【数学】2018届一轮复习苏教版（理）第四章三角函数、解三角形4-5简单的三角恒等变换
第2课时 简单的三角恒等变换
题型一 三角函数式的化简与求值
例1 (1)化简：＝ .
(2)计算：＝ .
答案 (1)cos 2x (2)－4
解析 (1)原式＝
＝
＝
＝＝cos 2x.
(2)原式＝
＝＝－4.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构与特征.
(2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.
(1)计算：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)＝ .
(2)若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为 .
答案 (1)－1 (2)－
解析 (1)原式＝·cos 10°()
＝
＝＝－＝－1.
(2)cos 2α＝sin
＝sin
＝2sincos
代入原式，得
6sincos＝sin，
∵α∈，∴cos＝，
∴sin 2α＝cos
＝2cos2－1＝－.
题型二 三角函数的求值
命题点1 给值求值问题
例2 (1)(2017·盐城、南京联考)已知α，β为锐角，cos α＝，sin(α＋β)＝，则cos β＝ .
答案
解析 ∵α为锐角，
∴sin α＝ ＝.
∵α，β∈(0，)，∴0<α＋β<π.
又∵sin(α＋β)
，
∴cos(α＋β)＝－.
cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝＝.
(2)(2015·广东)已知tan α＝2.
①求tan(α＋)的值；
②求的值.
解 ①tan(α＋)＝
＝＝－3.
②
＝
＝＝＝1.
命题点2 给值求角问题
例3 (1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为 .
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为 .
答案 (1) (2)－
解析 (1)∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，
∴cos α＝－，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.
又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈(，2π)，
∴α＋β＝.
(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝
＝＝>0，
∴0<α<.
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝
＝＝1.
∵tan β＝－<0，
∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
引申探究
本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ .
答案
解析 ∵α，β为锐角，∴cos α＝，sin β＝，
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.
又0<α＋β<π，∴α＋β＝.
思维升华 (1)给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法；
(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角.
(1)设α∈(0，)，β∈(0，)，且tan α＝，则2α－β＝ .
(2)(2016·南京检测)若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α＋β的值是
.
答案 (1) (2)
解析 (1)由tan α＝，得＝，
即sin αcos β＝cos α＋sin βcos α，
所以sin(α－β)＝cos α，又cos α＝sin(－α)，
所以sin(α－β)＝sin(－α)，
又因为α∈(0，)，β∈(0，)，
所以－<α－β<，0<－α<，
因此α－β＝－α，所以2α－β＝.
(2)因为α∈[，π]，sin 2α＝>0，
所以2α∈[，π]，
所以cos 2α＝－且α∈[，]，
又因为sin(β－α)＝>0，β∈[π，]，
所以β－α∈[，π]，
所以cos(β－α)＝－，
因此sin(α＋β)＝sin[(β－α)＋2α]
＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α
＝×(－)＋(－)×
＝－，
cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝(－)×(－)－×＝，
又α＋β∈[，2π]，所以α＋β＝.
题型三 三角恒等变换的应用
例4 (2016·天津)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解 (1)f(x)的定义域为{x|x≠＋kπ，k∈Z}.
f(x)＝4tan xcos xcos－
＝4sin xcos－
＝4sin x－
＝2sin xcos x＋2sin2x－
＝sin 2x＋(1－cos 2x)－
＝sin 2x－cos 2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是
，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，B＝{x|－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，易知A∩B＝.
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.
思维升华 三角恒等变换的应用策略
(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形用.
(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性.
已知函数f(x)＝cos x·sin(x＋)－cos2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间[－，]上的最大值和最小值.
解 (1)由已知，有
f(x)＝cos x·(sin x＋cos x)－cos2x＋
＝sin x·cos x－cos2x＋
＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋
＝sin 2x－cos 2x
＝sin(2x－).
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间[－，－]上是减函数，在区间[－，]上是增函数，
f(－)＝－，f(－)＝－，f()＝，
所以函数f(x)在闭区间[－，]上的最大值为，最小值为－.
9.化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用
典例 (14分)(2015·重庆)已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)讨论f(x)在上的单调性.
思想方法指导 (1)讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数.
(2)研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图象解决.
规范解答
解 (1)f(x)＝sinsin x－cos2x
＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－， [5分]
因此f(x)的最小正周期为π，最大值为. [7分]
(2)当x∈时，0≤2x－≤π， [8分]
从而当0≤2x－≤，
即≤x≤时，f(x)单调递增， [10分]
当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减. [12分]
综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减. [14分]
1.sin 15°＋sin 75°的值是 .
答案
解析 sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°
＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.
2.(2016·全国甲卷改编)若cos＝，则sin 2α＝ .
答案 －
解析 因为sin 2α＝cos＝2cos2－1，又因为cos＝，所以sin 2α＝2×－1＝－.
3.已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝ .
答案 －
解析 (sin α＋2cos α)2＝，展开得3cos2α＋4sin αcos α＝，再由二倍角公式得cos 2α＋2sin 2α＝0，
故tan 2α＝＝－＝－.
4.函数f(x)＝cos ·(sin －cos )的最小正周期为 .
答案 2π
解析 因为f(x)＝cos (sin －cos )
＝sin x－(cos x＋1)
＝sin(x－)－，
所以f(x)的最小正周期为2π.
5.(2016·江苏扬州中学四模)函数y＝sin α(sin α－cos α) (α∈[－，0])的最大值为 .
答案 ＋
解析 y＝sin α(sin α－cos α)＝sin2α－sin αcos α
＝－sin 2α＝－cos 2α－sin 2α
＝－sin(2α＋).
∵α∈[－，0]，∴－≤2α＋≤，
∴当2α＋＝－时，函数取最大值ymax＝＋.
6.函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)的图象关于点对称，则f(x)的单调递增区间为 .
答案 ，k∈Z
解析 ∵f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2sin，
由题意知2×＋θ＋＝kπ(k∈Z)，
∴θ＝kπ－π(k∈Z).
∵|θ|＜，∴θ＝.
∴f(x)＝2sin.
由2kπ－≤2x＋π≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－π≤x≤kπ－(k∈Z).
7.若f(x)＝2tan x－，则f的值为 .
答案 8
解析 ∵f(x)＝2tan x＋
＝2tan x＋＝＝，
∴f＝＝8.
8.若锐角α、β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝ .
答案
解析 由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，
可得＝，即tan(α＋β)＝.
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.
9.化简：＝ .
答案 －4
解析 原式＝
＝＝
＝＝＝－4.
10.设α∈(0，)，β∈(，)，且5sin α＋5cos α＝8，
sin β＋cos β＝2，则cos(α＋β)的值为 .
答案 －
解析 由5sin α＋5cos α＝8，
得sin(α＋)＝，
∵α∈(0，)，∴<α＋<，
∴cos(α＋)＝.
由sin β＋cos β＝2，
得sin(β＋)＝，∵β∈(，)，
∴<β＋<π，∴cos(β＋)＝－.
∴cos(α＋β)＝sin[＋(α＋β)]
＝sin[(α＋)＋(β＋)]
＝sin(α＋)cos(β＋)＋cos(α＋)sin(β＋)
＝－.
11.已知函数f(x)＝sin(x＋)＋cos x.
(1)求函数f(x)的最大值，并写出当f(x)取得最大值时x的取值集合；
(2)若α∈(0，)，f(α＋)＝，求f(2α)的值.
解 (1)f(x)＝sin(x＋)＋cos x
＝sin x＋cos x＋cos x
＝sin x＋cos x＝sin(x＋).
当x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
即x＝2kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最大值.
此时x的取值集合为{x|x＝2kπ＋，k∈Z}.
(2)由(1)知，f(x)＝sin(x＋)，
又f(α＋)＝，
所以sin(α＋＋)＝cos α＝，
即cos α＝.因为α∈(0，)，所以sin α＝，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，
cos 2α＝2cos2α－1＝－.
所以f(2α)＝sin(2α＋)＝sin 2α＋cos 2α
＝×－×＝.
12.已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x，x∈R.
(1)求f()的值；
(2)若sin α＝，且α∈(，π)，求f(＋).
解 (1)f()＝cos2＋sincos
＝()2＋×＝.
(2)因为f(x)＝cos2x＋sin xcos x＝＋sin 2x
＝＋(sin 2x＋cos 2x)＝＋sin(2x＋)，
所以f(＋)＝＋sin(α＋＋)
＝＋sin(α＋)＝＋(sin α＋cos α).
又因为sin α＝，且α∈(，π)，
所以cos α＝－，
所以f(＋)＝＋(×－×)
＝.
13.(2015·安徽)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值.
解 (1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.
当x∈时，2x＋∈，
由正弦函数y＝sin x在上的图象知，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最大值＋1；
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取最小值0.
综上，f(x)在上的最大值为＋1，最小值为0.
