高中数学必修2教案：第二章 2_2_1-2_2_2平面与平面平行的判定

高中数学必修2教案：第二章 2_2_1-2_2_2平面与平面平行的判定

‎2．2　直线、平面平行的判定及其性质 ‎2．2.1　直线与平面平行的判定 ‎2．2.2　平面与平面平行的判定 ‎[学习目标]　1.理解直线与平面平行、平面与平面平行判定定理的含义.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．直线与平面的位置关系有平行、相交、直线在平面内．‎ ‎2．直线a与平面α平行的定义：直线与平面无公共点．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．直线与平面平行的判定定理 语言叙述 符号表示 图形表示 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 ⇒a∥α ‎2.平面与平面平行的判定定理 语言叙述 符号表示 图形表示 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 ⇒α∥β 要点一　线面平行判定定理的应用 例1　如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．‎ 求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.‎ 证明　(1)∵EH为△ABD的中位线，‎ ‎∴EH∥BD.‎ ‎∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，‎ ‎∴EH∥平面BCD.‎ ‎(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，‎ EH⊂平面EFGH，‎ ‎∴BD∥平面EFGH.‎ 规律方法　1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．‎ ‎2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等．‎ 跟踪演练1　如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.‎ 证明　连接AC交BD于点O，‎ 连接OM.‎ ‎∵M为SC的中点，O为AC的中点，∴OM∥SA.‎ ‎∵OM⊂平面MDB，SA⊄平面MDB，‎ ‎∴SA∥平面MDB.‎ 要点二　面面平行判定定理的应用 例2　如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.‎ 证明　由棱柱性质知，‎ B1C1∥BC，B1C1＝BC，‎ 又D，E分别为BC，B1C1的中点，‎ 所以C1E綊DB，则四边形C1DBE为平行四边形，‎ 因此EB∥C1D，‎ 又C1D⊂平面ADC1，‎ EB⊄平面ADC1，‎ 所以EB∥平面ADC1.‎ 连接DE，同理，EB1綊BD，‎ 所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綊B1B.‎ 因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，‎ 所以ED綊A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，‎ 所以A1E∥AD，又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1，‎ 所以A1E∥平面ADC1.‎ 由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，‎ A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，‎ 且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.‎ 规律方法　1.要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面．‎ ‎2．判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线．‎ 跟踪演练2　如图，三棱锥PABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点．证明平面GFE∥平面PCB.‎ 证明　因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP.‎ 因为EF，GF⊄平面PCB，BC，CP⊂平面PCB.‎ 所以EF∥平面PCB，‎ GF∥平面PCB.‎ 又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.‎ 要点三　线面平行、面面平行判定定理的综合应用 例3　已知底面是平行四边形的四棱锥PABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．‎ 解　如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.‎ ‎∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，‎ ‎∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC.‎ 又BG∩GF＝G，∴平面BGF∥平面AEC，‎ ‎∴平面BGF与平面AEC无公共点，‎ ‎∴BF与平面AEC无公共点．‎ ‎∴BF∥平面AEC.‎ ‎∵BG∥OE，O是BD的中点，‎ ‎∴E是GD的中点．‎ 又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中点．‎ 而GF∥CE，‎ ‎∴F为PC的中点．‎ 因此，当点F是PC的中点时，BF∥平面AEC.‎ 规律方法　要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线．要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：‎ 跟踪演练3　如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.‎ 求证：MN∥平面SBC.‎ 解　连接AN并延长交BC于P，连接SP，‎ 因为AD∥BC，所以＝，‎ 又因为＝，‎ 所以＝，所以MN∥SP.‎ 又MN⊄平面SBC，SP⊂平面SBC，‎ 所以MN∥平面SBC.‎ ‎1．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面(　　)‎ A．不可能作出 B．只能作出一个 C．能作出无数个 D．上述三种情况都存在 答案　D 解析　设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行．‎ ‎2．能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)‎ A．b⊂α，a∥b B．b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c C．b⊂α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BD D．a⊄α，b⊂α，a∥b 答案　D 解析　A错误，若b⊂α，a∥b，则a∥α或a⊂α；B错误，若b⊂α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a⊂α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a⊂α或a与α相交；D正确．‎ ‎3．若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则(　　)‎ A．α内的所有直线与l异面 B．α内不存在与l平行的直线 C．α内存在唯一的直线与l平行 D．α内的直线与l都相交 答案　B 解析　直线l不平行于平面α，且l⊄α，所以l与α相交，故选B.‎ ‎4．在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(　　)‎ A．平面E1FG1与平面EGH1‎ B．平面FHG1与平面F1H1G C．平面F1H1H与平面FHE1‎ D．平面E1HG1与平面EH1G 答案　A 解析　如图，∵EG∥E1G1，‎ EG⊄平面E1FG1，‎ E1G1⊂平面E1FG1，‎ ‎∴EG∥平面E1FG1，‎ 又G1F∥H1E，‎ 同理可证H1E∥平面E1FG1，‎ 又H1E∩EG＝E，‎ ‎∴平面E1FG1∥平面EGH1.‎ ‎5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________．‎ 答案　CD∥α 解析　因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.‎ ‎1.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化．‎ ‎2．证明面面平行的一般思路：线线平行⇒线面平行⇒面面平行．‎ ‎3．准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键．‎ 一、基础达标 ‎1．已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须满足下列条件中的(　　)‎ A．l∥α，l∥β，且l∥γ B．l⊂γ，且l∥α，l∥β C．α∥γ，且β∥γ D．l与α，β所成的角相等 答案　C 解析　⇒α与β无公共点⇒α∥β.‎ ‎2．下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，‎ a∥β”的是(　　)‎ 答案　D 解析　A中不能正确表达b⊂β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β；D正确．‎ ‎3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行 答案　B 解析　如图，MC1⊂平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.‎ ‎4．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为(　　)‎ A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．可能重合 答案　C 解析　若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．‎ ‎5．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　C 解析　如图，由线面平行的判定定理可知，‎ BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.‎ ‎6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________．‎ 答案　平行或相交 解析　三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．‎ ‎7．如图所示的几何体中，△ABC是任意三角形，AE∥CD，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点，求证：DF∥平面ABC.‎ 证明　如图所示，取AB的中点G，连接FG，CG，‎ ‎∵F，G分别是BE，AB的中点，‎ ‎∴FG∥AE，FG＝AE.‎ 又∵AE＝2a，CD＝a，‎ ‎∴CD＝AE.又AE∥CD，‎ ‎∴CD∥FG，CD＝FG，‎ ‎∴四边形CDFG为平行四边形，‎ ‎∴DF∥CG.又CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC，‎ ‎∴DF∥平面ABC.‎ 二、能力提升 ‎8．已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是(　　)‎ A．l∥β，l⊂α⇒α∥β B．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α⇒α∥β C．l∥m，l⊂α，m⊂β⇒α∥β D．l∥β，m∥β，l⊂α，m⊂α，l∩m＝M⇒α∥β 答案　D 解析　如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，‎ 则AB∥平面DC1，AB⊂平面AC，‎ 但是平面AC与平面DC1不平行，‎ 所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，‎ B1C1∥平面AC.EF⊂平面BC1，B1C1⊂平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；可证AD∥B1C1，AD⊂平面AC，B1C1⊂平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确．‎ ‎9．三棱锥SABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG与平面SBC的关系为________．‎ 答案　平行 解析　如图，延长AG交BC于F，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF⊂平面SBC，EG⊄平面SBC，‎ ‎∴EG∥平面SBC.‎ ‎10．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，‎ ‎①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是________．‎ 答案　①②③④‎ 解析　以ABCD为下底面还原正方体，如图：‎ 则易判定四个命题都是正确的．‎ ‎11．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.‎ 证明　连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O是A1C的中点，又D是CB的中点，因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B.又A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.‎ 三、探究与创新 ‎12. 如图在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，CC1，AA1，C1D1的中点．求证：平面CEM∥平面BFN.‎ 证明　因为E，F，M，N分别为其所在各棱的中点，如图连接CD1，A1B，易知FN∥CD1.‎ 同理，ME∥A1B.‎ 易证四边形A1BCD1为平行四边形，所以ME∥NF.‎ 连接MD1，同理可得MD1∥BF.‎ 又BF，NF为平面BFN中两相交直线，ME，MD1为平面CEM中两相交直线，故平面CEM∥平面BFN.‎ ‎13．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.‎ 证明　因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°，所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°，由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.如图，连接AF，‎ 由于FG∥BC，FG＝BC，在▱ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝BC，‎ 因此FG∥AM且FG＝AM，‎ 所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.‎ 又FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE，‎ 所以GM∥平面ABFE.‎