大学物理北邮版

大学物理北邮版

习题11.1选择题r(1)一运动质点在某瞬时位于矢径r(x,y)的端点处，其速度大小为rdrdr(A)(B)dtdtrd|r|dx2dy2(C)(D)()+()dtdtdt[答案：D]2(2)一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v=2m/s，瞬时加速度a=−2m/s，则一秒钟后质点的速度(A)等于零(B)等于-2m/s(C)等于2m/s(D)不能确定。[答案：D](3)一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t秒转一圈，在2t时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为2πR2πR2πR(A),(B)0,ttt2πR(C)0,0(D),0t[答案：B]1.2填空题−1(1)一质点，以πm⋅s的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在5s内，位移的大小是；经过的路程是。[答案：10m；5πm](2)一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t(SI)，如果初始时刻质点的-1速度v0为5m·s，则当t为3s时，质点的速度v=。-1[答案：23m·s]rrr(3)轮船在水上以相对于水的速度V航行，水流速度为V，一人相对于甲板以速度V行走。123rrr如人相对于岸静止，则V、V和V的关系是。123rrr[答案：V+V+V=0]123\n1.3一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：(1)物体的大小和形状；(2)物体的内部结构；(3)所研究问题的性质。解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。1.4下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？3222（1）x=4t-3；（2）x=-4t+3t+6；（3）x=-2t+8t+4；（4）x=2/t-4/t。给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x单位为m，t单位为s）解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。其速度和加速度表达式分别为dxvt==+48dt2dxa==42dt2t=3s时的速度和加速度分别为v=20m/s，a=4m/s。因加速度为正所以是加速的。1.5在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？(1)匀速直线运动；(2)匀速曲线运动；(3)变速直线运动；(4)变速曲线运动。解：(1)质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零；(2)质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零；(3)质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；(4)质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。drdrdvdv1.6｜∆r｜与∆r有无不同?和有无不同?和有无不同?其不同在哪里?dtdtdtdt试举例说明．vv解：（1）∆r是位移的模，∆r是位矢的模的增量，即∆r=r−r，∆r=r−r；2121drdrds（2）是速度的模，即=v=.dtdtdtdr只是速度在径向上的分量.dtdrdrdrˆ∵有r=rrˆ（式中rˆ叫做单位矢），则=rˆ+rdtdtdtdr式中就是速度在径向上的分量，dt\ndrdr∴与不同如题1.6图所示.dtdt题1.6图vdvvdvdv(3)表示加速度的模，即a=，是加速度a在切向上的分量.dtdtdtvv∵有v=vτ(τ表轨道节线方向单位矢），所以vvdvdvvdτ=τ+vdtdtdtdv式中就是加速度的切向分量.dtdrvˆdτvˆ(Q与的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论)dtdt1.7设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求222drdr出r＝x+y，然后根据v=及a＝而求得结果；又有人先计算速度和加速度的2dtdt分量，再合成求得结果，即　222222dxdydxdyv=+，a=+你认为两种方法哪一种22dtdtdtdt正确？为什么？两者差别何在？vvv解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r=xi+yj，vvdrdxvdyv∴v==i+jdtdtdtv22v2vvdrdxdya==i+j222dtdtdt故它们的模即为2222dxdyv=vx+vy=+dtdt222222dxdya=a+a=+xydt2dt2而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作\n2drdrv=a=2dtdt2drdrdr其二，可能是将与误作速度与加速度的模。在1.6题中已说明不是速度的模，2dtdtdt2dr而只是速度在径向上的分量，同样，也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中2dt22drdθv的一部分a径=2−r。或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即dtdtvv量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速度v的方向随时间的变化率对速度、加速度的贡献。1.8一质点在xOy平面上运动，运动方程为12x=3t+5,y=t+3t-4.2式中t以s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1s时刻和t＝2s时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4s时质点的速度；(5)计算t＝0s到t＝4s内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．　vv1v2解：（1）r=(3t+5)i+(t+3t−4)jm2(2)将t=1,t=2代入上式即有vvvr=8i−0.5jm1vvvrij=11+4m2vvvvv∆=−=+rrri34.5jm21vvvvvv(3)∵rij=−54,1rij=+71604vvvvvv∆rr4−r012i+20jvv−1∴v====3i+5jm⋅s∆t4−04vvdrvv−1(4)v==3i+(t+3)jm⋅sdtvvv−1则v=3i+7jm⋅s4vvvvvv(5)∵v=3i+3j,v=3i+7j04\nvvvvv∆vjvv40−4v−2aj====1m⋅s∆t44vvdvv−2(6)a==1jm⋅sdt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。2−21.9质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为a＝2+6x，a的单位为m⋅s，x的单位−1为m.质点在x＝0处，速度为10m⋅s,试求质点在任何坐标处的速度值．dvdvdxdv解：∵a===vdtdxdtdx2分离变量：vvadxd(==+26xx)d两边积分得123v=2x+2x+c2由题知，x=0时，v=10,∴c=5003−1∴v=2x+x+25m⋅s−21.10已知一质点作直线运动，其加速度为a＝4+3tm⋅s，开始运动时，x＝5m，v=0，求该质点在t＝10s时的速度和位置．dv解：∵a==4+3tdt分离变量，得dv=(4+3t)dt32积分，得v=4t+t+c12由题知，t=0,v=0,∴c=00132故v=4t+t2dx32又因为v==4t+tdt232分离变量，dx=(4t+t)dt2213积分得x=2t+t+c22由题知t=0,x=5,∴c=502\n213故x=2t+t+52所以t=10s时32−1v=4×10+×10=190m⋅s102213x=2×10+×10+5=705m10231.11一质点沿半径为1m的圆周运动，运动方程为θ=2+3t，式中θ以弧度计，t以秒计，求：(1)t＝2s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?dθ2dω解：ω==9t,β==18tdtdt−2(1)t=2s时，a=Rβ=1×18×2=36m⋅sτ222−2a=Rω=1×(9×2)=1296m⋅snο(2)当加速度方向与半径成45角时，有aτtan45°==1an2即Rω=Rβ22亦即(9t)=18t32则解得t=9于是角位移为32θ=+=+×=23t232.67rad9121.12质点沿半径为R的圆周按s＝vt−bt的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的02弧长,v，b都是常量，求：(1)t时刻质点的加速度；(2)t为何值时，加速度在数值上等0于b．ds解：（1）v==v−bt0dt\ndva==−bτdt22v(v0−bt)a==nRR4(v−bt)2220则a=a+a=b+τn2R加速度与半径的夹角为aτ−Rbϕ=arctan=2an(v0−bt)(2)由题意应有4(v−bt)20a=b=b+2R422(v0−bt)4即b=b+,⇒(v−bt)=020Rv0∴当t=时，a=bb−21.13飞轮半径为0.4m，自静止启动，其角加速度为　β=ٛ0.2rad·s，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度．　−1解：当t=2s时，ω=βt=0.2×2=0.4rad⋅s−1则v=Rω=0.4×0.4=0.16m⋅s22−2a=Rω=0.4×(0.4)=0.064m⋅sn−2a=Rβ=0.4×0.2=0.08m⋅sτ2222−2a=a+a=(0.064)+(0.08)=0.102m⋅snτ-1-11.14一船以速率v＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v＝40km·h12沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少?vvr解：(1)大船看小艇，则有v=v−v，依题意作速度矢量图如题1.14图(a)2121\n题1.14图22−1由图可知v=v+v=50km⋅h2112v31方向北偏西θ=arctan=arctan=36.87°v42vvr(2)小艇看大船，则有v=v−v，依题意作出速度矢量图如题1.14图(b)，同上法，得1212−1v=50km⋅h12o方向南偏东36.87.