数学教育学试题

数学教育学试题

一试试题I加试试是二］说明：1、评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2、如果考牛的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次.一、单项选择题/（x）=5~4x+j2.你1、函数2-龙在上的最小值是（）。CA3EB2匚C1匚DO隐藏解法阙当2吋，5,因此寄也土ZZ2—Jf当且仅当2-K时上式取等号.而此方程有解"応（yo.2）,因此/（力在卜吋）上的最小值为2。2、设"叶2-么-4呦，若则实数么的取值范围为（）。A10,3)\n匚B[0,3]CC卜1,2)CDL-1,2J隐藏解法［解］因^-«-4=0有两个实根故B^A等价于冲之7且些＜4,即詈-士卓-2討再V43、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满216局时停止.设甲在每局屮获胜的概率为亍，乙在每局中获胜的概率为亍，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数个的期望略为()。(79Ca茹CB莎\n隐藏解法［解法一］依题意知，歹的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一•轮，则该轮结束吋比赛停止的概率为■若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对卞轮比赛是否停止没有影响.从而有^=2)=|8^=2x—+^x^—=1故債9818181.［解法二］依题意知，点的所有可能值为2,4,6.令A表示甲在第上局比赛中获胜，则耳表示乙在第上局比赛中获胜.由独立性与互不相容性得\n4、若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积Z和为564cm2,则这三个正方休的体积Z和为（）。EA586cm3匚B586cm3或564cn?CC764cm3CD764cm3或586cn?隐藏解法［解］设这三个正方体的棱长分别为餌*，则有右"4A2+*2+31•故6^e<10.e只能取9,8,7,6.若*9,贝产2"2=94-Q=n,易知么=2,*=3,得一组解C^c）=（XX9）若"8,则a2+A2=94-64=30,4^5.但渺A30,24,从而“4或5.若"5,则<=5无解，若bH,则/=14无解.此时无解.若"7,则j07+z=O,5、方程组lv+ja+»+^=0的有理数解的个数为(\nCB3CC2CD1隐藏解法fr+jr=0,Jx=0>Jx=-Up"=°■解得i»=11或b=n若”0,则由^+r=n得砂=一1.①由卄jr+“。得"-K-F.②将②代入v+^»+z=o得卫七『+空-»=0.③疋=丄由①得尸，代入③化简得^-0(/-^-0=0易知=0无有理数根，故^=1,由①得y=T,由②得«=0,与^*0矛盾，故该方程组共X=O,»=-L■^=0.・y=u有两组有理数解r=0十攻7=0.■sjn/cotC+oK上6、设AMC的内角AAC所对的边。上护成等比数列，则wnflcotC+cwJ的取值范围是（）。CA«竽ES牟竽2•竽CD0+®)隐藏解法2LMJ设鼻上芒的公比为•，则*=<*J>«=«7,而\nrinAcotC+cosA_申40«（74"0«川血（7an^cotC+casAsiii£caiC-t-cmAanCan（A+C）dnfjr-fl）sin*b=—===—=qEn（〃十5liiuGr-jf）mAa因此，只需求G的取值范围.因°厶'成等比数列，最大边只能是么或空，因此“芒要构成三角形的三边，必需且只需«+*>^且b+^Aa.即有不等式组22a^aq>aq.-円+亦2>a即\n,因此所求的取值范围是22•显示朋藏答圍©潘空|得分.n二、问答题1、设/W=<«+*其中❷上为实数^W=/WAflW=/C4W),«=i.2>x-若^W=l28x+38l则人®=()。隐藏解法答案：17解法：［解］由题意知=介+(尸+尸"-+"»=«"x+^21.*a-lg7"!由昌e=128卄381得,=128a-l,因此"2,b=3.A(2)=a>2+6=8十3=17因此«-12-1\n—丄2、设/®=c«"-2aXa«刃的最小值为二，则么隐藏解法答案：解法:［解］/(x)=2aB2x-l-li-ajaBX=2(cosx一尹一昇-2a_l（1）吋，jfS当««x=l吋取最小值―钮；(2)时，/(0当3«T时取最小值1；a1COSJC=—（3）时，当2时取最小值2又a>2或dfT吋，/G）的最小值不能为2,_2o_l=——<-r故22,解得fl=-2-FV3,《(舍去).3、将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有（）种。隐藏解法答案：\n解法:［解法一］用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用3•表示名额.如I»«*!«..・•］表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.若把每个与每个“卜都视为一个位置，由于左右两端必须是“丨”，故不同的分配方法相当于»个位置（两端不在内）被2个“I”占领的一种古位法“每校至少有一个名额的分法叫11当于在24个“■"之间的23个空隙中选出2个空隙插入“丨”，故有又在“每校至少冇一个名额的分法”中“至少冇两个学校的名额数相同"的分配方法有31种.综上知，满足条件的分配方法共有253-31=222种.［解法二］设分配给3个学校的名额数分别为珂七巧,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程x<+吃+令=24的正整数解的个数，即方程西4■习4■巧M21的非负整数解的个数，它等于3个不同元素屮取21个元素的可重组合：又在“每校至少有一个名额的分法"中“至少有两个学校的名额数相同"的分配方法有31种.综上知，满足条件的分配方法共有253-31=222种.毎4■斗=4、设数列（％）的前左项和耳满足：»&»+!）,»=则耳二（）。隐藏解法答案:\nJt+l2"解法:—JSL=A-l/t4-2-2J»-L因此山此得2J*4咖wa"+X*+0.),K*+0,5、设/何是定义在R上的函数,^/8令r—毬这一858«hSS+7S§*©^+0+%+:.+8a?s%v^noos+s^Iss+:.+0^ssl®0ES+&MK)S—曾oeMhfs栏Kw.nHSSIR+AssiJZrlH百.8+xhn・tai§SIQ+H5+?+M^SI?M5IA?^sl?M?nssl^+M<录龙<強鍛-ffl7^1»1ocooz+8。。汉\n故8（4Mg（畫得$（了）是周期为2的周期函数，所以/（MOQ=g（MOQ+2；ra=gCB）+2a0l,8=2an8+2OO86、一个半径为1的小球在一个内壁棱长为命&的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是（）。隐藏解法\nPf（=«?2-0用==面体的棱长为么，过斤作咋丄必于M.考虑小球与正四而体的一个面（不妨取为如）相切时的情况，易知小球在面上戢靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为°抄，如答12图2.记疋四ZMRR=-PM=PRmMPR=2^2r^=4«r因炒，有2故小三角形的边长/{£=PA^TPif=小球与^PAB不能接触到的部分的面积为（如答12图2小阴影部分）=^2ar~6^3r^又z=l,«=砧，所以由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为72若.三、解答题1、己知函数的图像与直线y=kx3＞町有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为“,求证：cosa_l+a2sin^+an3a4a隐藏解法\n答nn[iiE]"）的图象与总线"和3A®的三个（今交点如答13图所示，且在2内相切，其切点为心-咼砌吐（忑爭,所以由于ana—cosOf故原不等式解集为卜阳序.［解法二］由"耐农+“期心口，且丘尸在他2）上为增函数，故原不等式等价于\n2xQ+3?°+5^+3/-H<2jr*+2士A』+3x*+3a^+14-Jx3★2=(/4-Q3+2(x2+0（岁十，,则不等式为3显然g（Q=t十签在R上为增函数，由此上面不等式等价于J2亡洁-I即（占+解得2,（-疼悴）故原不等式解集为1212.3、如题15图，F是抛物线“7E2F7"上的动点，点耳C在直线J=-l±,圆内切于2損7,求2陀面积的最小值.\n坯鶴IIW评囂萍2占g•殳—Eh(—厂e畫空VC.,§S3S-#±・^s.etfISMI?+^+A^+SHO窗&(戶—DdEMlw二15r±+¥x-1■L—MFI耳—甦obl*+F+DRA占+DZxE+yy+x占£x%*+艺■淤二奄&丄W+M舟+汉台**+京(舟十DM0聲UJbvL艮占1爲+M?+s¥+?Ho\n同理有（旬-Ct?十2（可+为七十？Jh=°V'@-齐4（勺+轴2-5（勺-0因玫勺6）是抛物线上的点,有并7乜#3>|-1",即乂+幼1=2❻444*0+4^?+矶=4垮+4(2J%j+l)=4(jft+l)a皆办学增—“麵乜*亠故,蚣-1勺7^=!»-＜：)(%+i)=a+^x%+o=^+i+^^所以2乜7可T=^+3+—^―=(j%-I)4—^―+4&27*+*=8勺_1乜一I2当（SJ-0=4时，上式取等号，此时因此蛰・C的最小值为8.•试试题说明:\n1、评阅试卷时，请依据木评分标准.选择题只设6分和()分两档，填空题只设9分和()分两档；其他各题的评阅，请严格按照木评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2、如果考生的解答方法和木解答不同，只要思路合理、步骤止确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中5分为一个档次，不要增加其他中间档次.一、单项选择题1、函数在◎上的最小值是()。A3DO隐藏解法［解］当x<2时，2_赛>°,因此=2X当且仅当时上式取等号.而此方程有解"k2.2),因此4〉在(-»J)±的最小值为2。2、设辰LM),"(卡-么-4勿，若兀则实数么的取值范围为()。A[0,3)匚B[0,3]UC卜1,2)匚DL-1,2J隐藏解法\n［解］因=0有两个实根故等价于冲乏-2且号＜4,即r^-解之得°Ma<3.3、甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设卬在每局中获胜的概率为3,乙在每局中获胜的概率为3,K各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数'的期望砂为（）0<70CA2«274匚B盲2Ucc盲241CD药隐藏解法［解法一］依题意知，歹的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该伦中必是各得一分，此吋，该轮比赛结果对■下轮比赛是否停止没有影响.从而有\n^=4)=(lX-)=—9981彎6亠芒皿也兰9818181［解法二］依题意知，《的所有可能值为2,4,6.令4表示甲在第上局比赛中获胜，则耳表示乙在第上局比赛中获胜.山独立性与互不相容性得PKT=玖人耳幺卄心翻⑥亠也43*玫人砸M\nHA/耳）十W耳耳如+/X44A404、若三个棱长均为整数（单位：cm）的-正方体的表面积Z和为564cm2,则这三个正方体的体积Z和为（）。CA586cm3B586cm3或564cm3UC764cm3匚D764cm3或586cm3隐藏解法［解］设这三个正方体的棱长分别为绻叱则有心""）％,^+*2+^=«,不妨设1血弘MX",从而3c2^d24-A2+^=94,31,故©只能収9,8,7,6.若"化则aa+A2=94-92=l3,易知*=3,得一组解=若q=8,则/4■沪=94-64=30,但莎工30,从而b=4或5.若b=S，贝ijn2=5无解，若*=<,则=W无解•此时无解.若c=7，贝ijoa+da=94-49=45,冇唯一解a=3,*=6.若《X,则,4■沪=94-36=58，此吋58,^29故DNG,但=6,故b=6,此时a2=58-36=22无解.\n体积为％"持4已伽曲或处天卄化巫曲x+jk+»=O,5、方程组lv+/»+w+^=O的有理数解的个数为（）。C2隐藏解法fjr+^r=0,x=0«Jx=—L卩+尸=0.解得［»=0或卜=1.若*0,则山得砂=7.①由x+jr+z=0得②将②代入V+^«+j^=0得只十於十卩一»=0③JT--丄由①得尸，代入③化简得（y-OCx3-，-。".易知无有理数根，故由①得^=-1,由②得与矛盾，故该方程组共\nX=O,»=-L■^=0.・y=u有两组有理数解r=0十攻7=0.■sjn/cotC+oK上6、设AMC的内角AAC所対的边“尹成等比数列，则mBcAC+mB的取值范围是（）。cA呼.ES牟竽CD（0>+«）隐藏解法2LMJ设鼻上芒的公比为•，则*=<*J>«=«7,而rinAcotC+cosA_申40«（74"0«川血（7an^cotC+casAsiii£caiC-t-cmAanCan（A+C）dnfjr-fl）sin*b=—===—=qEn（〃十5liiuGr-jf）mAa因此，只需求G的取值范围.因成等比数列，授大边只能是么或空，因此Ze要构成三角形的三边，必需H.只需«+*nb+^Aa.即有不等式组22a^aq>aq.-円+亦2>a即\n,因此所求的収值范围是22•显示朋藏答圍©潘空|得分.n二、问答题1、设/W=<«+*其中❷上为实数^W=/WAflW=/C4W),«=i.2>x-若^W=l28x+38l则人®=()。隐藏解法答案：17解法：［解］由题意知=介+(尸+尸"-+"»=«"x+^21.*a-lg7"!由昌e=128卄381得,=128a-l,因此"2,b=3.A(2)=a>2+6=8十3=17因此«-12-1\n—丄2、设/®=c«"-2aXa«刃的最小值为二，则么隐藏解法答案：解法:［解］/(x)=2aB2x-l-li-ajaBX=2(cosx一尹一昇-2a_l（1）吋，jfS当««x=l吋取最小值―钮；(2)时，/(0当3«T时取最小值1；a1COSJC=—（3）时，当2时取最小值2又a>2或dfT吋，/G）的最小值不能为2,_2o_l=——<-r故22,解得fl=-2-FV3,《(舍去).3、将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有（）种。隐藏解法答案：\n解法:［解法一］用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用3•表示名额.如I»«*!«..・•］表示第一、二、三个学校分别有4,18,2个名额.若把每个与每个“卜都视为一个位置，由于左右两端必须是“丨”，故不同的分配方法相当于»个位置（两端不在内）被2个“I”占领的一种古位法“每校至少有一个名额的分法叫11当于在24个“■"之间的23个空隙中选出2个空隙插入“丨”，故有又在“每校至少冇一个名额的分法”中“至少冇两个学校的名额数相同"的分配方法有31种.综上知，满足条件的分配方法共有253-31=222种.［解法二］设分配给3个学校的名额数分别为珂七巧,则每校至少有一个名额的分法数为不定方程x<+吃+令=24的正整数解的个数，即方程西4■习4■巧M21的非负整数解的个数，它等于3个不同元素屮取21个元素的可重组合：又在“每校至少有一个名额的分法"中“至少有两个学校的名额数相同"的分配方法有31种.综上知，满足条件的分配方法共有253-31=222种.毎4■斗=4、设数列（％）的前左项和耳满足：»&»+!）,»=则耳二（）。隐藏解法答案:\nJt+l2"解法:—JSL=A-l/t4-2-2J»-L因此山此得2J*4咖wa"+X*+0.),K*+0,5、设/何是定义在R上的函数,^/8令r—毬这一858«hSS+7S§*©^+0+%+:.+8a?s%v^noos+s^Iss+:.+0^ssl®0ES+&MK)S—曾oeMhfs栏Kw.nHSSIR+AssiJZrlH百.8+xhn・tai§SIQ+H5+?+M^SI?M5IA?^sl?M?nssl^+M<录龙<強鍛-ffl7^1»1ocooz+8。。汉\n故8（4Mg（畫得$（了）是周期为2的周期函数，所以/（MOQ=g（MOQ+2；ra=gCB）+2a0l,8=2an8+2OO86、一个半径为1的小球在一个内壁棱长为命&的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是（）。隐藏解法\nPf（=«?2-0用==面体的棱长为么，过斤作咋丄必于M.考虑小球与正四而体的一个面（不妨取为如）相切时的情况，易知小球在面上戢靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为°抄，如答12图2.记疋四ZMRR=-PM=PRmMPR=2^2r^=4«r因炒，有2故小三角形的边长/{£=PA^TPif=小球与^PAB不能接触到的部分的面积为（如答12图2小阴影部分）=^2ar~6^3r^又z=l,«=砧，所以由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为72若.三、解答题1、己知函数的图像与直线y=kx3＞町有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为“,求证：cosa_l+a2sin^+an3a4a隐藏解法\n答nn[iiE]"）的图象与总线"和3A®的三个（今交点如答13图所示，且在2内相切，其切点为心-咼砌吐（忑爭,所以由于ana—cos?+1,J2亡不7g|](«Z)2+x2-l<0>解得2,(-疼悴)故原不等式解集为1212.3、如题15图，P是抛物线十QrT=0上的动点，点耳°在直线"一】上，鬪只2+『=1内切于2損7,求2陀面积的最小值.\n坯鶴IIW评囂萍2占g•殳—Eh(—厂e畫空VC..SS3S-tf±」^s.etfISMIF+0X+4+-JHO窗&(戶ID型PS盍雯「15r±+¥x-1■L—MFI耳—甦obl*+F+DRA占+DZxE+yy+x占£x%*+艺■淤二奄&丄W+M舟+汉台**+京(舟十DM0聲匸書VL艮占1爲+M?+s¥+?Ho\n同理有（旬-Ct?十2（可+为七十？Jh=°V'@-齐4（勺+轴2-5（勺-0因玫勺6）是抛物线上的点,有^-2%+2jb-l=°,即j3+^j=2%+14*0+4^?+矶=4垮+4(2J%j+l)=4(jft+l)a皆办学增—“麵塑*亠故,蚣-1勺一1所以詁m寺—膏=^+3+—^―=(j%-I)4—^―+4&2-|/4+4=8乜_1勺-12当（SJ-0=4时，上式取等号，此时因此UMC的最小值为8.