统计学之样本大小

统计学之样本大小

本资料来源\n2第四章樣本大小\n3樣本大小之選擇樣本不要過大,過大浪費成本；但也不要過小,過小則會有太大的抽樣誤差。如何決定適當的樣本大小？在機率抽樣的情況下,有關樣本大小的決定及樣本統計顯著性的判斷,可藉由機率法則的運用。（也就是說,有公式可供計算啦！）但在非機率抽樣的情況下,除了依靠抽樣人員的主觀判斷或假設外,實無客觀之科學方法可資應用。\n4估計平均數時的樣本大小母體變異數已知於母體變異數（σ2）已知之情況下,樣本數（n）之求算公式為：α為顯著水準或風險水準,（1-α）即信賴係數或信賴水準；顯著水準表示檢定者主觀認定統計量出現「極端數值」的機率。信賴係數愈高愈好，表示估計精準。e為可容忍誤差σ為母體標準差：是用來衡量觀測值與平均值間的離散程度。先別忙著計算樣本數,由於本書是介紹Excel之書籍,故得對所使用到的各相關函數先介紹一下。\n5基本定義標準差變異數標準隨機變數平均值m\n6常態分配之Z值一般統計學之常態數值（Z）,係利用查常態分配表（附錄二）來得知。如：Z0.025為1.96、Z0.05為1.645。但於Excel下,則可利用NORMSINV()標準常態分配反函數來查得；而若知道Z值,也可以NORMSDIST()函數來求得其機率。\n7標準常態分配NORMSDIST()NORMSDIST(z)：由z值求機率其作用為求自標準常態分配（μ=0,σ=1）的左尾開始,累加到z值處的總面積（機率）。即,下圖之陰影部份：\n8有了此函數,即可省去查常態分配表某z值之機率的麻煩。如：（詳範例光碟Ch04.xlsx『NORMSDIST』工作表）=NORMSDIST(-1.96)為0.025=NORMSDIST(-1.645)為0.05=NORMSDIST(0)為0.5=NORMSDIST(1.96)為0.975\n9常態分配（normaldistribution）是次數分配呈中間集中,而逐漸向左右兩端勻稱分散的鐘形曲線分佈。根據中央極限定理,不論原母體的分配為何？只要樣本數夠大（n>=30）,樣本平均數的分配,會趨近於常態分配。\n10標準常態分配反函數NORMSINV()NORMSINV(累計機率)：由機率求z值NORMSINV(probability)其作用為於標準常態分配（μ=0,σ=1）,求某累計機率所對應之Z值。有了此函數,即可省去查常態分配表之Z值的麻煩。如：（詳範例光碟Ch04.xlsx『NORMSINV』工作表）=NORMSINV(0.025)為-1.96=NORMSINV(0.05)為-1.645=NORMSINV(0.5)為0=NORMSINV(0.95)為1.645=NORMSINV(0.975)為1.96\n11標準常態分配表一般統計學之教科書,均會附有標準常態分配表（如：附錄二）,以利查常態數值（Z）。由於,常態分配是對稱的分配,故一般僅附上正值之部分,表內之累計機率,是由Z值為0時開始累計。如：Z值1.96,查得1.96之0.475,表示由標準常態分配中央（Z=0）開始,累計到Z=1.96的機率。即,下圖之陰影部份：\n12如要查負值之部份,仍以正值查表。然後,以0.5減去表內之累計機率即可。如：Z值-1.96,查得1.96之0.475,以0.5-0.475=0.025,即是自左尾開始累計到Z值為-1.96的機率。相反地,若要計算由Z值為-1.96開始累計到右尾的機率,則將查得之值（0.475）加上0.5,即0.975。通常,α=0.05時,如要查Zα/2值,是找尋右尾機率為0.025時之Z值,即找出由左尾累積得0.975之Z值1.96。若用Excel之NORMSINV()函數來求算,其公式應為：（詳範例光碟Ch04.xlsx『依α査Z值』工作表）=NORMSINV(1-0.05/2)\n13於Excel下,利用NORMSDIST()函數即可輕易建立標準常態分配表。其建立步驟為：（詳範例光碟Ch04.xlsx『常態分配表』工作表）於A2輸入Z字串,A3輸入0.0（僅顯示0）,A4輸入0.1選取A3:A4,切換到『常用』索引標籤，按『數值』群組之『增加小數位』鈕,使兩數均可擁有一位小數拖曳A3:A4右下角之複製控點,拉到A33位置,複製出0.0、0.1、0.2、…、2.9、3.0等數值\n14於B1輸入『Z值的小數第二位』字串於B2輸入0.00（僅顯示0）,C2輸入0.01選取B2:C2,按『數值』群組之『增加小數位』鈕,使兩數均可擁有2位小數拖曳B2:C2右下角之複製控點,拉到K2位置,複製出0.00、0.01、0.02、…、0.08、0.09等數值\n15於B2:K2尚呈選取之狀態,切換到『常用』索引標籤，按『儲存格』群組『格式』鈕之下拉鈕，續選「自動調整欄寬(I)」,將各欄調整成最適欄寬選取B1:K1,按『對齊方式』群組『跨欄置中』鈕,讓『Z值的小數第二位』字串,於這幾欄內跨欄置中\n16於B3輸入=NORMSDIST($A3+B$2)-0.5拖曳其右下角之複製控點,往右複製到K3\n17於B3:K3尚呈選取之狀態,按兩次按『數值』群組之『增加小數位』鈕,使各數均可有4位小數於B3:K3尚呈選取之狀態,按『儲存格』群組『格式』鈕之下拉鈕,續選「自動調整欄寬(I)」,調整成最適欄寬雙按K3右下角之複製控點,將B3:K3往下複製到K33,即完成整個建表工作\n18母體變異數已知時的樣本大小學過所需之幾個函數後,現在,可以來計算於母體變異數（σ2）已知之情況下的樣本數（n）。式中：α為顯著水準或風險水準,（1-α）即信賴係數或信賴水準e為可容忍誤差σ為母體標準差\n19假定,母體變異數σ2=6.25（σ=2.5）,於風險顯著水準α=0.05（Zα/2=1.96）的情況下,希望對母體均數μ的估計誤差e不超過0.3,其樣本數應為多大？將σ=2.5與Zα/2=1.96代入公式至少應取得267個樣本,才能有95%的保證其誤差不超過0.3。以Excel來安排相關之數字與公式,將為：（詳範例光碟Ch04.xlsx『估計均數樣本數σ已知』工作表）B欄各儲存格之公式分別為：母體標準差σ=SQRT(B1)Zα/2=NORMSINV(1-B3/2)樣本數n=((B4*B2)/B5)^2\n20假定,電力公司根據過去之調查經驗,知道用戶用電度數的母體變異數為48000（σ2=48000）、於顯著水準α=0.05（Zα/2=1.96）的情況下,希望對母體平均用電度數μ的估計誤差不超過5度,其樣本數應為多大？將相關之數字輸入Excel即可算出,至少應取得7376個樣本,才能有95%的保證其估計誤差不超過5度：（詳範例光碟Ch04.xlsx『估計均數樣本數σ已知1』工作表）\n21馬上練習以範例光碟Ch04.xlsx『大學生零用金樣本數』工作表進行計算。假定,大學生之平均每月零用錢為1200元,其變異數為368,560。至少應取得多少樣本？才能有95%的信賴水準,保證其估計誤差不超過100元。\n22習題三假定大學畢業生之平均每月收入為26500元,其變異數為4202500。至少應取得多少樣本？才能有9X%(X為學號最後一位數字)的信賴水準,保證其估計誤差不超過1000元\n23平方根SQRT()函數SQRT(數值)SQRT(number)本函數是用來求某數值的平方根,若數值為負值,本函數將回應#NUM!之錯誤。如：（詳範例光碟Ch04.xlsx『平方根』工作表）\n24事實上,有無此函數並不很重要。利用^運算符號也可達成開方之動作。如：=64^(1/2)之結果即=SQRT(64)；但若要求開三方,那SQRT()可就無能為力了。但仍可利用^運算符號來解決（乘冪為1/3即等於開三方）：\n25母體變異數未知的樣本大小事實上,實務上很多數情況是無法得知母體變異數（σ2）。若是母體變異數未知,則可以過去調查之樣本變異數（S2）來替代。若過去也無類似之調查,可先做一小規模試訪,以利計算樣本變異數。然後,再來計算樣本數：式中：α為顯著水準或風險水準,（1-α）即信賴係數或信賴水準e為可容忍誤差S為樣本標準差\n26於Excel中,樣本變異數可以VAR()函數來求得,其語法為：VAR(數值1,[數值2],...)VAR(number1,[number2],...)數值1,[數值2],...為要計算變異數之儲存格或範圍引數,它是對應於某母體抽樣選出的1到255個數字引數樣本,方括號包圍之部份可省略。樣本變異數（S2）的計算公式為：其值恰為樣本標準差（S）之平方,也是用來衡量觀測值與平均值間的離散程度。\n27由於,母體變異數未知。故舉行一次試訪,以範例光碟Ch04.xlsx『估計均數樣本數σ未知』工作表,取得120位大學生之手機平均月費。計算出其樣本變異數（S2）為109,593、於顯著水準α=0.05（Zα/2=1.96）的情況下,希望對母體手機平均月費μ的估計誤差不超過30元,其樣本數應為多大？將相關之數字輸入Excel,即可算出,至少應取得468個樣本,才能有95%的保證其估計誤差不超過30元：\n28馬上練習由於,母體變異數未知。故舉行了一次試訪,取得40位大學生之信用卡每月平均簽帳金額。（詳範例Ch04.xlsx『信用卡問卷樣本數』工作表）於風險顯著水準α=0.05（Zα/2=1.96）的情況下,希望對母體信用卡每月平均簽帳金額μ的估計誤差不超過50元,其樣本數應為多大？\n29估計比率時的樣本大小若研究目的是在估計比率（p,proportion）,其樣本數（n）之求算公式為：p為母體的真正比率α為風險顯著水準,（1-α）即信賴係數e為可容忍誤差σp為母體標準差,其運算公式為：\n30將其代入上式,即可獲致新的樣本數（n）公式：不過,通常我們是無法得知母體之真正比率p,要計算樣本數時,則以過去之調查結果替代。假定,上個月支持執政黨之比率為38%(p)。這個月,於95%的信賴水準下（α=0.05）,希望調查結果之支持率的允許誤差（e）為3%,應取樣多少？將相關值代入公式：至少應取得1006個樣本,才有95%的信心,保證其調查結果的支持率之誤差不超過±3%。\n31以Excel來安排相關之數字與公式,將為：（詳範例光碟Ch04.xlsx『以母體比率求樣本數』工作表）\n32保守估計母體比率於將前面之抽樣中,若將不同之p值分別代入,其樣本數勢必不同。茲將各種結果彙集成下表來比較：（詳範例光碟Ch04.xlsx『以母體比率求樣本數』工作表）\n33可發現,其樣本數的極大值1067係發生於母體比率為0.5時。母體比率<0.5時,隨母體比率逐漸增加,樣本數也逐步增加。母體比率>0.5時,隨母體比率逐漸增加,樣本數則逐步減少。故而,若我們無法得知母體真正比率p,要計算樣本數時,可以採取最保守的估計,將母體比率設定為0.5。這樣,由於其樣本數最大,所獲得之結果也將是各種情況下最正確的。\n34馬上練習以範例Ch04.xlsx『以保守估計求樣本數』工作表進行計算,保守估計執政黨的支持度為50%。要以90%之信賴水準（風險顯著水準α=0.1）,希望調查結果之支持率的誤差為±3%,應取樣多少？\n35重點整理NORMSDIST(z)：由z值求機率NORMSINV(累計機率)：由機率求z值母體變異數已知時樣本的大小母體變異數未知時樣本的大小估計比率時樣本的大小