湖北省荆州中学宜昌一中两校2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

湖北省荆州中学宜昌一中两校2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题

荆州中学、宜昌一中2019年秋季学期 高二期末联考 数 学 试 题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1． 复数（为虚数单位）的虚部为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2． ，，若//,则（ ）‎ A． 6 B． ‎7 C． 8 D． 9 ‎ ‎3． 椭圆的焦距为4，则的值为（ ）‎ A．12 B．‎4 ‎ C．12或4 D．10或6‎ ‎4． 曲线在点（1，）处的切线的倾斜角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5． 已知是两相异平面，是两相异直线，则下列结论错误的是（ ）‎ A．若∥，，则 B．若，，则∥‎ C．若，，则 D．若∥，，则∥‎ ‎6．数列满足，是数列的前项和，是函数的两个零点，则的值为（ ）‎ A．6 B．12 C．2020 D．6060‎ ‎7．平面直角坐标系内，到点和直线距离相等的点的轨迹是（ ）‎ A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎8．过点作圆的两条切线，切点分别,为坐标原点，则的外接圆方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎9．已知抛物线的焦点为,准线为，点在抛物线上，与直线相切于点，且，则的半径为( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎10．如图，正方形沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为( )‎ A．2 B． C． D．‎ ‎11．在中，角所对的边分别为，满足，，则的周长的最小值为( )‎ A． 3 B． C． 4 D．‎ ‎12．已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上一点，为双曲线渐近线上一点，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分;把答案填在对应题号的横线上.）‎ ‎13. 如图，已知平行四边形中，,平面，且，则 .‎ ‎14.各项均为正数的数列满足，且，则的最小值为 .‎ ‎15.已知、为圆:上的两个动点，且，点为线段的中点，对于直线:上任-点，都有，则实数的取值范围是 ‎__________.‎ ‎16.若点是椭圆上任意一点，点分别为椭圆的上下顶点，若直线 ‎、的倾斜角分别为、，则 .‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17．（本小题满分12分）若圆的方程为，△中，已知, ,点为圆上的动点．‎ ‎（Ⅰ）求中点的轨迹方程； ‎ ‎（Ⅱ）求△面积的最小值． ‎ ‎18.（本小题满分12分）设向量，，其中为锐角.‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若∥，求的值.‎ ‎19. （本小题满分12分）已知椭圆:的左右焦点分别是,点在椭圆上，，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与椭圆相交于、两点，求实数，使得以线段为直径的圆经过坐标原点． ‎ ‎20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，,，，，分别为的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：平面∥平面；‎ ‎（Ⅱ）若，‎ ‎（1）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；‎ ‎（2）求点到平面的距离. ‎ ‎21.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，,.‎ ‎（Ⅰ）求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数，对任意，不等式恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． ‎ ‎22．（本小题满分12分）如图，已知抛物线，过点分别作斜率为、的抛物线的动弦、，设、分别为线段、的中点．‎ ‎（Ⅰ）若为线段的中点，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若，求证：直线恒过定点，并求出定点坐标．‎ ‎ ‎ ‎2018级高二上学期期末考试数学试卷答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B C D D D A A ‎ C C D A 二、填空题 ‎13．7 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）设有，‎ 由得，‎ 即点的轨迹方程为.‎ ‎（Ⅱ）计算得, 直线为,‎ 点到直线的距离,‎ ‎.‎ ‎18. 解：（Ⅰ）由, 得,‎ ‎, .‎ ‎（Ⅱ）由得，即,‎ 原式=.‎ ‎19.解（Ⅰ）点到直线的距离为,得，‎ 由得,椭圆的方程为.‎ ‎（Ⅱ）联立，设,‎ 得,‎ ‎ ,,‎ 由题意可知：，即,‎ 即,‎ 得,‎ 代入解得即为所求.‎ ‎20.（1）连接为等边三角形，‎ 为的中点，,‎ 平面，,‎ 又平面，平面，平面,‎ 分别为的中点，,‎ 又平面平面，‎ 平面.‎ 又平面，‎ 平面平面.‎ ‎（2）连接，平面平面，平面平面，‎ 平面，‎ 平面.‎ 又两两互相垂直.‎ 以为坐标原点，分别为轴，轴,轴的正方向，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎，‎ 则，‎ 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，‎ 由，得，取,‎ ‎，‎ 由，得，取，‎ 平面与平面成锐二的余弦值为.‎ ‎（Ⅱ）（2）面的法向量为,,‎ ‎.‎ ‎21.解：（Ⅰ）当时,‎ ‎ , ，‎ ‎.数列为公比为2的等比数列.‎ 当时，，,‎ ‎ , ‎ ‎.‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎,‎ 假设存在实数，对任意 函数，有， , ，‎ 即为所求 ‎22.解：（Ⅰ）设，则，‎ 即有，‎ 又是线段中点，得，‎ ‎，‎ 直线为，即.‎ ‎（Ⅱ）设，直线为, 即，‎ 又，直线为，‎ 代入有，‎ 得，同理，‎ 易知，直线斜率为，‎ 直线为，‎ 化简得, 直线过定点（0，1）即为所求.‎