【数学】2020届一轮复习人教A版交汇创新——离散型随机变量的交汇题学案

【数学】2020届一轮复习人教A版交汇创新——离散型随机变量的交汇题学案

‎ 专题十 概率、统计 问题三：交汇创新——离散型随机变量的交汇题 一、考情分析 高考对随机变量的考查以分布列和期望为主,涉及到填空题、选择题、解答题三种形式,且常在解答题中考查,涉及到的数思想方法主要有分类讨论思想、转化与化归思想,其应用的综合性较强. 在高考解答题中,常常是与等可能事件、互斥事件、相互独立事件等多种事件交汇在一起进行考查,另外在近几年的高考试题中也出现了与函数、不等式等知识的交汇创新题。此类问题把多个知识点相互交织在一起,难度较大,因此在解答此类题时,在透彻理解各类事件的基础上,准确把题中所涉及的事件进行分解,明确所求问题所包含的所属的事件类型.特别是要注意挖掘题目中的隐含条件. 考查观察问题、分析问题和解决问题的实际综合应用能力以及考生收集处理信息的能力.‎ 二、经验分享 ‎1.利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．‎ ‎2.求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．-‎ ‎3.求离散型随机变量X的分布列的步骤：‎ ‎(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；‎ ‎(2)求X取每个值的概率；‎ ‎(3)写出X的分布列．‎ ‎4.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．‎ ‎5.超几何分布的两个特点 ‎①超几何分布是不放回抽样问题；‎ ‎②随机变量为抽到的某类个体的个数．‎ ‎6.超几何分布的应用条件 ‎①两类不同的物品(或人、事)；‎ ‎②已知各类对象的个数；‎ ‎③从中抽取若干个个体．‎ ‎7.独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略 ‎(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率．‎ ‎(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率．‎ ‎8.离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 ‎(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．‎ ‎(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．‎ ‎(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．‎ ‎9.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．‎ ‎10.解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.‎ 三、知识拓展 ‎1.常见离散型随机变量的分布列 ‎(1)两点分布 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ P ‎1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率．‎ ‎(2)超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有下表形式，‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎…‎ m P ‎…‎ 则称随机变量X服从超几何分布．‎ ‎2.超几何分布与二项分布的区别 ‎(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；‎ ‎(2)超几何分布是不放回抽取，而二项分布是放回抽取(独立重复)．‎ 四、题型分析 ‎(一)与古典概型交汇 ‎【例1】某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满400元的顾客,将获得一次摸奖机会,规则如下：‎ 奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球,1个黄球,1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元,摸到白球或黄球奖励10元,摸到黑球不奖励．‎ ‎（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；‎ ‎（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量的分布律和数期望．‎ ‎【分析】（1）这属于一个古典概型问题,可以考虑摸2次,总的方法数为,而摸2次后停止摸奖,说明第一次不是黑球,而第2次摸的是黑球,有种可能,因此所求概率为；（2）因为是不放回的摸球,因此得奖金额可能为0元、10元、20元、30元、40元,这样随机变量的分布列就要求出,奖金0元,说明第1次摸的是黑球,奖金10元说明第一次摸的是拍球或黄球,第2次黑球,奖金20元,说明第1次红球,第2次黑球或第1、第2次是白球或黄球,第3次黑球,奖金30元,第1次与第2次里有1次是红球,另一次为白球或黄球,第3次黑球,而奖金40元说明第4次是黑球,由上可计算出名概率计算出分布列,期望.‎ ‎【解析】（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件, ‎ 则 ,‎ 故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率． ‎ ‎（2）随机变量的所有取值为． ‎ ‎,,‎ ‎,‎ 所以,随机变量的分布列为: ‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎【点评】本题是利用古典概型求分布列,具有一定的综合性,由古典概型求出离散型随机变量的分布列：求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出取各个值的概率．求离散型随机变量的分布列有三个步骤：①明确随机变量取哪些值；②算随机变量取每一个值时的概率；③将结果用二维表格形式给出.计算概率时注意结合排列与结合知识.‎ 而解决与分布列、期望与方差及应用等问题,一般利用它们相关的性质就可以求解,或通过建立方程来解决来解决.‎ ‎【小试牛刀】【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】《中国好声音（The Voice of China）》是由浙江卫视联合星空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目,于2012年7月13日正式在浙江卫视播出.每期节目有四位导师参加.导师背对歌手,当每位参赛选手演唱完之前有导师为其转身,则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中,6位选手演唱完后,四位导师为其转身的情况如下表所示：‎ 现从这6位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况.‎ ‎（1）求选出的两人导师为其转身的人数和为4的概率；‎ ‎（2）记选出的2人导师为其转身的人数之和为,求的分布列及数期望.‎ ‎【答案】(1)；(2) 的分布列为 ‎.‎ ‎【解析】（1）设6位选手中,有4位导师为其转身,有3位导师为其转身,有2位导师为其转身,‎ 只有1位导师为其转身.‎ 从6人中随机抽取两人有种情况,‎ 其中选出的2人导师为其转身人数和为4的有种,‎ 故所求概率为.‎ 所以的分布列为 ‎………………10分 ‎.‎ ‎(二)与独立事件交汇 ‎【例2】在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表：‎ 作物产量（kg）‎ ‎300‎ ‎500‎ 概率 ‎0.5‎ ‎0.6‎ ‎（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列；‎ ‎（2）若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．‎ ‎【分析】（1）根据条件中的表格可知,作物产量与市场价的可能的组合总共有四种情况：产量,市场价元；产量,市场价元；产量,市场价元；产量,市场价元；因此作物的利润的计算也应分四种情况进行计算：,,,,若设表示事件“作物产量为”,表示事件“作物市场价格为元”,则取到各个值的概率为：,‎ ‎,‎ ‎,即可知的分布列；（2）由（1）可知,事件等价于事件或,因此,而所求事件的概率等价于季的利润都不少于元或季当中有季利润不少于元,根据二项分布的相关内容,可知所求概率为.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∴的分布列为 X ‎4000‎ ‎2000‎ ‎800‎ P ‎0.3‎ ‎0.5‎ ‎0.2‎ ‎；‎ ‎（2）设表示事件“第季利润不少于元”,‎ 由题意知,,相互独立,由（1）知,‎ ‎,‎ ‎∴这季中至少有季的利润不少于元的概率为 ‎.‎ ‎【点评】本题是对独立事件的概念,利用独立事件求分布列,这是一道综合例题,包括了分列的计算及分布列的应用两个步骤.该题对于我们巩固所知识,深入了解分布列有很大帮助.‎ ‎【小试牛刀】【重庆八中2017届高三上期二调】如图所示,小波从街区开始向右走,在每个十字路口都会遇到红绿灯,要是遇到绿灯则小波继续往前走,遇到红灯就往回走,假设任意两个十字路口的绿灯亮或红灯亮都是相互独立的,且绿灯亮的概率都是,红灯亮的概率都是．‎ ‎（1）求小波遇到4次绿灯后,处于街区的概率；‎ ‎（2）若小波一共遇到了3次红绿灯,设此时小波所处的街区与街区相距的街道数为（如小波若处在街区则相距零个街道,处在,街区都是相距2个街道）,求的分布列和数期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析,.‎ ‎【解析】（1）设小波遇到次红绿灯之后处于街区为事件,则事件共有三个基本事件,‎ 即四次遇到的红绿灯情况分别为{红红绿绿,绿红红绿,绿绿红红}．‎ 故．‎ ‎（2）可能的取值为,,,,‎ ‎,,‎ ‎,．‎ 故分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴．‎ ‎(三)与频率分布直方图的交汇 ‎【例3】某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20,25）、第2组[25,30）、第3组[30,35）、第4组[35,40）、第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示：&‎ ‎（1）若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动,应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？‎ ‎（2）在（1）的条件下,该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验,求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；‎ ‎（3）在（2）的条件下,若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数,求ξ的分布列和数期望．‎ ‎【分析】第一问根据题中所给的频率分布直方图,得出各层的人数,从而确定出各层抽取的人数,第二问先确定出基本事件的总数,之后再确定出满足条件的基本事件数,作除法即可得结果,第三问首先确定出随机变量的可取值,再确定出对应的概率,做表即可得分布列,应用公式可以求出期望．‎ ‎（2）从名志愿者中抽取名共有种可能,‎ 第组至少有一位志愿者被抽中有种可能,‎ 所以第组至少有一位志愿者被抽中的概率为． 7分 ‎（3）的可能取值为,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ 所以的分布列为：‎ 的期望为：． 12分 ‎【小试牛刀】【广东省惠州市2017届第二次调研考试】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球,从中随机抽取个作为样本,称出它们的重量（单位：克）,重量分组区间为,,,,由此得到样本的重量频率分布直方图（如图）.‎ ‎（Ⅰ）求的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值；‎ ‎（Ⅱ）从盒子中随机抽取个小球,其中重量在内的小球个数为,求的分布列和数期望. (以直方图中的频率作为概率).‎ ‎【答案】（Ⅰ）,众数20,平均数24.6；（Ⅱ）分布列见解析,期望为．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意,得,‎ 解得； ‎ 又由最高矩形中点的的横坐标为20,可估计盒子中小球重量的众数约为20（克）‎ ‎ 而个样本小球重量的平均值为：（克） 5分 故由样本估计总体,可估计盒子中小球重量的平均值约为克； ‎ ‎（Ⅱ）利用样本估计总体,该盒子中小球重量在内的概率为, ‎ 则.的可能取值为、、、, ‎ ‎,,‎ ‎,. ‎ 的分布列为：‎ ‎.（或者）‎ ‎(四)与函数、不等式的交汇 ‎【例4】(2013·高考课标全国卷Ⅱ)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元．根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．‎ ‎(1)将T表示为X的函数；‎ ‎(2)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；‎ ‎(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110),则取X＝105,且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)．求T的数期望．‎ ‎【解析】(1)当X∈[100,130)时,‎ T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000.‎ 当X∈[130,150]时,‎ T＝500×130＝65 000.‎ 所以T＝ ‎【点评】本题是概率、统计与函数的交汇创新题目,解答本题的思路是首先由题意写出分段函数,然后再利用概率与统计的知识解决所涉及的问题．‎ ‎【小试牛刀】据IEC(国际电工委员会)调查显示,小型风力发电项目投资较少,且开发前景广阔,但受风力自然资源影响,项目投资存在一定风险．根据测算,风能风区分类标准如下：‎ 风能分类 一类风区 二类风区 平均风速m/s ‎8.5～10‎ ‎6.5～8.5‎ 假设投资A项目的资金为x(x≥0)万元,投资B项目的资金为y(y≥0)万元,调研结果是：未来一年内,位于一类风区的A项目获利30%的可能性为0.6,亏损20%的可能性为0.4；位于二类风区的B项目获利35%的可能性为0.6,亏损10%的可能性是0.1,不赔不赚的可能性是0.3.‎ ‎(1)记投资A,B项目的利润分别为ξ和η,试写出随机变量ξ与η的分布列和期望E(ξ),E(η)；‎ ‎(2)某公司计划用不超过100万元的资金投资于A,B项目,且公司要求对A项目的投资不得低于B项目,根据(1)的条件和市场调研,试估计一年后两个项目的平均利润之和z＝E(ξ)＋E(η)的最大值．‎ ‎【解析】(1)A项目投资利润ξ的分布列为 ξ ‎0.3x ‎－0.2x P ‎0.6‎ ‎0.4‎ E(ξ)＝0.18x－0.08x＝0.1x, ‎ B项目投资利润η的分布列为 η ‎0.35y ‎－0.1y ‎0‎ P ‎0.6‎ ‎0.1‎ ‎0.3‎ E(η)＝0.21y－0.01y＝0.2y.‎ ‎=(2)由题意可知x,y满足的约束条件为,‎ 由(1)可知,z＝E(ξ)＋E(η)＝0.1x＋0.2y,‎ 当x＝50,y＝50时,z取得最大值15.‎ ‎∴对A,B项目各投资50万元,可使公司获得最大利润,最大利润是15万元．‎ ‎(五)与向量、程序框图交汇 ‎【例5】小波以游戏方式决定是参加校合唱团还是参加校排球队．游戏规则为：以O为起点,再从A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X.若X＝0就参加校合唱团,否则就参加校排球队．‎ ‎(1)求小波参加校合唱团的概率；(2)求X的分布列和数期望．‎ ‎【解析】(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C＝28(种),当X＝0时,两向量夹角为直角,共有8种情形,所以小波参加校合唱团的概率为P(X＝0)＝＝.‎ ‎(2)两向量数量积X的所有可能取值为－2,－1,0,1,X＝－2时,有2种情形；X＝1时,有8种情形；X＝－1时,有10种情形．所以X的分布列为 X ‎－2‎ ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＝－.‎ ‎【点评】离散型随机变量的概率与向量、不等式、方程等知识交汇是近年来命题的热点,解决本类问题的关键就是将向量、不等式或方程问题进行转化,使之成为解决离散型随机变量的概率问题的条件．‎ ‎【小试牛刀】每年的三月十二日,是中国的植树节．林管部门为保证树苗的质量,都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度,规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”,测得高度如下(单位：厘米)：‎ 甲：137,121,131,120,129,119,132,123,125,133；‎ 乙：110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.‎ ‎(1)根据抽测结果,画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图,并根据你画出的茎叶图,对甲、乙两种树苗的高度作比较,写出对两种树苗高度的统计结论；‎ ‎(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为x,将这10株树苗的高度依次输入,按程序框图进行运算(如图),问输出的S大小为多少？并说明S的统计意义；-‎ ‎(3)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植,用样本的频率分布估计总体分布,求小王领取到的“良种树苗”的株数X的分布列．‎ ‎【解析】(1)茎叶图如图所示：‎ 统计结论：‎ ‎①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；‎ ‎②甲种树苗比乙种树苗长得整齐；‎ ‎③甲种树苗高度的中位数为127,乙种树苗高度的中位数为128.5；‎ ‎④甲种树苗的高度基本上是对称的,而且大多数集中在均值附近,乙种树苗的高度分布较为分散．‎ ‎(2)依题意,x＝127,S＝35.‎ S表示10株甲种树苗高度的方差,是描述树苗高度的离散程度的量．‎ S值越小,表示树苗长得越整齐,S值越大,表示树苗长得越参差不齐．‎ ‎(3)由题意可知,领取一株甲种树苗得到“良种树苗”的概率为,则X～B(5,),‎ 所以随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎(六)与立体几何的交汇 ‎【例6】设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ＝0；当两条棱平行时,ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时,ξ＝1.‎ ‎(1)求概率P(ξ＝0)；‎ ‎(2)求ξ的分布列,并求其数期望E(ξ).‎ ‎【解析】(1)若两条棱相交,则交点必为正方体8个顶点中的一个,过任意1个顶点恰有3条棱,∴共有8C对相交棱.‎ ‎∴ P(ξ＝0)＝＝＝.‎ ‎【小试牛刀】如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中抽取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】由题意知,X可能的取值为0,1,2,3.‎ 若X＝0,观察知图中位于大正方体内部的27个小正方体无涂漆面,则P(X＝0)＝；‎ 若X＝1,观察知图中位于各面中部的9个小正方体涂1面漆,则P(X＝1)＝＝；‎ 若X＝2,观察知图中位于各棱中部的3个小正方体涂2面漆,则P(X＝2)＝＝；‎ 若X＝3,观察知图中位于大正方体顶点处的8个小正方体涂3面漆,则P(X＝3)＝.‎ 故E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.故选B.‎ ‎(七)与独立性检验的交汇 ‎【例7】【四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测】华为推出一款6寸大屏手机,现对500名该手机使用者（200名女性,300名男性）进行调查,对手机进行打分,打分的频数分布表如下：‎ 女性用户：‎ 分值区间 频数 ‎20‎ ‎40‎ ‎80‎ ‎50‎ ‎10‎ 男性用户：‎ 分值区间 频数 ‎45‎ ‎75‎ ‎90‎ ‎60‎ ‎30‎ ‎（1）如果评分不低于70分,就表示该用户对手机“认可”,否则就表示“不认可”,完成下列列联表,并回答是否有的把握认为性别对手机的“认可”有关：‎ 女性用户 男性用户 合计 ‎“认可”手机 ‎“不认可”手机 合计 附：‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎（2）根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,在这20名用户中,从评分不低于80分的用户中任意抽取3名用户,求3名用户中评分小于90分的人数的分布列和数期望．‎ ‎【分析】（1）从频数分布表算出女性用户中“认可”手机人数与“不认可”手机人数,填入表格,同理算出男性用户中“认可”手机人数与“不认可”手机人数,填入表格可得列联表,由公式计算出的值与临界值中数据比较即可；（2）由分层抽样的原则算出从男性用户中抽取20名用户,评分不低于80分的人数,及评分小于 ‎90分的人数,评分不小于90分的人数,由古典概型公式分别计算 时的概率可列出概率分布列与期望.‎ ‎（2）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户,评分不低于80分有6人,其中评分小于90分的人数为4,记为,,,,评分不小于90分的人数为2,记为,,从6人中任取人, 评分小于90分的人数 ,其中 ,,,所以3名用户中评分小于90分的人数的概率分布列为 其期望为 .‎ ‎【小试牛刀】【河南省开封市2017届高三上期10月月考】随机询问某大40名不同性别的大生在购买食物时是否读营养说明,得到如下列联表： ‎ 性别与读营养说明列联表 男 女 总计 读营养说明 ‎16‎ ‎8‎ ‎24‎ 不读营养说明 ‎4‎ ‎12‎ ‎16‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎（Ⅰ）根据以上列联表进行独立性检验,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？‎ ‎（Ⅱ）从被询问的16名不读营养说明的大生中,随机抽取2名生,求抽到男生人数 的分布列及其均值（即数期望）．‎ ‎（注：,其中为样本容量．）‎ ‎【答案】(1)能（2）.‎ ‎【解析】（1）根据性别与读营养说明列联表,计算随机变量的观测值得：,‎ 因此,能在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为性别与读营养说明有关……5分 ‎（Ⅱ）的取值为0,1,2.‎ ‎,,.‎ 的分布列为 的均值为．‎ 四、迁移运用 ‎1．【2018年全国普通高等校招生统一考试理数（新课标I卷）】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． ‎ ‎（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．‎ ‎（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． ‎ ‎（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;‎ ‎（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？‎ ‎【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此 ‎.‎ 令，得.当时，；当时，.‎ 所以的最大值点为.‎ ‎（2）由（1）知，.!‎ ‎（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.‎ 所以.‎ ‎（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.‎ 由于，故应该对余下的产品作检验.‎ ‎2．【江西省景德镇市第一中等盟校2018届高三第二次联考】2018年4月4日召开的国务院常务会议明确将进一步推动络提速降费工作落实，推动我国数字经济发展和信息消费，今年移动流量资费将再降30%以上，为响应国家政策，某通讯商计划推出两款优惠流量套餐，详情如下：‎ 套餐名称 月套餐费/元 月套餐流量/M A ‎30‎ ‎3000‎ B ‎50‎ ‎6000‎ 这两款套餐均有以下附加条款：套餐费用月初一次性收取，手机使用流量一旦超出套餐流量，系统就会自动帮用户充值2000M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统再次自动帮用户充值2000M流量，资费20元，以此类推。此外，若当月流量有剩余，系统将自动清零，不可次月使用。‎ 小张过去50个月的手机月使用流量（单位：M）的频数分布表如下：‎ 月使用流量分组 ‎[2000,3000]‎ ‎(3000,4000]‎ ‎(4000,5000]‎ ‎(5000,6000]‎ ‎(6000,7000]‎ ‎(7000,8000]‎ 频数 ‎4‎ ‎5‎ ‎11‎ ‎16‎ ‎12‎ ‎2‎ 根据小张过去50个月的手机月使用流量情况，回答以下几个问题：‎ ‎（1）若小张选择A套餐，将以上频率作为概率，求小张在某一个月流量费用超过50元的概率.‎ ‎（2）小张拟从A或B套餐中选定一款，若以月平均费用作为决策依据，他应订购哪一种套餐？说明理由.‎ ‎【解析】（1）设使用流量M，流量费用为，‎ 当 当 所以流量费用超过50元概率： ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎，故选套餐B.‎ ‎3．【北京市朝阳区2018届高三3月综合练习（一模）】某地区高考实行新方案，规定：语文、数和英语是考生的必考目，考生还须从物理、化、生物、历史、地理和政治六个目中选取三个目作为选考目．若一个生从六个目中选出了三个目作为选考目，则称该生的选考方案确定；否则，称该生选考方案待确定．例如，生甲选择“物理、化和生物”三个选考目，则生甲的选考方案确定，“物理、化和生物”为其选考方案．‎ ‎ 某校为了解高一年级420名生选考目的意向，随机选取30名生进行了一次调查，统计选考目人数如下表：‎ 性别 选考方案确定情况 物理 化 生物 历史 地理 政治 男生 选考方案确定的有8人 ‎8‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ 选考方案待确定的有6人 ‎4‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ 女生 选考方案确定的有10人 ‎8‎ ‎9‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎1‎ 选考方案待确定的有6人 ‎5‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎ （Ⅰ）估计该校高一年级选考方案确定的生中选考生物的生有多少人？‎ ‎（Ⅱ）假设男生、女生选择选考目是相互独立的．从选考方案确定的8位男生中随机选出1人，从选考方案确定的10位女生中随机选出1人，试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史的概率；‎ ‎（Ⅲ）从选考方案确定的8名男生中随机选出2名，设随机变量求的分布列及数期望．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题可知，选考方案确定的男生中确定选考生物的生有4人，选考方案确定的女生中确定选考生物的生有6人，‎ 该校高一年级选考方案确定的生中选考生物的生有人． ‎ ‎（Ⅱ）由数据可知，选考方案确定的8位男生中选出1人选考方案中含有历史的概率为；‎ 选考方案确定的10位女生中选出1人选考方案中含有历史的概率为．‎ 所以该男生和该女生的选考方案中都含有历史的概率为． ‎ ‎（Ⅲ）由数据可知，选考方案确定的男生中有4人选择物理、化和生物；有2人选择物理、化和历史；有1人选择物理、化和地理；有1人选择物理、化和政治．‎ 由已知得的取值为．‎ ‎， ，或.‎ 所以的分布列为 ‎ 所以．‎ ‎4.【广东郴州市2017届高三第二次教质量监测】某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况,绘制了该厂日销售量的频率分布直方图,如图所示：‎ 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.‎ ‎（1）求未来3天内,连续2天日销售量不低于8吨,另一天日销售量低于8吨的概率；‎ ‎（2）用表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数,求随机变量的分布列及数期望.‎ ‎【答案】(1)；(2) 的分布列为 ‎.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由频率分布直方图可知,日销售量不低于吨的频率为：‎ ‎,‎ 记未来天内,第天日销售量不低于吨为事件,则 未来天内,连续天日销售不低于吨,另一天日销量低于吨包含两个互斥事件和,‎ 则：‎ ‎（Ⅱ）的可能取值为,且～‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所以的分布列为 ‎.‎ ‎5.【广东省汕头市2017届高三上期期末】为评估设备生产某种零件的性能,从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表： ‎ 直径/‎ ‎58‎ ‎59‎ ‎61‎ ‎62‎ ‎63‎ ‎64‎ ‎65‎ ‎66‎ ‎67‎ ‎68‎ ‎69‎ ‎70‎ ‎71‎ ‎73‎ 合计 件数 ‎1‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎19‎ ‎33‎ ‎18‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎100‎ 经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值.‎ ‎（Ⅰ）为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行评判（表示相应事件的概率）；①；‎ ‎②；③.‎ 评判规则为：若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲；仅满足其中两个,则等级为乙；若仅满足其中一个,则等级为丙；若全部不满足,则等级为丁,试判断设备的性能等级. ‎ ‎（2）将直径小于等于或直径大于的零件认为是次品.‎ ‎（ⅰ）从设备的生产流水线上随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数期望；‎ ‎（ⅱ）从样本中随意抽取2件零件,计算其中次品个数的数期望.‎ ‎【答案】（1）丙；（2）（ⅰ）；（ⅱ）．‎ ‎【解析】（1）由题意知道：,‎ 所以由图表知道：‎ 所以该设备的性能为丙级别.‎ ‎（2）由图表知道：直径小于或等于的零件有2件,大于的零件有4件共计6件 ‎（i）从设备的生产流水线上任取一件,取到次品的概率为,‎ 依题意,故.‎ ‎6.【山西大附中2017届高三第二次模拟测试】在一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次,在处每投进一球得3分；在处每投进一球得2分,如果前两次得分之和超过3分就停止投篮；否则投第3次,某同在处的抽中率,在处的抽中率为,该同选择现在处投第一球,以后都在处投,且每次投篮都互不影响,用表示 该同投篮训练结束后所得的总分,其分布列为：‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎0.03‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求随机变量的数期望；‎ ‎（3）试比较该同选择上述方式投篮得分超过3分与选择都在处投篮得分超过3分的概率的大小．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）该同选择上述方式投篮得分超过分的概率大于选择都在处投篮得分超过分的概率.‎ ‎【解析】（1）由题意可知,对应的事件为“三次投篮没有一次投中”,‎ ‎∴,‎ ‎∵,解得；‎ ‎（2）根据题意,,‎ ‎,,‎ ‎∴,‎ ‎（3）用表示事件“该同在处投第一球,以后都在处投,得分超过3分”,用表示事件“该同都在处投,得分超过3分”,‎ ‎,∴,‎ 即该同选择都在处投篮得分超过3分的概率的大于该同在处投第一球,以后都在处投,得分超过3分的概率．‎ ‎7.【云南大理州2017届第一次统测】某中拟在高一下期开设游泳选修课,为了了解高一生喜欢游泳是否与性别有关,该校对100名高一新生进行了问卷调查,得到如下列联表：‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎10‎ 女生 ‎20‎ 合计 已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的生的概率为．‎ ‎（1）请将上述列联表补充完整：并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；‎ ‎（2）针对于问卷调查的100名生,校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳普知识宣传组,并在这6人中任选2人作为宣传组的组长,设这两人中男生人数为,求的分布列和数期望.‎ 下面的临界值表仅供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：,其中）‎ ‎【答案】（1）列联表见解析,有的把握认为喜欢游泳与性别有关；（2）分布列见解析,.‎ ‎【解析】（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的生的概率为,‎ 所以喜欢游泳的生人数为人．‎ 其中女生有20人,则男生有40人,列联表补充如下：‎ 喜欢游泳 不喜欢游泳 合计 男生 ‎40‎ ‎10‎ ‎50‎ 女生 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ 因为．‎ 所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．‎ ‎（2）喜欢游泳的共60人,按分层抽样抽取6人,则每个个体被抽到的概率均为,‎ 从而需抽取男生4人,女生2人．　‎ 故的所有可能取值为0,1,2．‎ ‎,‎ 的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎．‎ ‎8.【四川自贡普高2017届一诊】甲、乙两位射击运动员,在某天训练中已各射击10次,每次命中的环数如下：‎ 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4‎ 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7‎ ‎（Ⅰ）通过计算估计,甲、乙二人的射击成绩谁更稳；‎ ‎（Ⅱ）若规定命中8环及以上环数为优秀,以频率作为概率,请依据上述数据估计,求甲在第11至第13次射击中获得优秀的次数的分布列和期望.‎ ‎【答案】（Ⅰ）乙比甲的射击成绩稳定；（Ⅱ）的分布列：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎【解析】（Ⅰ）∵,,‎ ‎∴,‎ ‎,‎ ‎∵,‎ ‎∴乙比甲的射击成绩稳定.‎ ‎（Ⅱ）由题意得：甲运动员命中8环及以上的概率为,‎ 则甲在第11至13次射击中获得优秀次数的情况为取得,‎ ‎∴；,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎∴的分布列：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎∴ ‎ ‎9.某校校庆,各届校友纷至沓来,某班共来了n位校友(n>8且n∈N*),其中女校友6位,组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单,现随机从中选出2位校友代表,若选出的2位校友是一男一女,则称为“最佳组合”．‎ ‎(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于,求n的最大值；‎ ‎(2)当n＝12时,设选出的2位校友代表中女校友人数为X,求X的分布列．‎ ‎【解析】(1)由题意可知,所选2人为“最佳组合”的概率为＝,‎ 则≥,化简得n2－25n＋144≤0,解得9≤n≤16,故n的最大值为16.‎ ‎(2)由题意得,X的可能取值为0,1,2,‎ 则P(X＝0)＝＝,P(X＝1)＝＝,P(X＝2)＝＝,‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎10.现有甲、乙、丙三人参加某电视台的应聘节目《非你莫属》,若甲应聘成功的概率为,乙、丙应聘成功的概率均为(0＜t＜2),且三个人是否应聘成功是相互独立的．‎ ‎(1)若乙、丙有且只有一个人应聘成功的概率等于甲应聘成功的概率,求t的值；‎ ‎(2)记应聘成功的人数为ξ,若当且仅当ξ为2时概率最大,求E(ξ)的取值范围．‎ 故ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(ξ)＝t＋.‎ 由题意得：P(ξ＝2)－P(ξ＝1)＝＞0,P(ξ＝2)－P(ξ＝0)＝＞0,P(ξ＝2)－P(ξ＝3)＝＞0,‎ 又因为0＜t＜2,‎ 所以t的取值范围是1＜t＜2.‎ 所以＜E(ξ)＜.‎ ‎11.【2016届江苏省扬州中高三12月月考】抛掷甲,乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记底面上所得的数字分别为x,y．记表示的整数部分,如：,设为随机变量,．‎ ‎（Ⅰ）求概率；‎ ‎（Ⅱ）求的分布列,并求其数期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析,期望．‎ ‎【解析】（Ⅰ）依题意,实数对（x,y）共有16种,使的实数对（x,y）有以下6种：‎ ‎,所以； ‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎ ‎ ‎12.【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试】为弘扬民族古典文化,校举行古诗词知识竞赛,某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答,回答正确给改选手记正10分,否则记负10分.根据以往统计,某参赛选手能答对每一个问题的概率为；现记“该选手在回答完个问题后的总得分为”. ‎ ‎（1）求且的概率；‎ ‎（2）记,求的分布列,并计算数期望.‎ ‎【答案】（1）；（2）分布列见解析,．‎ ‎【解析】（1）当时,即回答6个问题后,正确4个,错误2个. 若回答正确第1个和第2个问题,则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第1个问题回答正确,第2个问题回答错误,第3个问题回答正确,则其余三个问题可任意回答正确2个. 记回答每个问题正确的概率为,则. 同时回答每个问题错误的概率为.‎ 故所求概率为.‎ ‎（2）由可知的取值为10,30,50. ‎ 可有,‎ 故的分布列为：‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎13. 某足球俱乐部2013年10月份安排4次体能测试,规定：按顺序测试,一旦测试合格就不必参加以后的测试,否则4次测试都要参加.若运动员小李4次测试每次合格的概率组成一个公差为的等差数列,他第一次测试合格的概率不超过,且他直到第二次测试才合格的概率为.‎ ‎（Ⅰ）求小李第一次参加测试就合格的概率P1；‎ ‎（2）求小李10月份参加测试的次数x的分布列和数期望.‎ ‎（Ⅱ）因为P(x＝1)＝, P(x＝2)=,P(x＝3)＝,‎ P(x＝4)＝1－P(x＝1)－P(x＝2)－P(x＝3)＝, ‎ 则x的分布列为 x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 所以, ‎ 即小李10月份参加测试的次数x的数期望为. ‎ ‎14. 某电视台组织部分记者,用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数.现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)：‎ ‎（Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；‎ ‎（Ⅱ）若幸福指数不低于9.5分,则称该人的幸福指数为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人,至多有1人是“极幸福”的概率；‎ ‎（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记 表示抽到“极幸福”的人数,求的分布列及数期望．‎ ‎【解析】（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75 ； ‎ ‎（Ⅱ）设表示所取3人中有个人是“极幸福”,至多有1人是“极幸福”记为事件, 则 ； ‎ ‎（Ⅲ）的可能取值为0,1,2,3. ‎ ‎；； ‎ ‎；. ‎ 的分布列为：‎ ‎. ‎ 另解：的可能取值为0,1,2,3, ‎ 则,因此. ‎ 有；；‎ ‎；. ‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ 所以=． = ‎