【数学】2018届一轮复习北师大版导数与函数的单调性
第十一节 导数与函数的单调性
[考纲传真] 了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
函数的导数与单调性的关系
函数y＝f (x)在某个区间内可导，则
(1)若f ′(x)＞0，则f (x)在这个区间内增加的；
(2)若f ′(x)＜0，则f (x)在这个区间内减少的；
(3)若f ′(x)＝0，则f (x)在这个区间内是常数函数．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若函数f (x)在区间(a，b)上增加，那么在区间(a，b)上一定有f ′(x)>0.
( )
(2)如果函数在某个区间内恒有f ′(x)＝0，则函数f (x)在此区间上没有单调性．( )
(3)f ′(x)＞0是f (x)为增函数的充要条件．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)×
2．f (x)＝x3－6x2的递减区间为( )
A．(0,4) B．(0,2)
C．(4，＋∞) D．(－∞，0)
A [f ′(x)＝3x2－12x＝3x(x－4)，由f ′(x)<0，得0
1时，g(x)>0.
[解] (1)由题意得f ′(x)＝2ax－＝(x>0). 2分
当a≤0时，f ′(x)<0，f (x)在(0，＋∞)内是减少的．
当a>0时，由f ′(x)＝0有x＝，
当x∈时，f ′(x)<0，f (x)是减少的；5分
当x∈时，f ′(x)>0，f (x)是增加的. 7分
(2)证明：令s(x)＝ex－1－x，则s′(x)＝ex－1－1. 9分
当x>1时，s′(x)>0，所以ex－1>x，
从而g(x)＝－>0. 12分
求函数的单调区间
(2016·天津高考节选)设函数f (x)＝x3－ax－b，x∈R，其中a，b∈R.求f (x)的单调区间．
[解] 由f (x)＝x3－ax－b，可得f ′(x)＝3x2－a.
下面分两种情况讨论：
①当a≤0时，有f ′(x)＝3x2－a≥0恒成立，
所以f (x)的递增区间为(－∞，＋∞). 5分
②当a＞0时，令f ′(x)＝0，解得x＝或x＝－.
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表：
x
－
f ′(x)
＋
0
－
0
＋
f (x)
递增
极大值
递减
极小值
递增
所以f (x)的递减区间为，递增区间为，. 12分
[规律方法] 求函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f (x)的定义域；
(2)求f ′(x)；
(3)在定义域内解不等式f ′(x)＞0，得递增区间；
(4)在定义域内解不等式f ′(x)＜0，得递减区间．
[变式训练2] 已知函数f (x)＝(－x2＋2x)ex，x∈R，e为自然对数的底数，则函数f (x)的递增区间为________．
(－，) [因为f (x)＝(－x2＋2x)ex，
所以f ′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex
＝(－x2＋2)ex.
令f ′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，
因为ex＞0，所以－x2＋2＞0，解得－＜x＜，
所以函数f (x)的递增区间为(－，)．]
已知函数的单调性求参数
已知函数f (x)＝x3－ax－1.
若f (x)在R上为增函数，求实数a的取值范围．
[解] 因为f (x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
所以f ′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立. 5分
因为3x2≥0，所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f ′(x)＝3x2≥0，f (x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0]. 12分
[迁移探究1] (变换条件)函数f (x)不变，若f (x)在区间(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围．
[解] 因为f ′(x)＝3x2－a，且f (x)在区间(1，＋∞)上为增函数，所以f ′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，7分
所以a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为(－∞，3]. 12分
[迁移探究2] (变换条件)函数f (x)不变，若f (x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围．
[解] 由f ′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立.
5分
因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即当a的取值范围为[3，＋∞)时，f (x)在(－1,1)上为减函数. 12分
[迁移探究3] (变换条件)函数f (x)不变，若f (x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
[解] ∵f (x)＝x3－ax－1，∴f ′(x)＝3x2－a.由f ′(x)＝0，得x＝±(a≥0). 5分
∵f (x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜＜1，得0＜a＜3，即a的取值范围为(0,3). 12分
[规律方法] 根据函数单调性求参数的一般方法
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f (x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．
(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数递增，则f ′(x)≥0；若函数递减，则f ′(x)≤0”来求解．
易错警示：(1)f (x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f ′(x)≥0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f ′(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．
(2)函数在其区间上不具有单调性，但可在子区间上具有单调性，如迁移3中利用了∈(0,1)来求解．
[变式训练3] (2016·全国卷Ⅰ)若函数f (x)＝x－sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)递增，则a的取值范围是( )
A．[－1,1] B．
C. D．
C [取a＝－1，则f (x)＝x－sin2x－sinx，f ′(x)＝1－cos2x－cosx，但f ′(0)＝1－－1＝－＜0，不具备在(－∞，＋∞
)递增的条件，故排除A，B，D.故选C.]
[思想与方法]
1．已知函数解析式求单调区间，实质上是求f ′(x)＞0，f ′(x)＜0的解区间，并注意函数f (x)的定义域．
2．含参函数的单调性要分类讨论，通过确定导数的符号判断函数的单调性．
3．已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决．
[易错与防范]
1．求单调区间应遵循定义域优先的原则．
2．注意两种表述“函数f (x)在(a，b)上为减函数”与“函数f (x)的减区间为(a，b)”的区别．
3．在某区间内f ′(x)>0(f ′(x)<0)是函数f (x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
4．可导函数f (x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：对任意x∈(a，b)，都有f ′(x)≥0(f ′(x)≤0)，且f ′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．
