年6 月大学物理

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第24卷第6期大学物理Vol.24No.62005年6月COLLEGEPHYSICSJune.2005混合气体输运系数的推导符五久,何娟美(东华理工学院物理系,江西抚州344000)摘要:首先研究了混合气体的碰撞机构,从微观上解释了道尔顿分压定律,然后推导了混合气体的三种输运系数,得到了有意义的结果.关键词:混合气体;平均自由程;输运系数中图分类号:O55212文献标识码:A文章编号:100020712(2005)0620031205研究混合气体的输运过程对于物理、化学、生物1kTλBB==(8)等领域具有重要的理论和实际意义.而输运过程与2σBnB2σBpB分子的碰撞密切相关,因此,为了研究混合气体的输BA碰撞ZBA=σBA…vBAnA=σAB…vABnA(9)运过程,我们首先讨论混合气体的碰撞机构.1kTλBA==(10)σABnAσABpA1混合气体的碰撞机构式(5)、(9)中…vAB、…vBA是A类分子与B类分子间平采用分子的刚球模型,对非混合气体,我们以分均相对运动速率,可以证明它由下式决定:子的运动径迹为轴线作一折柱体的办法,求得分子8kT8kT11…vAB==+(11)πμπmAmB的碰撞频率和平均自由程分别为:由上述讨论可知,不同类分子之间的碰撞不具有交Z=2σ…vn(1)换对称性.…v1kTλ===(2)A类分子中某一分子与其他分子碰撞的总频率Z2σn2σp为式中,σ、…v、n分别代表分子的碰撞截面、平均运动速率、分子数密度.式(2)中的第三个等式是认为气ZA=ZAA+ZAB=2σA…vAnA+σAB…vABnB(12)体足够稀薄,即气体分子之间的距离比起分子本身相应可得A类分子在混合气体中作热运动的平均的线度要大得多,具有理想气体的特征,应用理想气自由程为体的压强公式而得到的.…vA1λA===为简单起见,考虑由A、B两类分子组成的处于ZAmA2σAnA+σABnBμ平衡态(p,V,T)的混合气体.则碰撞的形式有A分子与A分子碰撞,称为AA碰撞;A分子与B分子kT(13)mA碰撞,称为AB碰撞;B分子与B分子碰撞,称为BB2σApA+σABpBμ碰撞;B分子与A分子碰撞,称为BA碰撞.对这四111种碰撞机构,采用刚球模型,仿照化学纯气体平均自或=+(14)λAλAAmA由程的推导方法,得碰撞频率和平均自由程分别为:λABμAA碰撞ZAA=2σA…vAnA(3)mAmB其中μ=是约化质量.1kTmA+mBλAA==(4)2σAnA2σApA同理,可得B类分子中某一分子与其他分子碰AB碰撞ZAB=σAB…vABnB(5)撞的总频率为1kTZB=ZBB+ZBA=2…vBσBnB+…vBAσABnA(15)λAB==(6)σABnBσABpB相应得B类分子在混合气体中作热运动的平均自BB碰撞ZBB=2σB…vBnB(7)由程为收稿日期:2004-04-01;修回日期:2004-12-05作者简介:符五久(1956—),男,安徽无为人,东华理工学院物理系教授,主要从事物理教学和研究.©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net\n32大学物理第24卷…vB1的简化假设:分子以平均速率v运动,1/6分子沿zλB===ZBmB轴从一方到另一方的输运,平均在距dS面λ(即分2σBnB+σABnAμ子在混合气体中的平均自由程)处碰撞,输运过程是kT近平衡的非平衡过程,即空间宏观不均匀性(如温度(16)mB梯度,速度梯度,分子数密度梯度)都不大,因而不管2σBpB+σABpAμ分子以前的平均数值如何,它经过一次碰撞后就具111或=+(17)有在新的碰撞地点的平均动能、平均定向动量及平λBλBBmBλBA均数密度,即一次碰撞“同化”;所讨论的气体足够稀μ薄,即气体分子之间的距离比起分子本身的线度要这就是说,在混合气体中,A类分子平均走λA的路大得多,具有理想气体的特征,但又不是太稀薄;混程不是与同类分子碰撞就是与B类分子碰撞一次,合气体由A、B两种气体组成,它们的分子数密度分B类分子平均走λB的路程不是与同类分子碰撞就别为nA,nB,nA+nB=n,n是混合气体的分子数是与A类分子碰撞一次.上面得到的公式是混合气密度.体碰撞的基本关系式,在解释输运过程等方面有广3.1混合气体的黏度泛的应用.设在稳定层流的混合气体中,定向运动速度方2道尔顿分压定律的微观解释向垂直于z轴,大小沿z轴分布,即u=u(z).假想在z0处取一垂直于z轴的平面dS,则dt时间内通由式(4)和式(10)得A气体的分压强为过dS面交换分子的方式有4种,如图1所示.kTkTpA==(18)2σAλAAσABλBA由式(8)和式(6)得B气体的分压强为kTkTpB==(19)2σBλBBσABλAB上两式相加得kTkTpA+pB=+=2σAλAA2σBλBBkT11+(20)σABλBAλAB式(20)第二个等式的左边与各组分气体的碰撞参量有关,右边与混合气体的碰撞参量有关.如果我们引入混合气体的约化平均自由程λ,即111=(+)(21)λλBAλAB图1则可定义混合气体的压强为kT1)交换A分子,即发生AA碰撞.这种方式沿p=(22)σABλz轴输运的定向动量为于是,式(20)正是道尔顿分压定律的微观解释.其15udKA=-ρAλ…A…vAdSdt(23)中,λ的含义是把混合气体的碰撞等效为一种单纯35zz0气体的碰撞的平均自由程,而不去区分A类分子与2)交换B分子,即发生BB碰撞.这种方式沿zB类分子之间的差异.轴输运的定向动量为15u3输运系数的推导dKB=-3ρB5zλ…B…vBdSdt(24)z0下面用分子碰撞截面及分子平均自由程来导出3)交换A、B两类分子,其中A类分子在dS面混合气体输运系数的表达式.推导过程中用了下面上方,B类分子在dS面下方,即发生BA碰撞,这种©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net\n第6期符五久等:混合气体输运系数的推导33方式沿z轴输运的定向动量为于是,得导热系数为11A1BdKBA=(ρB…vB-ρA…vA)u(z0)dSdt-κ=ρA…vAλ…AcV+ρB…vBλ…BcV=κA+κB(31)63315u其中(ρBλ…B…vB+ρAλ…A…vA)dSdt(25)65zz01A1BκA=ρA…vAλ…AcV,κB=ρB…vBλ…BcV(32)334)交换A、B两类分子,其中B类分子在dS面式(32)是A气体和B气体单独存在(保持单独运动上方,A类分子在dS面下方,即发生AB碰撞,这种的平均自由程与混合气体中运动的平均自由程相方式沿z轴输运的定向动量为等)时的导热系数,其中的平均自由程由式(13)或式1dKAB=(ρA…vA-ρB…vB)u(z0)dSdt-(16)决定.式(32)还可推广到两种以上气体组成的615u混合气体.(ρBλ…B…vB+ρAλ…A…vA)dSdt(26)65zz0下面我们以空气为例来比较上述理论与实验符在混合气体中,A气体中一个分子要么与同类分合的程度.设空气是由氮(N2)、氧(O2)、氩(Ar)组子相碰,要么与B类分子相碰,若以A类分子在混合成,在标准状况下,这三种成分的体积百分比分别约气体中运动的平均自由程λ€A作碰撞参量时,将不去为78%、21%、1%.由此可算出三种组分气体的密区分它是与A类分子碰撞还是与B类分子碰撞,它度,再由有关参考资料查得氮(N2)、氧(O2)、氩(Ar)们的碰撞概率各占1/2.同理,B气体中一个分子以平相关数据(101325Pa,0℃),一并填入表1中.(表均自由程λ€B作热运动时,它与同类分子碰撞和与A中ρ为密度,cV为比定容热容,m为分子质量,d类分子碰撞的概率也是各为1/2.于是,在dt时间内为分子有效直径).通过dS面,沿z轴输运的定向动量为表1标准状况下,空气组分气体有关物理参量1111气体dK=dKA+dKAB+dKB+dKBAρ/(kg·m-3)c/(kJ·kg-1·℃-1)m/10-26kgd/10-10m2222V名称将式(23)～(26)代入上式得N20.970.744.653.7115uOdK=-ρA…vAλ…A+ρB…vBλ…BdSdt20.30.665.323.6335zz0Ar0.020.316.643.3(27)因此,得黏度为根据表1中的数据,由我们的理论计算的三种11η=ρA…vAλ…A+ρB…vBλ…B=ηA+ηB(28)组分气体分子在标准状况下的空气中的平均自由程33分别为:其中:-8氮气分子:λ…≈6.24×10m11ηA=ρA…vAλ…A,ηB=ρB…vBλ…B(29)-833氧气分子:λ…≈6.24×10m-8应注意的是,式(29)中的平均自由程由式(13)或式氩气分子:λ…≈6.31×10m(16)决定.式(29)是A气体和B气体单独存在(保在标准状况下空气的黏度、导热系数分别为:-72持单独运动的平均自由程与混合气体中运动的平均η≈119.82×10N·s/m-3自由程相等)时的黏度.式(28)还可推广到多于两种κ≈8.61×10W/(m·℃)气体组成的混合气体.对文献[6]中的实验数据进行线性拟合,可得标3.2混合气体的导热系数准状况下空气的黏度、导热系数的实验值分别为:-72设静止混合气体中密度处处均匀,仅温度沿zη≈171.18×10N·s/m-3轴不均匀,即T=T(z),与黏度完全类似的推导,κ≈24.15×10W/(m·℃)可得混合气体在dt时间内通过dS面,沿z轴输运比较可见,理论值比实验值小,考虑到空气中还的热量为有其他气体参与输运,结果还会有所改善.黏度的理1A1B5T论值与实验值量级相同,导热系数的理论值与实验dQ=-ρAv…Aλ€AcV+ρBv…Bλ€BcVdSdt335zz0值相差一个量级,这与单纯气体初级输运理论的结(30)果在精度上是相当的,作为一个混合气体的初级输©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net\n34大学物理第24卷运理论,这应该是一个满意的结果.(13)或式(16)决定.利用式(34),式(39)可改写为3.3扩散系数15nAdN=-(…vAλ…A-…vBλ…B)dSdt(42a)设静止混合气体中压强、温度处处相等,但两种35zz0气体的分子数密度沿z轴不均匀,即ni=ni(z)(i15nBdN=-(…vBλ…B-…vAλ…A)dSdt(42b)=A,B).讨论纯扩散问题(不产生宏观气流),则要35zz0求式(42a)是沿A气体密度减小方向净输运的分子pA(z)+pB(z)=p=常量(33)数,式(42b)是沿B气体密度减小方向净输运的分即nA(z)+nB(z)=n=常量(34)子数.当两种气体存在差异时,输运系数仿上面的推导方法,可得在dt时间内通过dSD=1(…vλλ)(43)A…A-…vB…B3截面沿z轴输运的A类分子数为不等于零,出现宏观上的气体输运.为了得到纯扩15nAdNA=-…vAλ…AdSdt(35)散,必须令式(43)等于零,即35zz0…vAλ…A=…vBλ…B(44)在dt时间内通过dS截面沿z轴输运的B类8kT分子数为将式(13)、(16)和…v=代入上式,整理得πm15nBdNB=-…vBλ…BdSdt(36)σBmAmA35zz-0ρAσABmA+mBmB=(45)在dt时间内通过dS截面交换A、B分子,沿zρBσAmBmB-轴净输运的分子数为σABmA+mBmA1式(45)是混合气体进行纯扩散时所必须满足的条dNAB=nA(z0)…vA-nB(z0)…vBdSdt-6件.若分子之间存在较大差异时,很难使式(45)成1…vAλ…A5nA+…vBλ…B5nB立,也就得不到纯扩散过程.两类分子之间的差异dSdt(37)65zz5zz00越小,式(45)越容易得到满足,这就是为什么教材在dt时间内通过dS截面交换B、A分子,沿z中选用同位素原子组成分子来讨论纯扩散问题的轴净输运的分子数为原因.1dNBA=nB(z0)…vB-nA(z0)…vAdSdt-64结论15nA5nB…vAλ…A+…vBλ…BdSdt(38)通过以上讨论,我们可得以下几点结论:65zz5zz001)在混合气体中,不同气体分子的碰撞频率、以上4种效应共同输运的分子数为平均自由程是不同的;不同气体分子之间的碰撞不1111dN=dNA+dNAB+dNB+dNBA具有交换对称性,即A碰B和B碰A是不等价的.22222)由式(27)可得混合气体的内摩擦力将式(35)～(38)代入上式得dK15u15nA15nBF==-ρA…vAλ…AdS-dN=-v…Aλ€AdSdt-v…Bλ€BdSdtdt35zz35zz35zz00015u(39)ρB…vBλ…BdS=FA+FB35zz0式(39)中第一项是输运A气体的分子数,第二项是其中,FA和FB分别是A气体和B气体单独存在输运B气体的分子数.于是,我们得到A气体和B(保持与混合气体中运动的平均自由程相等)时的内气体的扩散系数分别为:摩擦力.可见,混合气体的内摩擦力等于各组分单独1DA=…vAλ…A(40)存在时的内摩擦力之和.这也反映在混合气体的黏3度等于各组分单独存在时的黏度之和.1DB=…vBλ…B(41)33)由式(31)可知,混合气体的导热系数等于各式(40)和式(41)分别是A气体和B气体单独存在(保组分单独存在(保持与混合气体中运动的平均自由持单独运动的平均自由程与混合气体中运动的平均程相等)时的导热系数之和.自由程相等)时的扩散系数,其中的平均自由程由式4)混合气体的扩散系数就等于自扩散系数(保©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net\n第6期符五久等:混合气体输运系数的推导35持与混合气体中运动的平均自由程相等).要得到纯1998.242.扩散过程,必须要选择密度、分子质量、碰撞截面相[3]雷克LE.统计物理现代教程(下册)[M].黄田匀等译.北同的气体进行扩散京:北京大学出版社,1985.521..[4]王竹溪.统计物理学导论[M].第2版.北京:高等教育参考文献:出版社,1965.123.[5]祖巴列夫ДH.非平衡统计热力学[M].李源柏,郑哲[1]李椿,章立源,钱尚武.热学[M].北京:高等教育出版洙译.北京:高等教育出版社,1984.325.社,2003.111.[6]钱滨江,伍贻文,常家芳,等.简明传热手册[M].北京:[2]赵凯华,罗蔚茵.热学[M].北京:高等教育出版社,高等教育出版社,1983.388.DerivationofthetransportcoefficientsincompositegasFUWu2jiu,HEJuan2mei(DepartmentofPhysics,EastChinaInstituteofTechnology,Fuzhou,Jiangxi344000,China)Abstract:Firstly,thecollisionmechanismincompositegasisstudied.Thereout,microscopicmeaningsofthelawofDaltonpscomponentialpressureareexplained.Lastly,thecoefficientofviscocity,heatconductivity,andco2efficientofdiffusionforcompositegasarederived.Sigmificativeresultsareobtained.Keywords:compositegas;meanfreepath;transportcoefficient动态信息光学元件库———欧普特科技北京欧普特公司参照国际通常规格及技术指标,备有完整系列的精密光学零部件(备有产品样本供参考),供国内各大专院校、科研机构、实验室随时选用,公司同时可为用户提供技术咨询.光学透镜:平凸,双凸,平凹,双凹,消色差胶合透镜等,直径Á1～150mm;焦距1～1000mm;材料包括光学玻璃,紫外石英玻璃,有色光学玻璃,红外材料.光学棱镜:1～50mm各种规格直角棱镜,及其他常用棱镜.光学反射镜:各种尺寸规格的镀铝,镀银,镀金,及介质反射镜.直径Á5～200mm.光学窗口:各种尺寸规格、材料的光学平面窗口,平晶.直径Á5～200mm.各种有色玻璃滤光片:规格Á5～200mm(紫外,可见,红外).紫外石英光纤:进口紫外石英光纤,SMA接口光纤探头,紫外石英聚焦探头.单位:北京欧普特科技有限公司电话:010-88096218/88096217传真:010-88096216地址:北京市海淀区知春路49号希格玛大厦B座306室邮编:100080网址:www.goldway.com.cn电子邮件:optics@goldway.com.cnkevinchen@goldway.com.cnliuchuanfeng@goldway.com.cn陈锵先生,刘传峰先生,石冀阳小姐©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net