大学物理波函数

大学物理波函数

1薛定谔方程§15-1波函数及其统计诠释§15-2薛定谔方程§15-3力学量的算符表示和平均值§15-4一维势阱和势垒问题\n2波函数的统计解释一、波函数和概率波二、物理对波函数的要求三、自由粒子的波函数\n3一、波函数和概率波1.波函数物质波波函数写成2.玻恩（M.Born）假设物质波不代表实在物理量的波动而是刻划粒子在空间概率分布的概率波玻恩获得1954年诺贝尔物理学奖\n4I大光子出现概率大I小光子出现概率小波动性:某处明亮则某处光强大即I大粒子性:某处明亮则某处光子多即N大光子数NIE02光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比对比光的波粒二象性\n5概率幅模的平方3.概率密度2)概率密度叫概率密度1)概率幅物质波的波函数是描述粒子在空间概率分布的“概率振幅”\n6ΨrdVxyz代表t时刻在端点处单位体积中发现一个粒子的概率t时刻在端点附近dV内发现粒子的概率为：概率密度物理涵义\n72)有物理意义的是对于概率分布来讲重要的是相对概率分布波函数可以有一个常数因子的不确定性即和描写同一个概率波讨论它无直接的物理意义波函数是复数不同于经典波的波函数1)\n8先看经典波：声波的干涉通过上缝的声波用描述通过下缝的声波用描述双缝齐开时的声波为振幅矢量相加4.用电子双缝衍射实验说明概率波的含义\n9声强为+干涉项干涉项再看物质波：电子的相干性注意差别之处双缝齐开时的声波为\n10电子的状态用波函数描述只开上缝时电子有一定的概率通过上缝其状态用1描述只开下缝时电子有一定的概率通过下缝其状态用2描述\n11双缝齐开时总概率幅出现了干涉干涉项总概率密度电子可通过上缝也可通过下缝通过上下缝各有一定的概率\n121)干涉是概率波的干涉是由于概率幅的线性叠加产生的2)即使只有一个电子当双缝齐开时两部分概率幅的叠加就会产生干涉3)微观粒子的波动性实质上就是概率幅的相干叠加性它的状态也要用来描述结论\n13经典--声波双缝齐开时的声波为声强为+干涉项干涉项物质波---电子双缝齐开时总的概率幅为与经典粒子不同振幅概率幅\n142波函数统计诠释量子力学中描述微观粒子的波函数本身是没有直接物理意义的,具有直接物理意义的是波函数的模的平方，它代表了粒子出现的概率。微观粒子的运动状态称为量子态，是用波函数来描述的，这个波函数所反映的微观粒子波动性，就是德布罗意波。（量子力学的基本假设之一）玻恩指出：德布罗意波或波函数不代表实际物理量的波动，而是描述粒子在空间的概率分布的概率波。\n15或概率密度为波函数是单值的、连续的和有限的。波函数允许包含一个任意的常数因子。归一化条件微观粒子的概率波的波函数是，那么概率正比于波函数和A(A是常数)描述了同一个量子态，对于空间任意两点和有\n16\n17\n18态叠加原理（一个基本假设）如果波函数,,…都是描述系统的可能的量子态，那么它们的线性叠加也是这个系统的一个可能的量子态。宇称：是描述微观粒子波函数在空间反演下所具有的一种对称性。偶宇称(或正宇称)奇宇称(或负宇称)\n19例1:已知描述粒子的归一化波函数为(t,x,y,z)，求在t时刻、在x到x+dx的无限大薄层内发现粒子的概率。解:体积元内的概率为该薄层中发现粒子的概率例2:用电子束进行双缝衍射实验，先将狭缝B遮盖，电子穿过狭缝A到达屏上任意一点P的状态为1，后将狭缝A遮盖，电子穿过狭缝B到达屏上任意一点的P状态为2。求将两狭缝打开，电子同时穿过A和B两个狭缝到达屏上点P的概率密度。解:由线性叠加，得屏上点P发现电子的概率密度为\n20\n21二薛定谔方程1、含时薛定谔方程自由粒子的平面波函数为根据德布罗意关系式，得将上两式代入前式，得\n222.写薛定谔方程的简单路径自由粒子波函数微分注意到替换关系\n23写出非相对论经典粒子能量动量关系式如自由粒子得到自由粒子满足的薛定谔方程令上述关系作用于波函数将替换关系代入写成写出薛定谔方程的基本过程\n243.有势场中粒子的薛定谔方程一维有势场U(x,t)中的粒子经典关系式替换后关系式令其作用于波函数得到一维有势场中粒子满足的薛定谔方程\n25三维有势场中粒子的薛定谔方程薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程是量子力学的基本假设利用写为\n26\n27\n28\n29\n304、定态薛定谔方程因势场只是坐标的函数，所以有将上式代入薛定谔方程，得由于时间和坐标是独立变量，上式可分成两个方程。方程1:其解为方程2:定态薛定谔方程特解为概率密度分布为\n31\n321.由粒子运动的实际情况正确地写出势函数U(x)2.代入定态薛定谔方程3.解方程4.解出能量本征值和相应的本征函数5.求出概率密度分布及其他力学量量子力学解题的一般思路\n33a金属U(x)U=U0U=U0EU=0x极限U=0EU→∞U→∞U(x)x0a无限深方势阱（potentialwell）一、一维无限深方形势阱功函数§19-8一维势阱和势垒问题\n34U=0EU→∞U→∞U(x)x0a特点：粒子在势阱内受力为零势能为零在阱内自由运动在阱外势能为无穷大在阱壁上受极大的斥力不能到阱外\n351.势函数粒子在阱内自由运动不能到阱外二、薛定谔方程和波函数阱外0阱内0\n362.哈密顿量3.定态薛定谔方程阱外：阱内：0\n37根据波函数有限的条件阱外1)阱外4.分区求通解\n38令2)阱内为了方便将波函数脚标去掉将方程写成通解式中A和B是待定常数\n395.由波函数标准条件和边界条件定特解通解是(1)解的形式解的形式为(2)能量取值\n40A已经为零了B不能再为零了即只能要求能量可能值\n41(3)本征函数系由归一性质定常数B得本征函数\n42\n43\n44概率密度由此式知：一维无限深方势阱的能谱是分立谱,这个分立的能谱就是量子化了的能级。\n45\n46小结：本征能量和本征函数的可能取值\n47一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度oaao\n48时，量子经典玻尔对应原理|2Ψn|an很大En0\n49\n50\n51\n52二、势垒穿透和隧道效应有限高的势垒在P区和S区薛定谔方程的形式为其中在Q区粒子应满足下面的方程式式中\n53用分离变量法求解，得(P区)(Q区)(S区)在P区，势垒反射系数在Q区，势垒透射系数粒子能够穿透比其动能高的势垒的现象，称为隧道效应。如图是在隧道效应中波函数分布的示意图。隧道效应的应用：扫描隧道显微镜(STM)隧道二极管\n54二、有限宽势垒和隧道效应隧道效应EΨ1Ψ20aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区x=aΨ3\n55隧道效应EΨ1Ψ20aU0xⅠ区Ⅱ区Ⅲ区Ψ3振幅为波穿过势垒后将以平面波的形式继续前进()称为势垒穿透或隧道效应\n561.穿透系数穿透系数会下降6个数量级以上当势垒宽度a约50nm以上时此时量子概念过渡到经典\n578．氢原子中，电子运动的稳定描圆轨道的周长S与其德布罗意波长λ的关系是A.S是λ的整数倍B.S等于λC.λ是S的整数倍D.S等于λ的倒数9．近代物理学的两大理论支柱是（A）超导理论与相对论（B）相对论与量子力学（C）光电效应与相对论（D）量子力学与牛顿力学10．氢原子核外电子的电离能是（A）13.6eV（B）16.7eV（C）17.8eV（D）以上都不对10．在一维无限深势阱中的粒的位置不确定量A.aB.－aC.–2aD.2a