高中数学 3_1_5课时同步练习 新人教A版选修2-1

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第3章 ‎‎3.1.5‎ 一、选择题(每小题5分，共20分)‎ ‎1．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是(　　)‎ A.　　　　　 B. C. D. 解析：　＝(－3，－2，－4)‎ ＝ ‎∴C.‎ 答案：　A ‎2．已知a＝(2，－3,1)，则下列向量中与a平行的是(　　)‎ A．(1,1,1) B．(－2，－3,5)‎ C．(2，－3,5) D．(－4,6，－2)‎ 解析：　若b＝(－4,6，－2)，则b＝－2(2，－3,1)＝－‎2a，‎ 所以a∥b.‎ 答案：　D ‎3．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦为，则λ＝(　　)‎ A．2 B．－2‎ C．－2或 D．2或－ 解析：　因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，‎ 又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝·· ‎＝，所以＝6－λ，‎ 解得λ＝－2或.‎ 答案：　C ‎4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则|a－b＋‎2c|等于(　　)‎ A．3 B．2 C. D．5‎ 解析：　∵a－b＋‎2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋(6,2,0)‎ ‎＝(3,1,0)＋(6,2,0)＝(9,3,0)，‎ ‎∴|a－b＋‎2c|＝3.‎ 答案：　A ‎ 二、填空题(每小题5分，共10分)‎ ‎5．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角为________．‎ 解析：　a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，‎ a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，‎ ‎∴(a＋b)·(a－b)＝cos2α－sin2α＋sin2α－cos2α＝0，‎ ‎∴a＋b与a－b的夹角为90°.‎ 答案：　90°‎ ‎6．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.‎ 解析：　因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，‎ 所以ka·b－|b|2＝0，‎ 所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，‎ 解得k＝7.‎ 答案：　7‎ 三、解答题(每小题10分，共20分)‎ ‎7．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，求满足DB∥AC，DC∥AB的点D的坐标．‎ 解析：　设点D(x，y，z)，则＝(－x,1－y，－z)，＝(－1,0,2)，＝(－x，－y,2－z)，＝(－1,1,0)，‎ ‎∵DB∥AC，DC∥AB，‎ ‎∴∥，∥，‎ 有 解得 所以D(－1,1,2)．‎ ‎8．已知关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，a＝(－1,1,3)，b＝(1,0，－2)，c＝a＋tb.‎ ‎(1)当|c|取最小值时，求t的值；‎ ‎(2)在(1)的情况下，求b和c夹角的余弦值．‎ 解析：　(1)因为关于x的方程x2－(t－2)x＋t2＋3t＋5＝0有两个实根，‎ 所以Δ＝(t－2)2－4(t2＋3t＋5)≥0，‎ 即－4≤t≤－.‎ 又c＝(－1,1,3)＋t(1,0，－2)＝(－1＋t,1,3－2t)，‎ 所以|c|＝ ‎＝.‎ 因为t∈时，上述关于t的函数单调递减，‎ 所以当t＝－时，|c|取最小值.‎ ‎(2)－ 尖子生题库☆☆☆‎ ‎9．(10分)在棱长为1的正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E、F分别为AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D‎1M⊥平面EFB1.‎ 解析：　如右图所示，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则A(1,0,0)、B1(1,1,1)、‎ C(0,1,0)、D1(0,0,1)、E、‎ M(1,1，m)．‎ 连结AC.则＝(－1,1,0)．‎ 而E、F分别为AB、BC的中点，‎ 所以＝＝.‎ 又因为＝，‎ ＝(1,1，m－1)，‎ 因为D‎1M⊥平面EFB1，‎ 所以D‎1M⊥EF，且D‎1M⊥B1E，‎ 即·＝0，且·＝0.‎ 所以，‎ 解得m＝.‎