2017-2018学年海南省海口四中高二下学期期末考试数学（文）试题（Word版含部分解析）

2017-2018学年海南省海口四中高二下学期期末考试数学（文）试题（Word版含部分解析）

‎2017-2018学年度海口四中高二年级第二学期期末考试（文科）(数学)‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 集合M={x|x≥-2}，N={x|1＜x＜2}，则M∩N=（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 化简的结果是()‎ A. B. C. D. ‎ 3. 命题“∀k∈R，均为直线y=kx+1与圆x2+y2=2相交”的否定是（　　）‎ A. ，均为直线与圆相交 B. ，均为直线与圆不相交 C. ，使得直线与圆不相交 D. ，使得直线与圆相交 4. 从孝感地区中小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）‎ A. 简单的随机抽样 B. 按性别分层抽样 C. 按学段分层抽样 D. 系统抽样 5. 设x∈R，则“x＞1”是“x2+x-2＞0”的（　　）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数f（x）=的定义域是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 7. 执行如图所示的程序框图，如果输出的k的值为3，则输入的a的值可以是( ) ‎ A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 ‎ 1. 设函数，t=f（2）-6，则f（t）的值为（　　）‎ A. B. 3 C. D. 4‎ 2. 若函数f（x）=x2+2（a-1）x+a在区间（-∞，4]上是减函数，则a的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 3. 供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（　　）‎ A. 12月份人均用电量人数最多的一组有400人 B. 12月份人均用电量不低于20度的有500人 C. 12月份人均用电量为25度 D. 在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在一组的概率为 4. 如图，一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（　　） ‎ A. B. C. D. ‎ 5. 若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈（0，]成立，则实数a的最小值为（　　）‎ A. 0 B. C. D. ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 6. 掷一枚均匀的硬币，如果连续抛掷1000次，那么第999次出现正面向上的概率是______．‎ 7. 已知函数f（x）满足f（+1）=x+3，则f（3）=______．‎ 8. 一次数学考试后，某老师从自己带的两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学的中位数为73，则x-y的值为_________ ‎ 1. 已知g（x）=mx+2，f（x）=x2-2x，若对∀x1∈[-1，2]．∃x0∈[-1，2]，有g（x1）=f（x0）成立，则m的取值范围是______ ．‎ 三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）‎ 2. 已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2=b2+c2-bc． （Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若a=且c-b=2，求△ABC面积． ‎ 3. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：‎ 日期 ‎1月10日 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 ‎6月10日 昼夜温差 x （℃）‎ ‎10 ‎ ‎11 ‎ ‎13 ‎ ‎12 ‎ ‎8 ‎ ‎6 ‎ 就诊人数 y（个）‎ ‎22 ‎ ‎25 ‎ ‎29 ‎ ‎26 ‎ ‎16 ‎ ‎12 ‎ 该兴趣小组确定的研究方案是：先用2、3、4、5月的4组数据求线性回归方程，再用1月和6月的2组数据进行检验． （1）请根据2、3、4、5月的数据，求出y关于x的线性回归方程 （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是理想的，试问该小组所得线性回归方程是否理想？ （参考公式：，） 参考数据： 11×25+13×29+12×26+8×16=1092， 112+132+122+82=498． ‎ 1. 如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E，F分别是BC，PC的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：AE⊥PD； （Ⅱ）若PA=AB=2，求三棱锥C-EAF的体积 ‎ 2. 已知椭圆的一个顶点A（2，0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M，N． （1）求椭圆C的方程； （2）当△AMN的面积为时，求实数k的值． ‎ 3. 已知函数f（x）=xlnx+a． （1）若函数y=f（x）在x=e处的切线方程为y=2x，求实数a的值； （2）设m＞0，当x∈[m，2m]时，求f（x）的最小值； ‎ 1. 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（其中φ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l极坐标方程是，射线OM：与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长． ‎ 2. 已知函数f（x）=1-|x-2|． ‎ ‎（1）求不等式f（x）＞1-|x+4|的解集；‎ ‎（2）若f（x）＞|x-m|对恒成立，求m的取值范围． ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】D 【解析】‎ 解：集合M={x|x≥-2}，N={x|1＜x＜2}，则M∩N={x|1＜x＜2}， 故选：D． 根据交集的定义即可求出． 本题考查了交集及其运算，考查计算能力，是基础题．‎ ‎2.【答案】B 【解析】‎ 略 ‎3.【答案】C 【解析】‎ 解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀k∈R，均为直线y=kx+1与圆x2+y2=2相交”的否定是：∃k0∈R，使得直线y=kx+1与圆x2+y2=2不相交． 故选：C． 利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可． 本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，是基本知识的考查．‎ ‎4.【答案】C 【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查抽样方法，主要考查分层抽样方法，属基本题．若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样． 【解答】‎ 解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样， 而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大． 了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理． 故选C． ‎ ‎5.【答案】B 【解析】‎ 解：由不等式x2+x-2＞0，得x＞1或x＜-2， 所以由x＞1可以得到不等式x2+x-2＞0成立， 但由x2+x-2＞0不一定得到x＞1， 所以x＞1是x2+x-2＞0的充分不必要条件， 故选B 根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断． 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系是解决本题的关键．‎ ‎6.【答案】B 【解析】‎ 略 ‎7.【答案】A 【解析】‎ 解：由题意，模拟执行程序，可得 k=0，S=0， 满足条件S≤a，S=2×0+3=3，k=0+1=1 满足条件S≤a，S=2×3+3=9，k=1+1=2 满足条件S≤a，S=2×9+3=21，k=2+1=3 由题意，此时，应该不满足条件21≤a，退出循环，输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值为20． 故选：A． 模拟执行程序，依次写出每次循环得到的k，S的值，由题意，当S=21时，应该不满足条件S≤a，退出循环输出k的值为3，从而结合选项可得输入的a的值． 本题主要考查了循环结构的程序框图，根据S，k的值判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．‎ ‎8.【答案】A 【解析】‎ 解：∵函数， ∴t=f（2）-6=-2， ∴f（t）=f（-2）=-3， 故选：A． 由已知中函数，将x=2代入可得t=f（2）-6，进而得到答案． 本题考查的知识点是函求值，分段函数的应用，难度不大，属于基础题．‎ ‎9.【答案】A 【解析】‎ ‎【分析】 函数f（x）=x2+2（a-1）x+a的对称轴为x=1-a，由1-a≥4即可求得a．本题考查二次函数的单调性，可用图象法解决，是基础题． 【解答】 解：∵函数f（x）=x2+2（a-1）x+a的对称轴为x=1-a， 又函数f（x）=x2+2（a-1）x+a在（-∞，4]上是减函数， ∴1-a≥4， ∴a≤-3．  故选A． ‎ ‎10.【答案】C 【解析】‎ 解：根据频率分布直方图知， 12月份人均用电量人数最多的一组是[10，20），有1000×0.04×10=400人，A正确； 12月份人均用电量不低于20度的频率是（0.03+0.01+0.01）×10=0.5，有1000×0.5=500人，∴B正确； 12月份人均用电量为5×0.1+15×0.4+25×0.3+35×0.1+45×0.1=22，∴C错误； 在这1000位居民中任选1位协助收费，用电量在[30，40）一组的频率为0.1， 估计所求的概率为，∴D正确． 故选：C． 根据频率分布直方图，求出12月份人均用电量人数最多的一组，判断A正确； 计算12月份人均用电量不低于20度的频率与频数，判断B正确； 计算12月份人均用电量的值，判断C错误； 计算从中任选1位协助收费，用电量在[30，40）一组的频率，判断D正确． 本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．‎ ‎11.【答案】D 【解析】‎ 解：三角形ABC的面积为 离三个顶点距离都不大于1的地方的面积为 所以其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为 P=1- ‎ 故选D 求出三角形的面积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1的区域为三个扇形，三个扇形的和是半圆，求出半圆的面积；利用对理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率． 本题考查几何概型概率公式、对立事件概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式．‎ ‎12.【答案】C 【解析】‎ 解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈（0，]成立⇔a≥=--x对一切x∈（0，]恒成立， 令g（x）=--x（0＜x≤），则a≥g（x）max． ∵0＜x≤， ∴g′（x）=-1＞0， ∴g（x）=--x在（0，]上单调递增， ∴g（x）max=g（）=-2-=-， ∴a≥-， ∴实数a的最小值为-． 故选：C． 将不等式x2+ax+1≥0对一切x∈（0，]成立转化为a≥=--x对一切x∈（0，]恒成立，通过构造函数g（x）=--x，利用导数法可判断其在区间（0，]上的单调性，易求g（x）max=-，从而可得答案． 本题考查函数恒成立问题，着重考查等价转化思想与构造函数思想的综合应用，考查导数法判断函数的单调性及求最值，属于中档题．‎ ‎13.【答案】 【解析】‎ ‎【分析】 本题考查概率的求法，考查古典概型概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 利用概率的意义直接求解． ‎ ‎【解答】 解：掷一枚均匀的硬币， 如果连续抛掷1000次， 那么第999次出现正面向上的概率是． 故答案为．‎ ‎14.【答案】7 【解析】‎ 解：∵函数f（x）满足f（+1）=x+3， 令x=4，则f（3）=7， 故答案为：7 由已知中函数的解析式，令x=4，可得答案． 本题考查的知识点是函数求值，难度不大，属于基础题．‎ ‎15.【答案】-3 【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查对茎叶图的认识以及平均数和中位数，根据条件求出x、y的值，即可求出结果，属基础题.‎ ‎【解答】‎ 解：由题意可知，‎ 解得，则.‎ 故答案为-3.‎ ‎16.【答案】[-1，] 【解析】‎ 解：∵f（x）=x2-2x， ∴x0∈[-1，2]， ∵f（x0）∈[-1，3] ‎ 又∵∀x1∈[-1，2]，∃x0∈[-1，2]，使g（x1）=f（x0）， 若m＞0，则g（-1）≥-1，g（2）≤3 解得-≤m≤， 即0＜m≤， 若m=0，则g（x）=2恒成立，满足条件； 若m＜0，则g（-1）≤3，g（2）≥-1 解各m≥-1 即-1≤m＜0 综上满足条件的m的取值范围是-1≤m≤ 故m的取值范围是[-1，] 故答案为：[-1，]． 由已知中f（x）=x2-2x，g（x）=mx+2，对∀x1∈[-1，2]，∃x0∈[-1，2]，使g（x1）=f（x0），可得函数g（x）=mx+2在区间[-1，2]上的值域是函数f（x）=x2-2x在区间[-1，2]上的值域的子集，由此可以构造关于m的不等式，解不等式即可求出m的取值范围． 本题考查的知识点是函数的值域，函数的定义域及其求法，二次函数的性质，其中根据已知条件对m进行分类讨论，是解答本题的关键．‎ ‎17.【答案】解：（Ⅰ）在△ABC中， 由a2=b2+c2-bc可知，=， 根据余弦定理，cosA==， 又0＜A＜π， 故A= （Ⅱ）由a2=b2+c2-bc及a=， 得b2+c2-bc=7，…（1） 又由已知条件 c-b=2 …（2） 联立（1）（2），可解得b=1，c=3，（或计算出bc=3）， 故△ABC面积为S=bcsinA= 【解析】‎ 本题考查余弦定理，三角形的面积以及推理论证能力、运算求解能力，转化与化归思想． ‎ ‎（Ⅰ）根据余弦定理即可求出； （Ⅱ）由余弦定理，结合已知条件解出b和c，根据三角形的面积公式即可求出.‎ ‎18.【答案】解：（Ⅰ）由数据求得，，‎ 由公式求得，‎ 再由，‎ 所以y关于x的线性回归方程为．‎ ‎（Ⅱ）当x=10时，，；‎ 同样，当x=6时，，；‎ 所以，该小组所得线性回归方程是理想的．‎ ‎ 【解析】‎ 本题考查了回归直线方程和古典概型的计算，是中档题.‎ ‎（Ⅰ）由数据求得，，由公式求得，再由，从而得出结果；‎ ‎（Ⅱ​）当x=10时，，，当x=6时，，，从而得出结论.‎ ‎19.【答案】（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形．‎ 因为E为BC的中点，所以AE⊥BC．又BC∥AD，‎ 因此AE⊥AD．因为PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥AE．而PA⊂平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，‎ 所以AE⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，所以AE⊥PD．‎ ‎（Ⅱ）解：由条件可得所以△AEC的面积为，‎ 设F到平面AEC的距离为d，‎ 则三棱锥C-AEF的体积 ‎ 【解析】‎ 本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，几何体的体积的求法，点线面距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力，属中档题． （Ⅰ）证明AE⊥BC．推出AE⊥AD，证明PA⊥AE．然后利用直线与平面垂直的判定定理证明AE⊥平面PAD，然后推出AE⊥PD． （Ⅱ）求出△AEF的面积，利用体积公式即可求出体积． ‎ ‎20.【答案】解：（1）由椭圆的焦点在x轴上，则a=2，由椭圆的离心率e==，则c=， b2=a2-c2=2， 则椭圆C的方程为：； （2）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立，整理得，（1+2k2）x2-4k2x+2k2-4=0， △＞0，∴x1+x2=，x1x2=． ∴|MN|====． 点A到直线MN的距离d=． ∴△AMN的面积S=×|MN|×d==， 化为：20k4-7k2-13=0， 解得k2=1，解得k=±1． 实数k的值±1． 【解析】‎ 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、三角形面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （1）由a=2，根据椭圆的离心率公式及a与b和c的关系，即可求得b的值，即可求得椭圆的标准方程； （2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得三角形的面积公式，即可求得k的值． ‎ ‎21.【答案】解：（1）∵函数y=f（x）在x=e处的切线方程为y=2x， ∴此时y=2e，即切点坐标为（e，2e ‎）， 则切点也在函数f（x）上，则f（e）=elne+a=e+a=2e， 则a=e， （2）函数的导数f′（x）=lnx+1， 由f′（x）＞0得x＞ ，由f′（x）＜0得0＜x＜ ， 即函数在（ ，+∞）上为增函数，在（0， ）上为减函数， ①当2m≤ ，即m≤ 时，f（x）min=f（2m）=2mln2m+a， ②当m＜ ＜2m，即 ＜m＜ 时，f（x）min=f（ ）=-+a， ③当m≥ 时，f（x）min=f（m）=mlnm+a．  【解析】‎ ‎（1）求出切点坐标，代入函数进行求解即可．  （2）求好的导数，判断函数的单调性进行求解即可．  ‎ ‎22.【答案】解：（Ⅰ）∵圆C的参数方程（其中φ为参数）． ∴圆C的普通方程为x2+（y-1）2=1， 又x=ρcosθ，y=ρsinθ， ∴圆C的极坐标方程为ρ=2sinθ． （Ⅱ）∵直线l极坐标方程是ρsin（θ+）=2， 射线OM：与圆C的交点为P，与直线l的交点为Q， ∴把代入圆的极坐标方程可得ρP=1， 把代入直线l极坐标方程可得ρQ=2， ∴|PQ|=|ρP-ρQ|=1． 【解析】‎ 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． （Ⅰ）先求出圆C的普通方程，由此能求出圆C的极坐标方程． （Ⅱ）把代入圆的极坐标方程可得ρP=1，把代入直线l极坐标方程可得ρQ=2，由此能求出|PQ|． ‎ ‎23.【答案】解：（1）由f（x）＞1-|x+1|， 得|x-2|＜|x+4|‎ ‎， 平方得：x2-4x+4＜x2+8x+16， 解得：x＞-1， 故不等式的解集是（-1，+∞）； （2）当x∈（2，）时，f（x）=1-（x-2）=3-x， 故3-x＞|x-m|， 即对x∈（2，）恒成立， 即对x∈（2，）恒成立， 又2x∈（4，5）， 故m+3≥5且m＜3， 故m∈[2，3）． 【解析】‎ 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题． （1）问题转化为|x-2|＜|x+4|，求出不等式的解集即可； （2）问题转化为对x∈（2，）恒成立，求出m的范围即可． ‎