2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨中学高一（实验班）上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨中学高一（实验班）上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年浙江省绍兴市诸暨中学高一（实验班）上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．把一条射线绕着端点按顺时针旋转所形成的角是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由任意角的概念，顺时针旋转所得的角是负角，逆时针旋转形成的角为正角，由此规则即可得到旋转所形成的角，选出正确答案.‎ ‎【详解】‎ 一条射线绕着端点按顺时针旋转240°所形成的角是-240°.‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查任意角的概念，解题的关键是熟练掌握任意角的概念中正角负角的规定,‎ ‎2．设、分别是与、同向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题首先可根据单位向量的性质得知，单位向量是模长为个单位长度的向量，然后根据题目可知并没有给出向量、方向之间的关系，最后结合选项即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为是单位向量，‎ 所以，，‎ 故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查单位向量的相关性质，单位向量是模长为个单位长度的向量，考查单位向量的性质的应用，体现了基础性，是简单题。‎ ‎3．在中，，则的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】△ABC中，，故三角形是边长为1的等边三角形，AB，BC两向量的夹角是，由平方法求的值即可．‎ ‎【详解】‎ 由题设条件知三角形是边长为1的等边三角形，且AB，AC两向量的夹角是，‎ ‎ 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎＝‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考点是向量的模，求向量的模的方法一般采取平方的方法，本题中把向量的模进行了恒等变形得到了平方的形式，此方式是求向量模最常用的技巧．‎ ‎4．若，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析： 由，两边平方得：‎ ‎，‎ 由是一元二次方程：的两个实根，解得：‎ ‎，且由上可知：，‎ ‎，‎ 故选A．‎ ‎【考点】1.同角三函数间的关系；2.余弦的倍角公式．‎ ‎5．设函数，则的最小正周期 A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：，其中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．‎ ‎【考点】降幂公式，三角函数的最小正周期．‎ ‎【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数，再判断和的取值是否影响函数的最小正周期．‎ ‎6．为了得到函数的图像，可以将函数的图像（）‎ A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】首先化简所给的三角函数式，然后结合三角函数的性质即可确定函数平移的方向和长度.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：‎ ‎，‎ 据此可得：为了得到函数的图像，可以将函数的图像向右平移个单位长度.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7．在中，若且，则的形状为（ ）‎ A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 ‎【答案】A ‎【解析】根据向量的运算性质得向量的垂直关系即可判断 ‎【详解】‎ 则即（D为AC中点），同理，（E,F分别为BC，AB中点），故三角形为等边三角形 故选A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查向量的数量积、向量的模、向量在几何中的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．‎ ‎8．在中，的角平分线，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用已知条件求出A，C，然后利用正弦定理求出AC即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意以及正弦定理可知：，得 ∠ADB＝45°，‎ A＝180°﹣120°﹣45°，可得A＝30°，则C＝30°，三角形ABC是等腰三角形，‎ AC＝2sin60°．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：依题意，因为、的图象都经过点，所以，因为，所以，或，即或．在中取，即得，选B．‎ ‎【考点】1.图象的平移；2.由三角函数值求角．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查的是三角函数图象的变换，属于中档题题，本题首先根据平移变换得到，再由函数均经过，将代入两个函数可得，由，得和或，解出或，再取值即可．本题一定注意角的范围，否则容易出错．‎ ‎10．已知是两个非零向量，且， ，则的最大值为 A． B． C．4 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先根据向量的模将转化为关于的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎,, ,，令,则，令，得当时， ，当时， ， 当时， 取得最大值，故选B.‎ 解法二：,, , （利用重要不等式变形式： ）当且仅当即 时取等号，故的最大值为，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.‎ 二、填空题 ‎11．化简：_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用结合律及加法的三角形法则可得答案；‎ ‎【详解】‎ ‎（）（）‎ ‎（），‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查向量加减混合运算及其几何意义，属基础题．‎ ‎12．在中，如果，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由得到，再由余弦定理，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，即，‎ 因此，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查解三角形，熟记余弦定理即可，属于基础题型.‎ ‎13．已知，则_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为，，‎ 所以，=。‎ ‎【考点】本题主要考查三角函数诱导公式。‎ 点评：简单题，注意观察角之间的关系，灵活选用公式。‎ ‎14．__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接根据两角和正切公式的变形形式tan（α-β）（1+tanαtanβ）＝tanα-tanβ；整理即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ tan70°-tan10°‎ ‎＝tan（70°-10°）（1+tan70°tan10°）tan70°tan10°‎ ‎（1+tan70°tan10°）tan70°tan10°‎ tan70°tan10°tan70°tan10°‎ ‎．‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两角和与差的正切公式的应用．在应用两角和与差的正切公式时，一般会用到其变形形式：tan（α+β）（1﹣tanαtanβ）＝tanα+tanβ．‎ ‎15．函数的最大值为 ；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据题意，由于函数，根据三角函数的有界性可知，得到y的最大值为3，故答案为3.‎ ‎【考点】三角函数的值域 点评：主要是考查了分式函数的值域的求解，属于基础题。‎ ‎16．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE 交于点.若，则的值是_____.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.‎ ‎【详解】‎ 如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.‎ ‎，‎ 得即故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查在三角形中平面向量的数量积运算，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取几何法，利用数形结合和方程思想解题.‎ ‎17．已知是锐角的外接圆的圆心，且，若，则=________ ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】取AB的中点为D，可得 ‎ 代入已知的等式中，结合正弦定理和向量的运算法则变形，并用三角函数表示出m，化简后可得结果．‎ ‎【详解】‎ 在锐角中，取AB中点D，如图所示，则有，代入已知式子可得，‎ 由⊥，可得•＝0，∴上式两边同乘，化简得：，‎ 即c2+bc•cosA＝mc2，由正弦定理化简可得sin2C+sinBsinC•cosA＝sin2C，‎ 由sinC≠0，两边同时除以sinC得：cosB+cosAcosC＝msinC，∴m＝＝＝sinA＝sin＝.‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量，正弦定理以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎18．已知平面向量，，，且，.‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）若，，求向量与向量的夹角的大小.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件，，列方程求出、的值，可得出向量和的坐标；‎ ‎（2）求出、的坐标，利用向量数量积的坐标运算计算出向量与向量夹角的余弦值，由夹角的取值范围可求出这两个向量夹角的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，，且，，，‎ 解得，因此，，；‎ ‎（2），，‎ 则，，，‎ 设与的夹角为，，，则.‎ 因此，向量与向量的夹角为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，解题的关键就是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.‎ ‎19．函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）直接根据函数图象求函数解析式；‎ ‎（2）结合正弦函数性质求最值，再去绝对值分离参数转化为恒成立问题求解 ‎【详解】‎ ‎（1）根据图形可知，T，所以T＝π，‎ 因此，ω＝2，f（x）sin（2x+），‎ 且当x时，函数值为0，‎ 即sin（）＝0，且||，所以，，故 ‎（2）在上恒成立，故在上恒成立，即 ‎ 又，，则 ‎ 故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图象与性质，涉及单调性，单调区间和最值，以及函数零点的确定，属于中档题．‎ ‎20．已知向量函数的最小正周期为．‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）首先利用已知条件利用向量的坐标和向量的数量积求出函数的关系式，进一步通过三角函数关系式的恒等变换，把函数变形成正弦型函数，进一步利用函数的周期求出函数的解析式，最后求出函数的单调区间．‎ ‎（2）利用（1）的结论，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）向量（cosωx，sinωx），（cosωx，cosωx）‎ 则：f（x）•‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由最小正周期是π及ω＞0‎ 得到：‎ 解得：ω＝1‎ 所以：f（x）‎ 令：‎ 解得：‎ 所以函数的单调递增区间为：[]（k∈Z）‎ ‎（2）由已知f（）得：‎ 解得：‎ 由于B是三角形的内角，‎ 所以：‎ 由于：a+c＝8，b＝7，‎ 所以：b2＝a2+c2﹣2accosB ‎＝（a+c）2﹣3ac 所以：ac＝5‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，余弦定理的应用，三角形面积的应用，属于基础题型．‎ ‎21．已知，函数．‎ ‎（1）求在区间上的最大值和最小值；‎ ‎（2）若，，求的值；‎ ‎（3）若函数在区间上是单调递增函数，求正数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）。‎ ‎【解析】⑴由题意先表示出的表达式，然后运用辅助角公式化简，求出在区间上的最值 ‎⑵由题意得，结合求解出答案 ‎⑶表示出函数的单调增区间，结合题意讨论得到的取值范围 ‎【详解】‎ ‎（1） ， ‎ 因为，所以，所以，‎ 所以．‎ ‎（2）因为，所以，所以，‎ 因为，所以，‎ 所以， ‎ 所以 ‎． ‎ ‎（3）令 ‎ 得，‎ ‎ 因为函数在上是单调递增函数，所以存在，使得 ‎ 所以有 即 ‎ ‎ 因为所以又因为， 所以, 所以 ‎ ‎ 从而有，所以，‎ 所以 ‎ ‎ （另解：由，得.‎ 因为，所以，所以或，解得或.又，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的综合运用，利用辅助角公式化简求出最值，并结合三角函数图像的单调性求的取值范围，属于中档题。‎