产值月份123456789101112产值（万元）414252434550534051495654\n季度1234总产值平均月产值13545138461444815953\n\n（二）移动平均法：是测定时间序列趋势变动的基本方法。对时间数列的各项数值，按照一定的时距进行逐期移动，计算出一系列序时平均数，形成一个派生的平均数时间数列，以此削弱不规则变动的影响，达到对原序列进行修匀的目的，显示出原数列的长期趋势。若原数列呈周期变动，应选择现象的变动周期作为移动的时距长度。\n原数列移动平均新数列1、奇数项移动平均\n\n——555814.5528415.8———566074.0566061.0539793.7496847.3—580819200354813320025692702001580780200046933119994404311998n=4n=3移动平均数产量（y吨）年份例如\n注意事项：1）移动平均数可以反映事物发展的趋势；2）移动项数n和周期长度一致，可以消除周期波动的影响；3）修匀数列损失的项数：n为奇，首尾共损失n-1项数据；n为偶，首尾共损失n项数据；4）n越大，修匀数列越平缓。\n半数平均法系对直线趋势拟合的一种方法。它是把时间数列的全期分为前后相等的两部分，每一部分都计算出其算术平均数。接着，以这两个算术平均数为纵坐标，以这两部分的中点时间为横坐标，可得两点。再求经过这两点的直线，即为历时曲线的直线拟合方程。半数平均法可用于某种程度的预测。采用半数平均法，当时间数列的项数为偶数时，每部分有n／2项；每部分中点时间为每部分中间时间之和除以2。当时间数列的项数为奇数时，则中间一项不予考虑（或考虑两次），为的是每部分中点时间能取整数。（三）半数平均法\n年份Yt拟合值Yc19901991199219931994199519961997199819992000200120021.731.922.403.083.573.753.954.064.765.595.495.755.98123(4)56789(10)1112131.822.192.552.913.273.644.004.364.725.085.445.816.17(单位:108m2)\n（四）最小平方法（线性方程为例）趋势线性方程：Yc=a+bt1、原数列与趋势线的离差之和为0；即∑（Y-Yc）=02、原数列与趋势线的离差平方之和最小即：∑（Y-Yc）2=min\nQ=∑（Y-Yc）2=∑（Y–a-bt）2=min对a求偏导数：∂Q——=2∑（Y-a-bt）（Y-a-bt）’∂a=2∑（Y-a-bt）（-1）=-2∑（Y-a-bt）=0(1)对b求偏导数：∂Q——=2∑（Y-a-bt）（Y-a-bt）’∂b=2∑（Y-a-bt）（-t）=-t2∑（Y-a-bt）=0(2)\n整理（1）（2）式后得方程组：\n用最小平方法求解参数a、b，有直线趋势的测定：最小二乘法直线趋势方程：经济意义：数列水平的平均增长量\n仍以前题为例：tYt2tY012345678910114142524345505340514956540149162536496481100121042104129180250318280408441560594665765063306\n代入方程组576=12a+66ba=42.693{得{3306=66a+506bb=0.965趋势方程为：Yc=a+bt=42.963+0.965t\n简捷法：若使∑t=0，当t=0时，有N为奇数时，令t=…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…N为偶数时，令t=…，-5，-3，-1，1，3，5，…\n[例]根据前表的资料，用最小平方法，求我国城镇新建住宅面积的直线趋势的拟合方程(参见右表)。\n例：某地区家用洗衣机销量如下年份产量（万台）199819992000200120026871757984合计377\n年份tyt2ty19981999200020012002-2-1012687175798441014-136-71079168合计03771040a=∑y/n=377/5=75.4b=∑Yt/∑t2=40/10=4趋势方程为：Yc=a+bt=75.4+4t\ntyt2ty0123468717579840149160711502373361037730794若不用简捷算法：∑Y=na+b∑t377=5a+10ba=67.4∑Yt=a∑t+b∑t2794=10a+30bb=4Yc=a+bt=67.4+4t\ntYt2tY-11-9-7-5-3-113579114142524345505340514956541218149259119254981121-451-378-364-215-135-50531202553435045940576572276\na=∑y/n=576/12=48b=∑Yt/∑t2=276/572=0.4825趋势方程为：Yc=a+bt=48+0.4825t\n练习：某地区2001——2005年某种产品产量资料如下：年份产量（万吨）200120022003200420052006202224273032求出产量的趋势线，并预测2008年、2010年这种产品可能达到的产量。\n三、季节变动的测定（同期平均法）步骤：1、求出每年各期平均数；2、求出各年同期平均数；3、求出总的各期平均数；4、将各年同期平均数与总的各期平均数相比，即得各期的季节比率。年份一季度二季度三季度四季度各季平均20012002200320046570606533034032035017016017018070806070158.75162.50152.50166.25同季平均6533517070160.00季节比率40.625209.375106.25043.750100.00\n练习：1、某企业元月份产值及每日在册工人数资料如下，试求该企业元月份的月劳动生产率。总产值（万元）每日在册工人数1－15日16－21日22－31日31.5230212245\n2、某地区七年工业总产值资料如下：年份1999200020012002200320042005工业总产值（亿元）1802002082142202332411、用三项移动平均法求长期趋势；2、用最小平方法求出趋势线方程式，并预测2007年的工业总产值。\n3、某城市毛线销售量如下，计算毛线销售量的季节比率：年份12345678910111220022003200420058152428691514246812.5430.6121.20.40.81.10.90.81.23.23.71.2244.823.578.358.515142134424725354851\n时间数列的速度分析指标时间数列的水平分析指标发展水平增长量平均发展水平平均增长量增长速度发展速度平均增长速度平均发展速度动态平均指标动态比较指标总结\n